創(chuàng)建數(shù)學(xué)模型滲透數(shù)學(xué)思想
———《鴿巢問題》教學(xué)設(shè)計

陳海曉

（本文作者系朱樂平名師工作站“一課研究”組成員）

【主題與背景】

在數(shù)學(xué)問題中有一類與“存在性”有關(guān)的問題。例如，任意13人中，至少有2人的出生月份相同。這類問題中，只需要確定某個物體（或某個人）的存在就可以了，并不需要指出是哪個物體（或哪個人）。這類問題依據(jù)的理論，我們稱之為“抽屜原理”，也稱為“鴿巢原理”。人教版六年級下冊第五單元數(shù)學(xué)廣角，就安排了與此內(nèi)容相關(guān)的三個例題，其中例1和例2旨在感悟“鴿巢原理”的一般模型，例3是“鴿巢原理”的具體應(yīng)用。本案例描述的是例1和例2的內(nèi)容，即通過具體問題，借助實際操作，讓學(xué)生感悟和理解“鴿巢原理”，并在理解“鴿巢原理”這一數(shù)學(xué)方法的基礎(chǔ)上，對一些簡單的實際問題加以“模型化”，進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)證明的雛形，為以后學(xué)習(xí)較嚴(yán)密的數(shù)學(xué)證明做準(zhǔn)備。在設(shè)計本課教學(xué)預(yù)案之前，自我提問：“在多樣的實際問題中如何抽象‘鴿巢問題’的一般模型？”“如何讓學(xué)生從枚舉法說理逐步走向假設(shè)法說理，感受數(shù)學(xué)證明的雛形？”“在解決問題和說理中如何讓學(xué)生逐步感悟和抽象‘鴿巢原理’？”帶著這些問題的思考，筆者對這節(jié)課有了以下的教學(xué)設(shè)計。

【教學(xué)過程】

一、探究“枚舉法”和“假設(shè)法”兩種策略

1.出示問題，理解題意。

（1）出示問題：把 4支鉛筆放進(jìn)3個文具盒中，不管怎么放，總有一個文具盒里放進(jìn)至少2支鉛筆。你認(rèn)為說得對嗎？

（2）理解關(guān)鍵詞“總有一個文具盒”和“至少2支”的含義。

預(yù)設(shè)：“總有一個文具盒”意思是一定有一個文具盒；“至少2支”意思是2支或2支以上。

【設(shè)計意圖：理解題意是學(xué)生后續(xù)判斷和“說理”的關(guān)鍵，對關(guān)鍵詞“總有”和“至少”的理解是學(xué)生理解題意的難點，所以把關(guān)鍵詞突顯出來讓學(xué)生進(jìn)行獨立解讀，有利于后續(xù)目標(biāo)的達(dá)成。】

2.判斷并嘗試說理。

你認(rèn)為這句話對嗎？把你的想法用擺一擺、畫一畫、寫一寫的方式表示出來。

【設(shè)計意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)證明”的過程，借助學(xué)具、實物操作或畫草圖的方式進(jìn)行“說理”，為枚舉法和假設(shè)法兩種說理思路的產(chǎn)生做鋪墊。】

3.匯報。

（1）感悟枚舉法說理的思路。

預(yù)設(shè)1：把每種放法一一例舉出來。

板書：（，0，0）（，1，0）

（，2，0）（，1，1）

（請一位學(xué)生匯報后，課件具體演示）

結(jié)論：不管哪一種放法，總有一個文具盒里至少放進(jìn)2支鉛筆。

（2）感悟假設(shè)法說理的思路。

預(yù)設(shè)2：假設(shè)每個鉛筆盒中先各分一支，最后這一支無論放在哪里，總有一個文具盒里至少放進(jìn)2支鉛筆。

板書：（，1，1）

（請一位學(xué)生匯報后，課件具體演示）

教師引導(dǎo)反思：你只假設(shè)了一種擺法，就證明這句話是對的，其他方法為什么不用再一一例舉了呢？

預(yù)設(shè)：平均分可以使最多的鉛筆盒里的筆盡可能的少，即做了一個最壞的打算，這樣分都有一個鉛筆盒里有2支，那么其他分法肯定有一個鉛筆盒里的筆是大于或等于2的，所以就不用再一一例舉了。

【設(shè)計意圖：結(jié)合實物的直觀演示，讓學(xué)生從枚舉法說理逐步走向假設(shè)法說理，通過不同的說理方式體驗數(shù)學(xué)證明的雛形。】

4.比較“枚舉法”和“假設(shè)法”兩種說理策略。

“枚舉法”和“假設(shè)法”你更喜歡哪一種？為什么？

預(yù)設(shè) 1：喜歡“枚舉法”，把每種方法都進(jìn)行例舉后更放心。

預(yù)設(shè) 2：喜歡“假設(shè)法”，只例舉一種最壞的情況，方便快捷，而且能保證正確。

【設(shè)計意圖：以問題形式引發(fā)學(xué)生自主比較與反思，明晰“枚舉法”和“假設(shè)法”的聯(lián)系與區(qū)別，同時尊重了學(xué)生的自主選擇，也為后續(xù)進(jìn)一步感悟“假設(shè)法”的優(yōu)越性埋下伏筆。】

二、呈現(xiàn)題組，初步抽象鴿巢問題模型

1.出示題組，請學(xué)生說理。

（1）5個人坐4把椅子，總有一把椅子上至少坐2人。

（2）5只鴿子飛進(jìn)3個鴿籠，總有一個鴿籠里至少飛進(jìn)了2只鴿子。

學(xué)生說理后，課件演示：

2.比較以上兩題與例題，尋找相似之處。

預(yù)設(shè)：都是把若干個物體放進(jìn)若干個抽屜里，結(jié)果都總有一個抽屜放進(jìn)2個物體。

3.歸納：這三道題都是把若干個物體（鴿）放進(jìn)若干個抽屜（巢）里，下次遇到類似的問題，我們可以思考什么相當(dāng)于“鴿”，什么相當(dāng)于“巢”，就能用假設(shè)法或枚舉法說明理由了。

【設(shè)計意圖：通過相似題組練習(xí)，既鞏固了兩種說理思路，同時在比較中感知了“鴿巢問題”的結(jié)構(gòu)，初步抽象“鴿巢問題”模型。】

三、感知“假設(shè)法”的優(yōu)越性，逐步抽象“鴿巢原理”

1.在特例中感知“假設(shè)法”的優(yōu)越性。

（1）出示四道題組，學(xué)生獨立填空并反饋。

①5支鉛筆放進(jìn)4個筆筒里，不管怎么放，總有一個筆筒里至少有（ ）支鉛筆。

②6支鉛筆放進(jìn)5個筆筒里，不管怎么放，總有一個筆筒里至少有（ ）支鉛筆。

③7支鉛筆放進(jìn)6個筆筒里，不管怎么放，總有一個筆筒里至少有（ ）支鉛筆。

④100支鉛筆放進(jìn)99個筆筒里，不管怎么放，總有一個筆筒里至少有（ ）支鉛筆。

（2）你用什么方法思考？為什么都選擇了“假設(shè)法”？

預(yù)設(shè)：鉛筆數(shù)和筆筒數(shù)越多放法也越多，用枚舉法解決問題很麻煩，而假設(shè)法就簡便多了。

（3）在解決問題的過程中你有什么發(fā)現(xiàn)？

預(yù)設(shè)：鉛筆支數(shù)比筆筒個數(shù)多1，總有一個筆筒里至少放2支鉛筆。

【設(shè)計意圖：相似情境的題組，有利于學(xué)生把目標(biāo)聚焦到數(shù)量的變化，在數(shù)量逐漸增加的過程中體會“假設(shè)法”的優(yōu)越性，感受最佳驗證方法，在有趣的類推活動中，引導(dǎo)學(xué)生初步得出結(jié)論。】

2.從特例走向一般，打破思維定勢。

（1）上面每題的鉛筆支數(shù)各增加1支，結(jié)果會變嗎？

預(yù)設(shè)：不變，每題還是填2。

（2）每題的支數(shù)繼續(xù)增加1支，結(jié)果會變嗎？

預(yù)設(shè)：不變，每題還是填2。

（3）每題支數(shù)再增加1支呢？鉛筆支數(shù)比筆筒個數(shù)已經(jīng)多了好幾個了，為什么至少還是2呢？

預(yù)設(shè)：因為每個筆筒先分到1支后，余下鉛筆還是不夠（或剛好夠）分給每個筆筒1支。

（4）再繼續(xù)增加1支呢？為什么第①題的結(jié)果變?yōu)?，其他三題還是2？

預(yù)設(shè)：因為第①題假設(shè)把9支鉛筆平均分在4個筆筒里，每個筆筒平均分到2支后還多余1支，不管放到哪里都有一個筆筒里至少放進(jìn)3支鉛筆。

【設(shè)計意圖：把教材例2的知識點作為例1問題的延伸，把兩個例題進(jìn)行有效整合，通過每題鉛筆支數(shù)的變化，使學(xué)生在變化的規(guī)律中感知問題的結(jié)論與鉛筆支數(shù)是筆筒個數(shù)的幾倍相關(guān)，從“抽屜原理”的特例逐步走向“抽屜原理”的一般形式，有利于學(xué)生進(jìn)一步感悟“抽屜原理”的本質(zhì)，為后續(xù)抽象概括“抽屜原理”奠定基礎(chǔ)。】

3.用算式表征，逐步抽象“抽屜原理”。

（1）出示問題，請學(xué)生用算式表征。

①9支鉛筆放進(jìn)4個筆筒里，不管怎么放，總有一個筆筒里至少有（ ）支鉛筆。

②10支鉛筆放進(jìn)4個筆筒里，不管怎么放，總有一個筆筒里至少有（ ）支鉛筆。

③11支鉛筆放進(jìn)4個筆筒里，不管怎么放，總有一個筆筒里至少有（ ）支鉛筆。

④12支鉛筆放進(jìn)4個筆筒里，不管怎么放，總有一個筆筒里至少有（ ）支鉛筆。

（2）逐一反饋算式，適時結(jié)合點子圖幫助理解算式含義。

（3）通過用算式表征，你有什么發(fā)現(xiàn)？

預(yù)設(shè)：用算式解決問題的一般方法：用“鴿”的只數(shù)÷“巢”的個數(shù)，有余數(shù)，結(jié)果就是商加1；沒有余數(shù)，即是商。

出示：

【設(shè)計意圖：實物表征——點子圖表征——算式表征，這三種層層遞進(jìn)的“說理”方式，讓學(xué)生經(jīng)歷了將具體問題不斷“數(shù)學(xué)化”和“符號化”的過程，對“抽屜原理”的抽象和概括水到渠成。】

四、變式練習(xí)，培養(yǎng)“模型”思想

1.出示問題，尋找“鴿”與“巢”。

（1）六（1）班第一小組共 13位同學(xué)，至少有2位同學(xué)的生日在同一個月。

（2）一個布袋里有紅、黃、藍(lán)三種顏色的珠子若干顆，一次摸出8顆，至少有3顆珠子的顏色相同。

（3）一副撲克牌中（沒有大、小王），任意抽取5張牌，至少有2張牌是同花色的。

以上三題中什么相當(dāng)于“鴿”，什么相當(dāng)于“巢”？

2.運用鴿巢原理進(jìn)行說理。

3.通過解決這三個問題，對你有什么啟示？

預(yù)設(shè)：雖然以上三題外在的內(nèi)容和形式發(fā)生變化，但是內(nèi)在的本質(zhì)是一樣的，都可以用鴿巢問題的思路來解決。

【設(shè)計意圖：“鴿巢問題”的變式很多，應(yīng)用更具靈活性，通過以上變式練習(xí)，使學(xué)生將具體問題和“鴿巢問題”聯(lián)系起來，尋找問題的具體情境和“鴿巢問題”的“一般化模型”之間的內(nèi)在聯(lián)系，即尋找到問題中什么是“待分的東西”，什么是“抽屜”，是解決此類問題的關(guān)鍵。】

【思考與解讀】

本案例著眼于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，通過“探究問題——辨析問題——拓展問題”創(chuàng)建數(shù)學(xué)模型，滲透數(shù)學(xué)思想。課堂為學(xué)生提供了自主探索的空間，通過動手操作、分析、推理等活動，發(fā)現(xiàn)、歸納、總結(jié)原理，并通過“鴿巢原理”的靈活應(yīng)用，感受數(shù)學(xué)的魅力，提高學(xué)生解決問題的能力和興趣。

一、探究問題，經(jīng)歷“數(shù)學(xué)證明”的過程

本節(jié)課中學(xué)生經(jīng)歷了兩個不同層次的證明過程。第一層次是學(xué)生自主證明：在呈現(xiàn)具體問題并理解了題意之后，筆者就大膽放手讓學(xué)生自主思考，采用自己的方法證明“把4支鉛筆放入3個文具盒中，不管怎么放，總有一個文具盒里至少放進(jìn)2支鉛筆”，然后交流展示。此處設(shè)計注意了從最簡單的數(shù)據(jù)開始擺放，既有利于學(xué)生觀察、理解，又有利于調(diào)動所有學(xué)生的積極性。評價學(xué)生各種證明方法時，教師針對學(xué)生的不同方法給予鼓勵和指導(dǎo)，在此過程中學(xué)生明晰了“枚舉法”和“假設(shè)法”兩種策略。第二層次是引導(dǎo)更“數(shù)學(xué)化”的證明：隨著數(shù)量的不斷增加，自然而然地讓學(xué)生體會到枚舉法的局限性和假設(shè)法的妙處，然后通過讓學(xué)生用算式表征“假設(shè)法”，抓住了假設(shè)法最核心的思路就是用“有余數(shù)除法”形式表示出來，并借助點子圖的直觀演示，使學(xué)生很好地理解了如果把待分的物體盡量多地“平均分”給各個抽屜，余下的物體不管放到哪個抽屜里，總有一個抽屜里的物體數(shù)比平均分得的多1。經(jīng)歷了兩個不同層次的證明，不僅提高了學(xué)生的邏輯思維能力，而且為以后學(xué)習(xí)較嚴(yán)密的數(shù)學(xué)證明奠定了基礎(chǔ)。

二、辨析問題，經(jīng)歷“數(shù)學(xué)建模”的過程

“鴿巢問題”的變式很多，當(dāng)我們面對一個具體問題時，能否將這個具體問題和“鴿巢問題”聯(lián)系起來，能否找到該問題中具體情境和“鴿巢問題”的“一般化模型”之間的內(nèi)在聯(lián)系，是影響解決問題的關(guān)鍵。所以，本案例中突出的一個核心思想是讓學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)建模”的過程，分為三個不同的層次：第一層次是在題組比較中概括“鴿巢問題”結(jié)構(gòu)上的共性，讓學(xué)生感悟此類問題中總是隱藏著“鴿”與“巢”；第二層次是在“數(shù)學(xué)證明”的過程中抽象、概括“證明”方法的共性，感悟并理解“鴿巢原理”；第三層次是基于前面兩個層次基礎(chǔ)上的拓展，在變式練習(xí)中進(jìn)一步見證此類問題應(yīng)用的廣泛性。經(jīng)歷三個不同層次的建模，使學(xué)生不斷感悟外在形式背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)，逐步完善數(shù)學(xué)模型。

三、拓展問題，感受原理的靈活應(yīng)用

“鴿巢原理”本身并不復(fù)雜，學(xué)生也有很多直接的生活經(jīng)驗，但是學(xué)生往往容易理解“顯性”的問題情境，很難理解“隱性”問題情境。比如在變式練習(xí)中把“珠子顆數(shù)”看作“鴿”，把“珠子顏色”看作“巢”，學(xué)生是很難理解這一點的，因為在學(xué)生的生活經(jīng)驗中，“巢”必須是盛放東西的物體，難道“珠子顏色”能盛放東西嗎？這是學(xué)生的疑問，也是理解的難點。所以在練習(xí)中安排了類似的問題情境，打破學(xué)生的思維定勢，感受“鴿巢原理”的靈活應(yīng)用和數(shù)學(xué)魅力，同時也提高了解決問題的能力和興趣。