一年級學生代數學習情況測查與啟示

陳 敏 王張妮

一、相關背景介紹

浙教版新思維小學《數學》在早期代數教學方面做了不少探索，其中有一項特色舉措是：從一年級開始引入圖形符號表示數，引導學生開展圖形等式推算（如下圖），進而利用圖形等式來溝通各種數量關系，求解較復雜的應用問題。

圖1

2016年暑假，由張天孝老師領銜，啟動教材修訂。2017年9月，修訂后的一年級上冊教材完稿，少量印刷，供部分實驗學校志愿開展前期實驗。同期，張老師還開始了《新思維兒童數學》系列學習材料的創作，目前《新思維兒童數學》1A冊、1B冊業已出版。在這些書中，我們發現，圖形等式推算的相關內容得到了進一步梳理和充實，題型更豐富，序列更完善。

學習材料的價值最終應通過學生的學習效果來檢驗。剛入學的一年級學生能夠理解這些圖形等式的意思嗎？理解到什么程度？他們是怎樣解決這些問題的？有哪些共性？對我們的教學有什么啟示？我們試圖進行研究。

二、測試情況說明

2018年1月，我們選了兩個試用一年級上冊修訂版教材的班級，進行了一次測試。其中一個為城市民辦學校的教學班，生源較好，下文記為A班，樣本數31人；另一個班級為普通公辦學校的教學班，生源以外來務工人員子女居多，基礎相對薄弱，下文記為B班，樣本數35人。

圖2 測試內容

三、測試結果分析

1.學生普遍能正確求取加減等式中缺失的數，“式=數”型近乎全對，“式=式”型略弱，亦達80%左右。

表1“求方框里的數”各題通過率一覽表

我們認為：通過合理的教學，學生可以在起步階段就較好地理解“=”的意義，不僅用于表示“運算得到……”，還能解讀為“兩邊相等”，即“=”不僅是一種程序符號，也是一個關系符號。

式和式的相等，使情況變得相對復雜，使一部分學生略感困惑。但經過簡單的訪談，發現它也激發了部分學生的高層次思維。如□-5=10-4，大部分學生的想法都是先算等式右邊10－4=6，再想□-5=6，6+5=11。也有少數學生利用了差的變化規律“兩邊的差相等，5比 4多 1，□也比 10多 1，□=11”。

2.學生很容易接受圖形符號表示未知數的觀念，但進一步的推理過程尚未完全達到代數水平。

第2題（1）小題，學困生主要依靠直覺或者用試錯的辦法求取圖形表示的數。通過對解答錯誤的三位學生訪談得知：

一位學生先基于計算經驗，想出圖形代表的數，再根據得數拼湊相應的算式，充作過程；

另一位學生對解題格式不太理解，但他也是正向思考的。

多數學生能夠清晰地說明算式各部分之間的關系，如“一個加數=和－另一個加數”之類，并利用關系推算圖形表示的數。但根據有關研究文章，這仍是算術思考，不能算代數思維。

而一年級學生特別不能把“式”凝聚成一個對象，不習慣“式”的代入和推理。第2題（2）的答題情況很能說明問題。

第2個方程組不能直接算出■或★等于多少，要用“■+■”替換★，將第2式轉化成■+■－7=■，兩邊再同時消去1個■，變形成■－7=0，從而得到■=7，★=7+7=14。解決這個問題不能完全依靠數值的計算，更多是關系的推理，這道題發生錯誤或不會做的人數就大大增加了，在生源薄弱的學校尤其如此。

表2“求圖形表示的數”各題錯誤率一覽表

第3題，學生基于一定的計算經驗，雖然能對圖形所表示數的大小作出估計，但進一步的精確分析則顯然存在問題。基于代數符號的關系推理對一年級新生來說是抽象的、有挑戰的，不同生源的差異很大。

表3“根據所給信息推斷大小”各題錯誤率一覽表

第4題，根據已知信息，只能推斷出不同玩具所表示的數之間的關系（和與差），而在限定的關系下，具體的數值有多種可能。數據表明，多數學生不是這樣思考的，當關系推導的要求較高時，他們會退守到最初的直覺或試錯水平。

表4“玩具分別表示幾”兩小題通過率比較

四、對教學的啟示

學生的表現既給了我們開展早期代數教學的信心，同時也啟發我們要根據不同學齡段的特點，采取合適的教學策略，將代數和算術的教學有機整合起來，更好地發展學生的思維。

1.初期教學從算術開始，重視借助直觀，培養學生的邏輯推理能力。

早期代數不等于早教代數，更不是以代數思考去替代和取消算術的思路。我們傾向于認為算術是代數的必要基礎。通過算術的學習，學生充分感知數的特性，積累運算的經驗，對于進一步抽象的代數學習來說，是非常必要和有益的，且算術內容本身具有獨特的思維訓練價值。

在學生剛剛開始學習計算時，就引入圖形等式推算，一方面在于幫助學生比較自然地接受用符號表示未知數的觀念，將未知數和已知數同等看待，借助數值運算的經驗去感知和理解代數運算的基本規則；另一方面，創造機會，讓學生從單純、單調的正向計算訓練走向更為靈活的推理。

如學生要計算“10+2=？”，基本上就是執行了一個程序：十位不變，個位0+2，得12；而面對10+●=12，我們追求的是對圖形等式有意義的理解和有邏輯的推理。建議的教學流程如下：

階段一：從熟悉的情境中抽象出圖形等式，依托情境意義完成推算。

引導學生思考：吃掉的蛋糕+剩下10個=12個，吃掉的蛋糕個數不知道，用●表示，得到10+●=12。●怎么求呢？用總數（12個）－剩下的部分（10個）=吃掉的部分。●=12－10，●=2。

階段二：將情境抽象成線段圖，基于線段圖開展圖形等式推算。如：

學生可以依據線段長度之間的關系，列寫圖形等式并完成推算。

階段三：抽象的圖形等式推算。學生可以根據自己的認知水平對圖形等式做必要的解讀。

抽象水平較高的學生可以直接推算，抽象水平稍弱的學生也可以轉化成相應的線段圖或生活情境來幫助自己。

通過不同表征之間的相互轉譯和轉化，希望學生真正理解圖形符號的意義，理解其中部分和整體的關系，“超越熟練掌握計算和流利的計算，注意數學深層次的結構”。

“圖形表示幾”不是圖形等式推算訓練的重點，對各種基本數量關系的分析、比較、概括和推理是有價值的，即便這種思考還不完全是代數的。

2.設計“跳一跳”型任務，滲透代數思考的經驗，開發學生學習的可能性。

在測試中，我們發現學生精通“數”的代入，但不太適應“式”的代入，而這種經驗是可以去刺激和突破的。由于小學生以形象思維為主，我們可以創設直觀情境，引導學生思考將下圖右邊天平中圓柱取走，天平會怎樣？若想天平繼續保持平衡，左盤里應再放入幾個立方體？為什么？

多有幾次類似經歷，學生就能從1個數或1個量的代入進展到1組數或1組量的代入了。

另外，關于不定方程的解的問題，我們可以組織學生玩猜數游戲：不同的圖形表示不同的數（自然數），●+▲=10，●和▲可能是幾？根據學生的回答列成表格。請學生觀察表格，說說自己發現了什么？強調●和▲的變化，更要強調它們之間不變的關系，即●+▲=10。

在此基礎上，嘗試下題（左邊的數表示一行的和，下邊的數表示一列的和。）

學生從盲目的試錯，到自覺地分析：=7，而=9，所以一定比多2，逐漸地，學生就能跳脫1式、1數的點狀思維，關注到兩個數之間的關系，萌發函數觀念。