合理設計環節 清晰體驗過程

趙丹 景敏

[摘 要]

關注知識形成中的“猜想”、“驗證”、“應用”過程是現行課程的一大亮點。通過對一節課的視頻分析，說明教師對這一過程關注不夠，過程不清晰，甚至混亂的狀況。

[關鍵詞]

初中數學；驗證；應用

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程。”就數學原理性知識來說，教學過程應該讓學生經歷“猜想—驗證（證明）—應用”的過程。但是，在日常數學課堂教學中，教師還沒有充分認識到數學活動過程的重要性，甚至有時候還會混淆活動環節的差異，比如猜想、驗證、應用之間的關系，這勢必會影響學生對數學過程的理解。

一、課例簡要說明

本文以銳角三角函數正切為例，分析教師對新知識形成過程的認識。文中的教學片段來源于“第十屆初中青年數學教師優秀課展示與培訓活動”的一節課，其內容選自“北師大版”義務教育教科書九年級下冊《直角三角形的邊角關系》的第一節《銳角三角函數》（第1課時）。

從教學設計看，新知識生成過程經歷如下幾個階段：教師首先復習了與直角三角形有關知識。然后，教師從現實生活問題情境——梯子擺放陡緩問題引入本課。接下來，通過實驗探究，教師引導學生尋找刻畫梯子陡緩程度的量：傾斜角和鉛直高度與水平寬度的比值。此后，通過例題進一步揭示傾斜角與鉛直高度與水平寬度的比值的關系，并引出正切概念。

從上述過程看，雖然教師關注了學生經歷數學知識形成的過程。但對例題處理方式上值得商榷。

二、教學片段描述及過程分析

（一）“探究活動一”的教學片段及分析

1.教學片段描述

首先，教師以靠在墻邊的梯子作為實際問題情境，通過探討擺放梯子陡緩程度引入本節課。其次，教師組織學生進行實驗探究活動：用課本比作墻壁，尺子比作梯子，模擬梯子由“緩”變“陡”的過程。同時思考問題：梯子在上升變“陡”的過程中，什么量決定梯子的傾斜程度。在學生動手實驗和獨立思考的基礎上，組內再進行交流。最后，通過搶答方式，兩名學生匯報如下學習成果：

生1說道：傾斜角的大小決定梯子的傾斜程度；鉛直高度與水平寬度的比值決定梯子的傾斜程度。

生2進一步明確道：傾斜角越大，梯子越陡；鉛直高度與水平寬度的比值越大，梯子越陡。

聽了學生的回答后，教師對學生的精彩發言給予贊賞。同時，同學們也自發地給予發言同學以掌聲。隨后，教師復述學生2的發現，并將學生的發現呈現在大屏幕上。

本環節共用時3分鐘，其中實驗研討1分40秒左右，小組匯報1分20秒左右。

2.教學片段分析

（1）教師需關注學生發現的思維過程。學生的探索發現過程用時僅1分40秒左右。對學生極富成效的發現，教師十分贊賞。但遺憾的是，教師沒有進一步追問學生是怎樣發現或想到這兩個量的，特別是，怎樣想到梯子傾斜程度與鉛直高度與水平寬度的比值有關系。眾所周知，探索發現是思維創新的過程，因此，了解學生探索中的思維活動，并讓他們表述出來，這對學生創新思維能力的發展是極為有益的。

（2）教師需及時明確，發現只是一種猜想。通過動手實驗所獲得的成果只是一種數學猜想，這一點必須清楚說明，以突顯驗證或證明的意義。但在這個環節，教師沒有明確指出學生的發現僅僅是一種猜想。

（3）教師對猜想的條件和結論強調不夠。如果要更好地開展驗證環節，這里需要教師進一步分析和強調猜想成立的條件和結論。因為，驗證活動是通過具體實例，在其滿足猜想的條件的前提下，判斷猜想的結論是否成立的過程。

此外，教師沒有板書學生獲得的結論，而是呈現在大屏幕上。由于屏幕上的內容不會長時間保留在學生的視線范圍內，所以，這種記錄方式會對后一階段的活動帶來不便。

（二）例題的教學片段及分析

對學生的發現進行小結后，教師提出：我們再用幾個例子一塊來感受一下傾斜角以及鉛直高度與水平寬度的比對梯子傾斜程度的影響。接著，教師先后呈現了四個例題。

1.教學片段描述

例1：（如圖1）梯子AB和EF哪個更陡？你是怎樣判斷的？

生3：通過這兩幅圖可以看到，這兩幅圖的鉛直高度是相同的，可以通過比較水平寬度來判斷梯子是陡還是緩。因為△ABC的水平寬度是2（米），△EFD的水平寬度是2.5（米），△ABC的水平寬度更短一些，所以我認為梯子AB更陡。

師：他只是解釋一下鉛直高度一樣前提下，看水平寬度。如果根據剛才的結論（猜想），你再看一看，5/2和5/2.5誰大？

生3：5/2大一些（此時學生略顯不解教師的追問）。

師：那顯然這個梯子（AB）就要比這個梯子（EF）更陡一些，也就是AB比EF更陡。

生4：還可用以前（學習過的）平移的思想，讓兩個三角形的鉛直高度重合，通過比較傾斜角的大小，就可以知道哪一個梯子更陡。

教師利用信息技術手段移動△ABC，使得AC與ED重合，使學生直觀地看到∠ABC與∠EFD誰大誰小，并進一步總結道：通過比較傾斜角的大小，可以知道哪一個梯子更陡。

例2：（如圖2）梯子AB和EF哪個更陡？你是怎樣判斷的？

生5：我認為第二個梯子，就是FE更陡一些。因為兩個三角形的水平寬度是一樣的，都是2米，這就需要把他們的鉛直高度相比， ED更高一些，所以我認為EF更陡。

師：水平寬度是一樣的，直接比的是（AC和ED）。那鉛直高度與水平寬度的比值呢？

生5：EF：FD的比值要比AC：BC的比值要大。

師：就是說，5：2要小于6：2，所以EF陡。

師：也可以用前面說的平移的方法。

生：可以。

師：總而言之，通過這個（例子）可以發現，鉛直高度與水平寬度的比值越大，梯子越陡；角度越大，梯子也越陡。

由于教師反復引導，在此后呈現的例3和例4中，學生開始直接應用猜想解決問題。

2.教學片段分析

首先，從本節課教學設計看，通過“探究活動一”獲得探索發現后，設計四個例子的意圖是，應用探索發現的結果，以便為探索傾斜角與其對邊和鄰邊（鉛直高度與水平寬度）比值的關系做鋪墊這樣的設計。從新課程倡導的“猜想—驗證或證明—應用”的思維范式來看，在學生獲得猜想以后，下一步應該是驗證猜想或證明猜想，然后才能進入到應用階段。如果從猜想直接進入到應用階段，那么可能會給學生體驗“猜想—驗證或證明—應用”的過程帶來消極影響。

其次，按照教師的設計意圖來看，學生最初并沒有理解例題的設計意圖。我們看到，學生3最初判斷梯子傾斜程度的依據是，當鉛直高度一致時，水平寬度大小決定梯子陡緩程度。對于教師追問 “5/2和5/2.5誰大”時，學生3對教師的問題略微顯示出不解其意圖的神態。另外，學生5的表現與學生3的表現如出一轍。由此可見，學生3和學生5都把問題作為一種特殊情況加以探究了。

之所以出現這種現象，究其原因，一是教師對探索發現的結果強調的不到位，因此沒有引起學生對條件和結論的關注。二是從猜想過渡到例題時，教師沒有明確說明做例題的意圖。教師說：“我們再用幾個例子一塊來感受一下傾斜角以及鉛直高度與水平寬度的比對梯子傾斜程度的影響。”此處教師用“感受”一詞，其含義不清晰。

三、改進建議

首先，獲得猜想后要對猜想進行分析，找出條件和結論，并以板書形式記錄下來，以此引起學生對猜想的注意。

其次，進入驗證階段，教師要給出清晰而明確的信號：接下來，我們要對猜想進行驗證。借助于這樣的過渡語引起學生的注意。

再次，驗證過程需要分三步進行：第一步，分別計算兩個梯子的傾斜角大小或鉛直高度與水平寬度的比值大小。第二步，通過觀察，直觀判斷哪一個梯子傾斜程度大。第三步，判斷傾斜角大的梯子是否傾斜程度大；鉛直高度與水平寬度的比值大的梯子是否傾斜程度大。通過這樣的過程可以讓學生深入理解驗證的含義，掌握驗證的思維特點。

[參 考 文 獻]

[1]熊惠民.中學數學教學設計與案例研究[M].北京：科學出版社，2014.

[2]中華人民共和國教育部.全日制義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

[3]義務教育數學課程標準數學教科書[M].北京：北京師范大學出版社，2016.

（責任編輯：張華偉）