相依保險風險的非參數估計

孫 榮

（重慶工商大學 數學與統計學院，重慶 400067）

0 引言

對于風險定價,信度理論是一種重要的經驗定價方法。信度理論產生于20世紀20年代，至今已有90多年的歷史，在非壽險精算理論與實務中具有重要地位，精算師根據過去的單個風險或者一個保單組合風險的經驗數據，調整未來的保險費。信度理論的研究主要形成了兩個不同的分支：（1）建立在頻率方法上的有限擾動理論；（2）以貝葉斯理論為基礎的最精確一可信度理論。這兩種方法都是希望通過已有的歷史數據來合理地制定保費。

在已有的風險理論中,個體風險常常假設是相互獨立的,主要是因為獨立假定比具有一定相關性的假定在數學的處理上更容易一些。Li（2000）[1],Cheng（2003）等[2]研究了保險風險獨立同分布的情況下保費與風險載荷非參數估計量的弱、強收斂性與漸進正態性，但在保險實踐中，在很多情況下，個體風險由于它們有相同的索賠產生機制或是由于共同的經濟和物理環境的影響，表現出一定的相關性，因此，對相依結構下保險風險的非參數估計研究具有更為重要的理論價值和現實意義。本文在保險風險具有強混合特點的相依結構前提下，提出了基于PH變換與條件尾期望原理的保費與風險載荷的非參數估計量，分析了相關估計量的強收斂性與漸近正態性。除了少數異常值情況外，蒙特卡洛的實證證據顯示了它們良好的估計精度。

1 主要結論與定理

在精算科學中，保險風險X常常界定為一個非負的隨機變量，其相對應的保費是保險風險的一個函數：H(X):X→[0 ' ∞ )。假設F為保險風險X的分布函數，定義S=1-F.Wang[3-5]將PH-變換保費定義為：

其中α∈(0 ' 1)是一個常數。假設保險風險X的期望 E(X)存在，另一個重要的指標是風險載荷D(X)=H(X)-E(X),因此將PH-變換下的風險載荷定義為：

條件尾期望原理下的保費定義為：

由于保險風險常常是相互關聯的，所以本文提出一種相依結構來分析這種相依關系。假設 {ξi'i=1'2'…}是概率空間{Ω 'F'P}上的實值隨機變量序列，表示由(ξ'm≤i≤n)生成的σ-域：

i

當n→∞時，α(n)→0，則隨機變量序列{ξi'i=1'2'…}稱為 α-混合或者強混合。強混合序列的概念最先是由Rosenblat（t1956）提出的，現在被廣泛用于時間序列及隨機領域的極限理論分析。α-混合結構的條件要弱于其他混合，如m-相依、φ-混合、ρ-混合、絕對正則等，同時很多滑動平均混合序列和線性時間序列都是α-混合的。所以α-混合能比較合理地刻畫時間序列模型的相依結構，有著廣泛的應用領域[6]。

在概率空間{Ω 'F'P}上定義保險風險的經驗分布函數為：

因此從式(1)至式(4)可以得到PH-變換保費H1(X)及風險載荷D1(X)的估計量分別為：

以及條件尾期望原理下的保費 H2(X)與風險載荷D2(X)的估計量分別為：

其中:Sn(q)=1-Fn(q)。

定理1：假設保險風險{Xi'i=1'…n}是一嚴平穩的α- 混合序列,α(n)=o(ρn)，0＜ρ＜1，如果存在 δ＞0使得EX1+δ＜∞ ，則：

定理2：假設保險風險{Xi'i=1'…n}是一嚴平穩的α-混合序列,如果存在1＜r≤2使得 E | X|r＜∞ 。存在θ＞(s-1)r/(r-s)使得α(n)≤Cn-θ，其中1＜s＜r，則：

定理3：假設保險風險{Xi'i=1'…n}是一嚴平穩的α- 混合序列,令 ζi=XiI(X＞q)-EXI(X＞q),如果＞0,且存

i在 δ＞0 使得 E | X|2+δ＜∞,當(k)＜∞ ，其中 δ＞0,則：

令 ψi=Xi[I(X＞q)-S(q)]-[EXI(X＞q)-S(q)EX],如果 Eψ12

i＞0,則：

其中

引理 1[6]：{Xi'i≥1}為 R中的平穩 α-混合序列，α(n)=o(ρn)，0＜ρ＜1，M 為大于1的正整數，則存在僅依賴于混合系數的常數C1，C2，對?0＜θ＜1，ε＞0，存在正整數r*＞0，當正整數r＞r*時，有：

定理1的證明：

對?ω及T＞0,

最后一個收斂結果來自于文獻[7]中的定理2.1。

因為 EX1+δ＜∞,所以：

由于：

由引理1利用Borel-Cantelli定理可得：

并利用α-混合序列的Bernstein矩不等式[8]，分別令n→∞，T→∞,由控制收斂定理及式(5)、式(10)、式(11),可以得到式(7)。合并上面的結果及引理1同樣可以得到式(8)。

定理2的證明：

從文獻[7]中的定理2.2,可以得到:由式(6)、式(16)、式(17)可得到式(9),由式(6)、式(9)、式(16)、式(17)及文獻[7]中的定理2.2可得到式(10)。

定理3的證明：

令

從式(13)容易得到:

由定理中假定的嚴平穩性及 EX2+δ＜∞可以得到:

運用文獻[9,10]中類似方法，采用bernstein big-block與small-block程序，選擇 p=pn,q=qn,k=kn。令:

其中 a+b＜1,a+c＜1,a'b'c＞0,這些條件可以保證式(21)：

記：

則:

由定理已知條件及式(18)至式(23)可得:

因此，由式(24)可知式(23)右端的兩項是漸進可忽略的。

由嚴平穩性及文獻[11]中的引理1。

設 ρk=E(ζ0ζk)

可得:

則Lindberg條件是滿足的,Lyaponov’s定理成立。

式(11)得證，同理可類似證得式(12)。

2 統計模擬

首先，為了保證保險風險的非負性,從均勻分布U[0'1]中產生相互獨立的n+1個數據然后為了滿足本文所設定的相依結構，令:yi=rx1+x1+i,i=1'…,n。

其中:分別設定r=0.6'r=0.3'r=0.1'n=100,200,300,α=1/2,q=0.2,名義的置信度為0.90,0.95,0.99.通過1000次重復模擬,計算相關指標。

為了評價相關估計量的估計質量，本文選擇了兩個指標進行評價，一個是估計的均方誤差，另一個是置信區間覆蓋概率。

從H1n(X)和H2n(X)這兩個估計量的MSE來看:由表1，在 r=0.1'r=0.3'r=0.6'隨著r值的增加,兩者的均方誤差總體呈現一種向上的變化趨勢,同時隨著樣本容量的增加,均方誤差有改善,說明相依程度與樣本容量與MSE有關聯。當n＞200,r=0.1'r=0.3'H1n(X)的MSE略低于H2n(X),當 n＜200,看不出兩者的差別性。

表1 MSE forH(X)

總體來說，這兩個估計量都顯示了當r較小，樣本容量n相對較大時，估計精度優于 r較大n較小時。

從 H2n(X)的置信區間覆蓋概率來看：由表2,在r=0.1'r=0.3'r=0.6'隨著r值的增加，計算的樣本置信區間覆蓋概率，總體上呈現一種與名義置信度偏離程度越大的趨勢。同時，隨著樣本的增加，偏離程度有所減小。說明相依程度與樣本容量與置信區間覆蓋概率也具有一定關聯性。總體來看，本文所提出的估計量H2n(X)估計性能是優良的。置信區間覆蓋概率與名義置信度偏離程度的變化范圍在10%左右，特別在r=0.1，樣本容量n=300時，n=300，覆蓋概率是非常接近于名義置信度的。從不同的名義置信度來看，模擬結果并沒有顯示出優劣性不同水平的覆蓋概率的優劣性。

表2 Coverage probabilities forH2(X)

從上可以看出，本文所提出的相關估計量可以運用于對保險風險相關指標的估計，特別是在相關程度低，樣本容量較大的條件下具有更高的擬合優度。

3 結論

在保險風險相依結構，即保險風險序列是嚴平穩的α-混合序列的條件下，本文提出了在不同保費原理下對保費與相應風險載荷的非參數估計方法，從理論上分析了相關估計量的強收斂性與漸進正態性。在統計模擬過程中采用兩個指標評價估計量的性能：一個是估計的均方誤差，另一個是置信區間覆蓋概率，從模擬結果來看，相關估計量表現出了優良的估計性質。可以作為保險實踐中的保費與風險載荷的估計量。

[1]Li D Y.On Right Tail Index[D].Beijing：Peking University Press,2000.

[2]Cheng S H,Wang X Q and Yang J P.On a Kind of Integrals of Empirical Processes Concerning Insurance Risk[J].Chinese Science:Mathematics(English Edition),2003,46(2).

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