未知協方差條件下的VSSI T2控制圖的經濟性設計

顧麗君，唐慶國

（南京理工大學 經濟管理學院，南京 210094）

0 引言

自從1947年，Hotelling提出了第一張均值向量T2控制圖之后，多元統計質量控制便進入了人們的視野。現代產品指標多樣，且關系復雜，多變量控制圖更加符合生產的需求。

與單變量控制圖相同，大多數多元均值向量T2控制圖是在協方差已知且保持不變的前提之下討論對均值的控制。但在實際生產中，協方差并不是一成不變的。一些學者進而研究了多變量協方差控制圖[1-3]，如 ||S圖、W圖、L圖等。但是這些控制圖存在明顯的缺陷，即要求“協方差已知”，這在實際生產控制中是十分苛刻的。

本文結合經典經濟模型研究了未知協方差矩陣的多元T2控制圖的經濟性能。利用數值實例，對其靈敏度進行分析，為企業參數的選擇提供依據和建議。

1 總體協方差未知的VSSIT2控制圖

假設產品有p個質量特征，產品質量特征X服從均值向量為μ，協方差矩陣為Σ的p維正態分布。Xij'i=1'…'n(i)'j=1'...'m為來自X的第i個樣本子組，m表示子組容量，Xˉi表示子組 i的均值向量，即假設過程中只受到一個異常原因的影響，使得過程均值從μ0偏移到 μ1，μ0是目標值，則T2控制圖統計量為：當總體的協方差矩陣 Σ 未知時，需要利用已有的樣本數據估計Σ。式中的μ0和Σ需要用各子組均值向量的平均向量Xˉ和各子組協方差矩陣的平均值SP代替其中Si為子組i的協方差矩陣。假設用來建立控制圖的n個子組均為受控的子組，則和SP均為 μ0和Σ的無偏估計。構造T2控制圖統計量為-Xˉ)。

此時服從第一自由度為p，第二自由度為(n-p)的F分布[4,5]。即

對于VSSIT2控制圖，假設抽樣間隔為(h1'h2)，h1＞h2；抽樣大小為 (n1'n2)，n2＞n1；警戒限為ω，大小不變，k為控制限。于是控制圖可分為以下三部分：I1=[0'ω]；I2=[ω'k]；I3=[k'+∞)。當取樣落在受控區域時，則下一次取樣的參數選取如下：

當則判定過程失控。

2 衡量指標

通常衡量控制圖性能的指標主要有三個：ATS（平均運行時間）；ANOS（整個周期的平均檢測數）；ANF（平均誤報次數）。未知協方差控制圖的研究目前僅局限于概率分布研究，并沒有考慮其經濟性設計，也沒有將其與動態控制圖結合起來。本文用馬爾科夫鏈預測法研究VSSI控制圖的統計性指標，同時對其經濟性進行了設計和分析。

設受控狀態為I，失控狀態為N，本文一共構建了6個馬爾科夫鏈狀態空間

假設異常原因發生的時間服從參數為λ的指數分布，那么異常原因發生的概率為1-e-λhi'i=1'2。當過程處于狀態{I 3 'I}時，屬于誤報警；當過程處于狀態{I3'N }時，即為吸附態。則該過程的轉移概率矩陣為：

其中Pij表示從狀態i轉移到狀態j的概率：

對于評判控制圖的指標，計算公式如下：

其中，h為各個狀態對應的樣本間隔，r為過程的初始概率，f為各個狀態對應的誤報警概率，n為各個狀態對應的樣本大小。為避免生產最初就存在問題，本文中?。╮'為r的轉置，其他同理）：

3 數值實例

每個生產周期都包含了受控階段、失控階段、檢測階段和維修階段。關于費用函數，已有不少的經典模型。本文中的費用函數引用Costa經濟性設計模型[6]。

式（5）中V0表示受控狀態下每小時的利潤；V1表示失控狀態下每小時的利潤；C0表示單個抽樣的成本；C1表示誤報警時的平均搜索費用；A1表示搜索糾正異常原因的平均費用；T0表示搜索誤報警的平均時間；T1表示搜索糾正異常原因的平均時間。

結合數值實例研究VSSIT2控制圖的統計性和經濟性，本文取p=2，式（5）中的參數選取為：λ=0.01,T0=1.5h,T1=1.5h,C0=3.6元/個 ，C1=115元/次 ，A1=465元/次 ，V0=135元/次，V1=60元/次。控制圖的設計參數如表1所示。

表1 控制圖的設計參數

當n=4時，～3F(2'2)，即1/3服從第一自由度和第二自由度均為2的F分布；當n=6時，0.4服從第一自由度和第二自由度分別為2和4的F分布。基于以上參數，可以推導出矩陣P中的元素。例如：

其中F(x'p'n-p'η)表示非中心F分布的累計概率分布函數，p為第一自由度，n-p為第二自由度，η為非中心參數。 η0=0，ηi=niδ2，δ為中心從 μ0偏移到 μ1的馬氏距離。a1=a4=1/3，a2=a3=a5=0.4。經計算，VSSIT2控制圖的統計性和經濟性指標如表2所示。

表2 VSSIT2控制圖的統計性經濟性指標

由表2可以看出，其統計性和經濟性指標基本符合該控制圖的一般規律。隨著δ2的不斷增大，AATS、ANOS和EL的值都不斷減小，且減小的頻率越來越小。即過程偏移較大時，VSSIT2控制圖發現異常的速度較快，且成本較小。

假定過程的偏移為δ2=0.5，運用Matlab軟件中的optimtool的遺傳算法工具箱來搜索控制圖經濟性設計的最優解，以便相應的單位時間損失EL達到最小值?？紤]到實際情況和計算簡便，求解下面的最優化問題：

minE(L)(n1'n2'h1'h2'w)

約束：0＜n1＜n2＜20'ni為整數

20＞h1＞h2＞0

0＜ω＜k

得到控制圖的最優參數及其EL值如表3所示。

表3 VSSIT2控制圖的優化參數

4 靈敏度分析

為了研究其他參數（如 δ、V0、V1）對EL值的影響，本文結合因子分析方法，三個參數各取兩水平，即作三因子兩水平23的全因子試驗設計。參數的兩水平選取如表4所示，該試驗設計的運行順序和該條件下優化的結果如表5所示。

表4 三個參數的兩個水平

表5 全因子試驗設計及優化結果

對于每個試驗子組，都用Matlab里的遺傳算法工具箱求得最優解。根據上表數據，可研究表中的參數對VSSI T2控制圖經濟性設計的影響作用。

本文采用Minitab軟件針對上述三個參數作方差分析，得到主效應圖（見圖1）、效應排列圖（見圖2）和方差分析結果（見表6、表7）。

圖1 三個參數對EL值的主效應圖

由上述圖表可得以下結論：V1越大，V0越??；δ2越大，EL值越小，生產過程中造成的利潤所失越小。A、B、C三個因子（V1、V0、δ2）對EL均有顯著影響，另外 δ2和V0的交互作用對其也有顯著影響。從方差分析可以看出δ2、V1、V0的P-Value均小于0.05，可見其確實顯著影響了利潤所失的大小。結合實際生產情況，可以得出：在不影響正常生產的情況下，受控時利潤和失控時利潤接近，VSSIT2控制圖檢測大偏移時，利潤所失更加小。

5 總結

多元T2控制圖被廣泛應用于監測多元質量問題，而VSSI控制圖已經被證明在檢測微小偏移時性能明顯優于一般控制圖。本文研究了未知協方差的VSSIT2控制圖，基于已有的研究成果，結合馬爾科夫鏈方法，推導出了轉移概率。通過數值實例，計算了在不同偏移下控制圖的統計性和經濟性指標。利用遺傳算法確定了利潤所失最小化時控制圖各參數的取值。最后，結合全因子試驗設計，分析了模型參數等對EL值的影響效應。通過分析發現，各參數對利潤所失均具有顯著影響。受控時利潤與其正相關，失控時利潤和偏移大小均與其負相關。因此，在實際生產中，需要根據需求選擇合適的參數值。

表6 各因子的方差分析

表7 模型概述

[1]劉艷永,張公緒,孫靜.基于最大、最小特征根的多元協方差控制圖[J].方法與應用,1998,(6).

[2]趙永滿.基于威沙特分布的二元過程均值與協方差監控[J].統計與決策,2015,(5).

[3]Chou C Y,Chen C H,Chen C H.Economic Design of Variable Sampling Intervals T2Control Charts Using Genetic Algorithms[J].Expert Systems with Applications,2006,(30).

[4]Robert L,Mason,Nola D.Decomposition of T2for Multivariate Control Chart Interpretation[J].Journal of Quality Technology,1995,(27).

[5]Hayter A J,Tsui K L.Identification and Quantification in Multivariate Quality Control[J].Journal of Quality Technology,1994,(26).

[6]Maysa,Costa.Economic-Statistical Control Chart Design:A Sensitivity Study[J].Brazilian Journal of Operations&Production Management,2005,10(2).