定數截尾情形下Poisson-Lomax分布的Bayes估計

張春雨，劉祿勤

（武漢大學 數學與統計學院，武漢 430072）

1 問題的提出

隨著壽命分布理論的深入發展與廣泛應用，各種新型的壽命分布被相繼提出。Admidis和Loukas（1998）[1]對指數分布與幾何分布進行復合，得到的新分布稱為Exponential-Geometric 分布；Kus（2007）[2]通過復合指數分布與Poisson分布得到了Exponential-Poisson分布；Hemmati（2011）[3]將Weibull分布與Poisson分布進行復合，提出了Weibull-Poisson 分布；Alzahrani（2014）[4]采用相同的機制對Lomax分布和Poisson分布進行復合，得到的分布稱為Poisson-Lomax分布。這些文獻研究了所得新分布的性質，并給出了參數在完全樣本下的極大似然估計。

然而在壽命試驗中，受試驗時間、費用等因素的限制，取得完全樣本往往有較大難度。例如，在醫學藥物試驗中，受試者遷居外地而失去觀察，對藥物有不良反應從而退出試驗；受試驗時間、費用的限制，無法將試驗進行到所有元件都失效等。在這些情形下，只能得到一組不完全樣本。定數截尾是數據缺失的一種基本類型，王德輝（1999）[5]研究了定數截尾情形在熵損失函數下指數分布參數的Bayes估計，徐凌云（2010）[6]、鄢偉安（2012）[7]等給出了定數截尾情形下Exponential-Poisson分布參數的Bayes估計，并對不同損失函數下的估計進行了比較。對于上述新分布，定數截尾情形下的參數估計研究尚不全面。本文研究定數截尾情形下Poisson-Lomax分布的參數估計。

在可靠性和壽命試驗研究中，Lomax分布是一種使用廣泛的壽命分布。該分布包含了單調遞增和單調遞減的失效率，被廣泛應用于分析醫學、生物科學和工程科學等方面的壽命試驗數據處理中。Poisson-Lomax分布是2014年由Alzahrani[4]新提出的一種三參數壽命分布，是Lomax分布的推廣。

設Y1' Y2' …' Yn獨立同分布于參數為α' β的Lomax分布，其密度函數為：

其中 α' β＞0。Z 服從參數為 λ∈(0'M)' 0＜M≤∞ 的截零Poisson分布，即：

且 Z與{Yk:k≥1}獨立。令ξ=max{Y1'Y2'…'YZ}，則稱 ξ服從參數為 (α' β' λ)的Poisson-Lomax分布。其分布函數為：

密度函數為：

其中α'β'λ＞0。該分布的危險率函數為：

隨參數的不同取值，危險率函數h(x)具有單調減和單峰兩種形態，其靈活的危險率函數給統計建模帶來了更多的選擇。文獻[4]分析了該分布的密度函數與危險率函數，給出了各階矩與順序統計量，以及完全樣本情形下參數的極大似然估計與區間估計，并將此新分布應用于實際數據。該分布在實際場景中的良好效果展示了其良好的應用前景。本文將給出定數截尾情形下Poisson-Lomax分布參數的Bayes估計，并進行數值模擬。模擬結果表明，在數據量較小時，Bayes估計優于極大似然估計。

2 參數的Bayes估計

在壽命試驗中，假定n個試驗對象的壽命獨立同分布，規定進行到有r個試驗對象失效時試驗終止。設此r個試驗對象的生存時間依次為x1'x2'…'xr,則x1≤x2≤…≤xr。記x=(x1'x2'…'xr),由文獻[8]可知，x的聯合分布密度為：故似然函數為：

先考慮 α、β已知時參數 λ的Bayes估計。記ti=(1+βxi)-α，則式（7）可記為：

取λ的先驗密度為廣義均勻分布：

其中0＜M≤∞，則λ的Bayes后驗密度為：

記為決策函數的后驗風險為的損失函數，則：

λ 的Bayes估計的定義為

損失函數是影響Bayes估計效果的因素之一，Linex損失函數和刻度平方損失函數是常用的兩種損失函數。刻度平方損失函數由于計算方便，在參數估計問題中應用廣泛[9-11]。Linex損失函數由Varian于1975年提出，Zellner（1986）[12]將Linex損失函數用于Bayes統計推斷問題，其后Linex損失函數日漸成為Bayes估計中常用損失函數之一。

本文將損失函數取為Linex損失函數和刻度平方損失函數，分別求參數的Bayes估計。

2.1 參數λ在Linex損失函數下的Bayes估計

對 λ?= λ?(x),Linex損失函數的定義為：

引理 1：記為 λ在損失函數式（12）下的Bayes估計,則：

證明：對式（12）求條件期望，得：

等式兩端對λ?求一階偏導得：

令可得又：

故作為 λ在損失函數式（12）下的估計是唯一的。

定理1：對于先驗分布式（9）,在損失函數式（12）下參數λ的Bayes估計為：

證明：由式（10）及引理1，可得：

定理得證。

2.2 參數λ在刻度平方損失函數下的Bayes估計

對刻度平方損失函數定義為：

特別地，當 k=0 時為平方損失函數。

引理 2：記為 λ在損失函數式（19）下的Bayes估計，則：

證明：對式（19）兩端求條件期望，得：

等式兩端對λ?求一階偏導得：

令可得又：

故作為λ在刻度平方損失函數式（19）下的估計是唯一的。

定理2：對于先驗分布式（9）,在損失函數式（19）下參數λ的Bayes估計為：

證明：由式（10）及引理2，可得：

由式（20）、式（25）、式（26），可得式（24）。定理得證。

2.3 參數α 的Bayes估計

類似于上文對參數λ的Bayes估計，本文可以考慮λ、α已知時參數β的Bayes估計和β、λ已知時參數α的Bayes估計。限于篇幅，本文僅給出β、λ已知時參數α的Bayes估計。設 β、λ已知，則由式（7）得：

取α的先驗密度為廣義均勻分布：

其中0＜M≤∞，則α的Bayes后驗密度為：

與參數λ的Bayes估計方法類似，本文可以得到α在Linex損失函數下的Bayes估計α?1與刻度損失函數下的Bayes估計表達式如下：

3 數值模擬

由文獻[4]，Poisson-Lomax分布的分位數函數為：

對參數λ的極大似然估計λ?m及在兩種損失函數下的Bayes估計 λ?1、λ?2進行數值模擬。步驟如下：

（1）確定需要產生的樣本容量n,以及截尾數r；

（2）固定 α=2,β=0.5,對 λ'M'n'r分別取不同的值，進行后續步驟；

（3）產生獨立的U1'…'Un～ Unif(0,1),令 X1=Q(U1)'…'Xn=Q(Un),則 X1'…'Xn～F(x;2'0.5'λ)。取 x1=X(1)'…'xr=X(r),計算 ti=(1+βxi)-α'i=1'…'r；

（4）計算記e-zc′,對 M ＜ ∞ ,由大數定律：

其中，z1'…'zN～Unif(0'M)。取 N=10000'c=0.01'k=0,計算

在λ取值范圍為λ∈(0'∞)時，有：

其中，z1'…'zN～Exp(1)。取 N=10000'c=0.01'k=0,計算

（5）對每個 λ的取值，重復步驟（3）、步驟（4）1000次，并求其均值、標準誤、均方誤差。

設 λ?m為 λ的極大似然估計，即 λ?m為在 α、β 已知時似然函數式（7）的最大值點，用Newton法求 λ?m，迭代終止條件為兩次結果相差小于0.001。將兩個Bayes估計與極大似然估計進行比較。

由以上模擬步驟，可得如下頁表1所示模擬結果。表1展示了λ=5、M=∞時，在不同的n、r取值下λ的估計。由表1可以看出，估計的準確度隨n、r的增加而上升。當n不變而r增大時，準確度提高；當r不變只有n增加時，準確度同樣會提高。由表1易見，此時極大似然估計優于Bayes估計。

表2（見下頁）比較了在M 取有限值時兩種估計的效果。取λ=4、M=100,n、r取值如表2所示。當數據缺失較多，即r較小時，極大似然估計效果較差。表2顯示，r=2、r=5時，n的三種取值情形下Bayes估計均優于極大似然估計；當觀察到的數據較多，即有效樣本量r=20時，極大似然估計效果更好。同時，不難發現當觀察到的數據很少即r=2或r=5時，表2中由左至右Bayes估計相對極大似然估計的優勢越來越明顯。這是因為由左至右n增大，數據缺失程度變大，極大似然估計因此效果變差。

表1 λ=5、M=∞時估計結果比較

表2 λ=4、M=100時模擬結果

表3給出了不同M取值對Bayes估計準確程度的影響。由表3可知，M=∞時Bayes估計效果最差，M=50時估計效果最好，M=100時估計效果比M=50時略差。此處M的取值在Bayes估計中決定了λ的先驗分布，M取值較小，給出的先驗信息更充分，估計更準確。

表3 n=1000、r=20時模擬結果

類似地，本文對參數α的兩個Bayes估計進行模擬。取c=0.8、 k=2，得到表4所示結果。由表4可知，除數據量較小的n=60、r=10情形，M取值對α估計準確度影響不大，因此在數據量較大時，對α的估計可取先驗分布為(0'∞)上的廣義均勻分布。

表4 α=5時模擬結果

綜上，可得如下結論：（1）當r很小時，Bayes估計明顯優于極大似然估計；（2）r固定時，n越大，數據缺失程度越大，Bayes估計相對極大似然估計的優勢越明顯；（3）對參數λ而言，M取值越小估計越準確；（4）對參數α，當數據量較小時M取有限值估計更準確，數據量較大時M取值對估計準確度影響相對較小。

[1]Adamidis K,Loukas S.A Lifetime Distribution With Decreasing Failure Rate[J].Statistics and Probability Letters,1998，39(1).

[2]Kus C.A New Lifetime Distribution[J].Comput.Stat.Data Anal,2007,51(9).

[3]Hemmati F,Khorram E,Rezakhah S.A New Three-parameter Ageing Distribution[J].Journal of Statistical Planning and Inference,2011,141(7).

[4]AlZahrani B，Sagor H.The Poisson-Lomax Distribution[J].Revista Colombiana de Estadística,2014,37(1).

[5]王德輝,宋立新.熵損失函數下定數截尾情形參數的Bayes估計——指數分布情形[J].應用概率統計，1999,15(2).

[6]徐凌云,朱寧,方愛秋,唐清干.定數截尾情形指數-泊松分布參數的Bayes估計[J].統計與決策,2010,(15).

[7]鄢偉安,師義民,劉英.不同損失函數下指數-泊松分布的Bayes估計[J].火力與指揮控制,2012，37(2).

[8]曹晉華,程侃.可靠性數學引論[M].北京：高等教育出版社,2012.

[9]陳家鑫.AR模型階數依平方損失函數下的Bayes估計[J].應用概率統計,1991,(2).

[10]宋立新，陳永勝，許俊美.刻度平方誤差損失下Poisson分布參數的Bayes估計[J].蘭州理工大學學報,2008,(5).

[11]彭家龍，李順波.刻度平方誤差損失下二項分布無失效數據的可靠性分析[J].佳木斯大學學報：自然科學版,2009,(1).

[12]Zellner A.Bayesian Estimation and Prediction Using Asymmetric Loss Function[J].Journal of the Americcan Statistical Assication,1986,81(394).