網絡RTK內插模型抗差性分析

李瀅,陳明劍,左宗,王建光

(1.信息工程大學 地理空間信息學院,河南 鄭州 450001; 2.北斗導航應用技術協同創新,河南 鄭州 450001)

0 引 言

網絡RTK技術作為一種基于連續運行參考站網(CORS)的網絡差分定位技術,解決了常規RTK技術由于作用范圍有限而導致的應用受限問題,是對傳統差分定位模式的一次重要革新[1-2]。在網絡RTK中,流動站大氣延遲的準確估計和改正關系到用戶最終定位精度和可靠性[3],是網絡RTK技術研究的重點問題。研究表明內插模型滿足網絡RTK大氣改正需求[4],常用的網絡RTK內插模型包括距離相關誤差模型(DIM)、線性內插模型(LIM)、線性組合模型(LCM)、低趨勢面模型(LSM)、最小二乘配置模型(LSC)和克里金插值模型(KRG)[5-9]。目前,對于網絡RTK內插模型的研究主要集中在對模型內插精度的比較分析和對模型的精化改進兩個方面[4,9]。流動站大氣延遲估計精度除了與模型固有內插精度有關,還主要受實時解算的參考站間大氣延遲準確性的影響。文獻[3]提出不同內插模型抵抗參考站間大氣延遲偏差影響的能力不同,即模型的抗差性不同。現有關于網絡RTK內插模型抗差性的研究較少,文獻[3]簡要分析了DIM模型和LIM模型的抗差性,結果表明模型抗差性隨內插點位的不同而變化,LIM模型較DIM模型抗差性隨點位變化波動較大。

本文基于以上研究基礎,以常用內插模型為研究對象,根據誤差傳播定律提出誤差影響因子的概念以評價內插模型的抗差性,在推導模型誤差影響因子幾何意義的基礎上通過實驗分析探究不同內插模型抗差性的空間分布特征,對網絡RTK內插模型的選擇和優化具有重要意義。

1 網絡RTK內插模型

在實際應用中一般以三角形為解算單元,即基于三角形解算單元實時解算的參考站間大氣延遲內插出流動站與主參考站間的大氣延遲。參考站A、B、C構成三角形解算單元,選擇距離流動站u最近的參考站A為主參考站。網絡RTK內插模型都是基于空間相關性原理,可通過數學推導建立其統一模型[4]:

Vu,A=α1VB,A+α2VC,A,

(1)

式中:VB,A、VC,A分別為基線AB、基線AC上的雙差大氣延遲;Vu,A為流動站u與主參考站A間的雙差大氣延遲;α1、α2為模型內插系數。

對于三角形解算單元,LIM模型和LCM模型的數據結構相同,LSM模型由于在解算中需要至少4個參考站,不適用于三角形解算單元[11]。 因此,本文主要介紹DIM模型、LIM模型、LSC模型和KRG模型,并基于三角形解算單元推導其內插系數,內插系數的推導是在東北天坐標系下進行。

1.1 LIM模型

V=aΔE+bΔN.

(2)

基于三角形解算單元,基線AB、基線AC上的雙差大氣延遲均滿足式(2),得到

(3)

擬合函數的系數a、b有唯一解,流動站u與主參考站A間的雙差大氣延遲也滿足式(2),則LIM模型的內插系數為

(4)

1.2 DIM模型

DIM模型早在1997年由Gao提出用于網絡RTK電離層延遲建模[6],該模型以流動站與參考站的距離為參數,通過距離倒數所占的比值確定內插系數,適用于小區域空間相關誤差建模[1]。基于三角形解算單元,其內插系數為

(5)

式中,duB、duC分別為流動站u到參考站B和參考站C的距離,其計算公式為

(6)

1.3 LSC模型

LSC模型最早被用于地球重力場的插值,Raquet等將其用于內插網絡RTK用戶位置的電離層延遲和對流層延遲[8]。LSC模型通過參考站與流動站空間相關誤差之間的方差與協方矩陣,在最小均方差原則下由實時解算的參考站間空間相關誤差估算流動站與主參考站間的空間相關誤差。基于三角形解算單元,LSC模型描述為

(7)

則LSC模型內插系數為

(8)

(9)

式中:cmn為參考站m和n之間的相關函數; odijk(2000)定義其為距離線性函數cmn=dmax-dmn.dmn為參考站m和n之間的距離;dmax為最大距離,需大于參考站間最長距離,本文中取值為150 km.

1.4 KRG模型

KRG模型最早由南非礦業工程師Krige提出并以其名字命名,是一種空間自協方差最佳差值方法,充分考慮了樣本數據在空間和時間上的相互關系[9]。KRG模型與LSC模型相似,但其內插系數需滿足和為1的約束條件,添加到式(7)的參數求解中得到:

(10)

(11)

其中:

(12)

2 內插模型抗差性理論分析

2.1 誤差影響因子

(13)

式(13)變化可得:

(14)

(15)

誤差影響因子e可由內插系數的平方和計算,用于評價內插模型的抗差性。誤差影響因子越小,則模型抗差性越好。當誤差影響因子e≤1時,結合式(14)、式(15)可得:

(16)

式(16)表示流動站大氣延遲內插精度小于等于參考站大氣延遲解算精度,沒有放大估計誤差對內插精度的影響,可認為模型抗差性較好。本文將誤差影響因子e≤1作為評價模型抗差性較好的標準。

2.2 誤差影響因子幾何意義

對于不同內插模型,可推導其誤差影響因子的具體表達式。LSC模型、KRG模型誤差影響因子的表達式較為復雜,難以用簡單的幾何意義描述。 因此,本文主要推導LIM模型、DIM模型誤差影響因子幾何意義,并從理論上分析其空間分布特征。

1) LIM誤差影響因子幾何意義

將式(4)計算的LIM內插系數α1和α2代入式(15)中,可得LIM模型誤差影響因子eLIM:

(17)

式(17)的向量表達形式為:

(18)

式中:Au=(ΔEu,A,ΔNu,A);AB=(ΔEB,A,ΔNB,A);AC=(ΔEC,A,ΔNC,A); ×表示向量的叉乘運算符號。為從幾何層面描述eLIM的含義,將向量Au、AB、AC在二維直角坐標系中用有向線段表示,如圖1所示。

在二維平面中,向量叉乘的幾何意義描述為有向面積,即向量叉乘的模為以這兩向量為鄰邊組成的平行四邊形的面積。|AB×AC|表示為圖1中所示平行四邊形ABA'C的面積,其大小為三角形ABC面積的2倍。同樣的,|Au×AC|和|Au×AB|所表示平行四邊形面積的大小分別為三角形ACu和三角形ABu面積的2倍。

則式(18)可以表示為

(19)

式中,S、S1、S2分別為三角形ABC、三角形ACu和三角形ABu的面積,如圖1所示。

由式(19)結合圖1可以看出,LIM模型誤差影響因子eLIM的幾何意義為流動站u、主參考站A以及參考站(B或C)所構成三角形面積與三角形解算單元面積比的平方和。通常更為關注三角形解算單元內的模型抗差性,即圖1所示流動站u在三角形ABC內的情況下的模型誤差影響因子的大小,從圖中可以看出三角形ACu和三角形ABu的面積之和小于或等于三角形ABC面積,即S、S1、S2滿足以下關系式:

S1+S2≤S.

(20)

可以變化為

(21)

結合式(20)、式(21)可以得出eLIM<1,即理論上三角形解算單元內LIM模型誤差影響因子eLIM小于1,LIM模型抗差性較好。

2) DIM誤差影響因子幾何意義

將式(5)計算的DIM內插系數α1和α2代入式(15)中,變化可得DIM模型誤差影響因子eDIM:

(22)

式中:duB為參考站B與流動站u之間的距離;duC為參考站C與流動站u之間的距離,如圖2所示。

基于DIM模型的原理,結合圖2可以看出,DIM模型誤差影響因子eDIM的幾何意義是流動站u到參考站(B或C)的距離所占比例的平方和。可以得出0.5≤eDIM<1,即理論上DIM模型誤差影響因子eDIM小于1,DIM模型抗差性較好。

3 實驗分析

基于三角形解算單元探究內插模型的抗差性空間分布特征。以正三角形為例,基線距離為100 km,以解算單元中心坐標為坐標原點建立局域東北天坐標系,LIM、DIM、LSC、KRG誤差影響因子變化情況如圖3所示。圖中標注出三角形解算單元,其中“五角星”表示主參考站位置,“三角形”表示其他兩個參考站(下文中簡稱輔參考站)位置。其他形狀三角形實驗結果類似,文中不再列出。

從圖3(a)可以看出,LIM模型的誤差影響因子隨流動站與主參考站相對位置的變化而產生較大波動(其值在0～4范圍內波動),在主參考站夾角及其反方向變化較慢,即LIM模型抗差性空間分布不均,主參考站夾角及其反方向模型的抗差性優于其它方向。從圖3 (b)顯示DIM模型誤差影響因子變化比較平穩(其值集中在0.5～0.7范圍內),即DIM模型抗差性空間分布較為均勻。DIM模型誤差影響因子與流動站與主參考站的相對位置無關,而是隨流動站與輔參考站相對位置的變化而變化,表現為流動站到兩輔參考站的距離相差越大誤差影響因子越大。從圖3(c),圖3(d)可以看出LSC模型和KRG模型誤差影響因子變化特征較為相似,誤差影響因子與流動站和三角解算單元(主參考站、輔參考站)的相對位置有關。KRG模型誤差影響因子空間分布有明顯的方向性,在主參考站夾角反方向誤差影響因子較小,參考站夾角反方向誤差影響因子較大。LCS模型誤差影響因子空間變化規律較為復雜,主要呈現為分塊特征,主參考站區域誤差影響因子較大,參考站區域誤差影響因子較小,且誤差影響因子隨流動站與主參考站、參考站距離的增大而增大。

從圖3中可以看出三角形解算內誤差影響因子均小于1,即流動站位于三角形解算單元內,四種內插模型抗差性均滿足要求。三角形解算單元外誤差影響因子的變化范圍較大,主參考站夾角反方向誤差影響因子較小,即流動站位于三角形解算單元外,主參考站夾角反方向模型抗差性較優。

4 結束語

網絡內插模型抗差性隨流動站位置變化而呈現空間變化,定量分析模型抗差性的空間特征對選擇和優化網絡RTK內插模型具有重要意義。本文提出誤差影響因子用于評價模型抗差性,在數學推導的基礎上,通過實驗比較探究不同內插模型抗差性的空間分布特征,得到如下結論:

1) 不同內插模型抗差性空間分布有較大差異,LIM模型抗差性呈現以主參考站為中心的橢圓曲線分布,DIM模型抗差性空間變化比較平穩,LCS模型抗差性空間分布呈現為分塊特征,KRG模型抗差性空間分布有明顯的方向性。總體而言,LIM模型抗差性空間變化最大,DIM模型抗差性空間分布較為均勻。

2) 流動站位于三角形解算單元內,不同內插模型的抗差性均滿足本文抗差性評價要求。

3) 流動站位于三角形解算單元外,模型抗差性與其方向具有密切相關性,主參考站夾角反方向模型抗差性較優。

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