滲透數學思想，提升數學思維

卞興

【關鍵詞】探索規律 數學思想 數學思維

在蘇教版數學中，之前設有專門的“找規律”版塊，改編后把找規律的內容放到了活動課中，實際上，活動課中也多有涉及其他找規律的內容，如《積的變化規律》《面積的變化》……“探索規律”是《義務教育數學課程標準（2011年版）》“數與代數”領域中的重要內容之一，新課標在探索規律的內容中明確指出“發現給定事物中隱含的簡單規律”，激發學生用“數學的眼光”去觀察、分析思考，進而挖掘獲取數學知識的渠道。規律是多樣的，但在多次帶領學生經歷了找規律后，他們也獲得了發現一般規律的方法，即觀察—猜想—驗證—結論，在學生似乎已經掌握找規律后，如何在規律中進一步體會數學思想，讓他們的思維有所提升，真正掌握找規律的真諦，這是我們在教學中需要進一步思考的。

荷蘭數學教育家弗賴登塔爾指出：“將數學作為一種活動來解釋和分析，建立在此基礎上的教學方法，稱之為再創造的方法。”這句話充分強調了學習數學的正確方法是由學生把要學習的數學知識通過自主活動發現或創造出來，教師的任務則是設計、組織好活動，并引導學生積極參與活動過程，而不是把現成的東西灌輸給學生。

一、從簡入手，化難為易，讓思維有長度

【片段】

在教學蘇教版數學五年級下冊《和與積的奇偶性》這課時，如何讓學生從和的奇偶性關注到加數的奇偶性上來，我進行了這樣的設計：

（出示3）師：這是3，它是一個奇數。

（出示3+6）師：加偶數6，現在和是幾，是奇數還是偶數？

生：和是9，是奇數。

（出示3+6+5）師：加奇數5，現在和是幾，是奇數還是偶數？

生：和是14，是偶數。

（出示：3+6+5+12+15+37+52+78+123+389）師：和是幾，是奇數還是偶數？

生疑惑狀。

師：顯然，現在我們想快速計算出這個式子的和有困難了，但是有一點是確定的，它的和要么是奇數、要么是偶數，那么和的奇偶性與什么有關呢？

生1：可能與加數有關。

生2：可能與加數中奇數和偶數的個數有關。

……

【反思】

想要學生一下子找到和與積的奇偶性很困難，但兩個數相加和的奇偶性規律學生在平時的學習中已經有了一定的經驗，基于這樣的“經驗”，我設計了上述4個算式，讓學生發現有更優的判斷方法，從而激發他們思維的“生長”。化難為簡的數學思想也在這里悄然滲透。

事實上，數學中常見找規律的題目，如直接寫出999999×999999的積是多少。面對這一題，學生一般無從下手，但仔細分析，想要直接寫出積，肯定積有一定的規律，化難為簡的思想會讓他們得到啟示，即從9×9開始思考，接著算99×99，999×999，在算了幾次后，規律顯而易見，思維也就豁然開朗。因此，我想數學中的化難為簡，不是縮短了學生的思維，反而是達到了退一步海闊天空的境地，讓學生的思維有了長度。

二、出其不意，整體思考，讓思維有寬度

【片段】蘇教版數學四年級下冊《用計算器計算》

19+9×9=

118+98×9=

1117+987×9=

11116+9876×9=

111115+98765×9=

師：用計算器計算前三題，發現規律后直接寫出第四題的得數。

生：第一題結果是100，第二題結果是1000，第三題是10000。

師：那下面兩題的結果是？

生：100000、1000000。

師：你是怎么想的？

生：每次的結果添一個0。

【反思】

很明顯，學生在寫出計算結果時，已經關注到結果的變化，并且知道了結果是如何變化的。如何從數學的角度去探索事物的規律，如何引導他們將目光注意到前面的算式以及算式與結果的聯系中，讓學生從定式思維中跳出來，領悟“規律”的內涵，是學生學習的一個新起點。出于這樣的思考，我對教學進行了修改：

19+9×9=

118+98×9=

1117+987×9=

11116+9876×9=

11111113+9876543×9

在前面三題學生用計算器算出結果后，第四題的結果學生很快得出，理由也和之前一樣，結果每次添一個0。但第5題的出現，學生很快進行了思考，他們的回答也有了變化：

生1：我發現前面式子中加數每次都添一個1。

生2：乘數中9不變。

生3：我發現結果中0的個數與前面加數中1的個數有關。

……

一道打破固定思維的算式打破了學生的思維，一道算式的變化引發了學生的觀察與思考，一道打破常規的算式將學生的目光集中到尋找聯系中去……基于學習是學生的經驗體系在一定環境中自內而外地“生長”這一思想，我在引導學生經歷“做”的過程和“思考”的過程中促進學生從“經歷”走向“經驗”，在找規律的教學實踐中精心組織適度開放的探究性活動，啟發學生拓寬思路，多方位、多角度地尋找規律，再通過交流發展學生的思維。授之以魚，更授之以漁！

我想在我們的教學中應該多一些這樣的出其不意，這樣學生的思維才不會受到約束，在面對眾多規律的時候，他們才會帶著整體的思想，胸中有丘壑，讓思維更具寬度。

三、舉例驗證，數形結合，讓思維有深度

【片段】蘇教版數學五年級下冊《和與積的奇偶性》

在學生初步感知和的奇偶性可能與加數中奇數和偶數的個數有關后，如何引導學生發現和的奇偶性只與奇數的個數有關，我進行了這樣的設計。

活動一：任意選取兩個不是0的自然數，求出它們的和，再看看和是奇數還是偶數。

學生活動，完成下表。

（1）

（2）投影展示，交流：你有什么發現嗎？

根據學生回答板書：

奇數+偶數=奇數

奇數+奇數=偶數

偶數+偶數=偶數

師：這些發現是否正確呢？

生：舉例驗證。（學生按類舉例）

師：有沒有不符合這個發現的例子？上述發現是否正確？

師：看來舉例驗證是個好方法。同學們，想一想，你能用別的方法來說明這三條規律嗎？

引導：我們能不能從奇數和偶數的定義上來說說。

我們還可以用圖形來說明。（課件出示）

【反思】

通過舉例，學生很快能夠發現兩個數相加和的奇偶性規律，但到底為什么，如何讓學生理解其本質，是個難點。我國著名數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，隔裂分家萬事休。”于是，我從奇數、偶數的定義入手，通過數形結合，讓學生去理解。這樣設計使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，促進了學生數學思想的形成，對發展學生的數學思維起了事半功倍的作用。

四、釋疑解惑，合情推理，讓思維有廣度

【片段】蘇教版數學五年級下冊《和與積的奇偶性》

學生已經理解了兩個數相加和的奇偶性規律，發現和的奇偶性與加數中奇數、偶數的個數有關，那到底有著怎樣的關系呢？如何讓學生的注意力自覺集中到奇數的個數上去呢？我進行了這樣的設計：

（1）同時加1個偶數

奇數+偶數+偶數=

奇數+奇數+偶數=

偶數+偶數+偶數=

（2）同時再加1個偶數

奇數+偶數+偶數+偶數=

奇數+奇數+偶數+偶數=

偶數+偶數+偶數+偶數=

（3）繼續加偶數

奇數+偶數+偶數+偶數+偶數=

奇數+奇數+偶數+偶數+偶數=

偶數+偶數+偶數+偶數+偶數=

生分別答，說說自己的想法。（引導學生根據之前兩個數相加的結論進行推導）

師：如果繼續加偶數，和的奇偶性又是怎樣的？

生：和的奇偶性不變。

師：如果改加奇數呢？

出示：

奇數+偶數+奇數=

奇數+奇數+奇數=

偶數+偶數+奇數=

生答并說說是怎么想的。（生根據之前的結論進行推導）

師：觀察這些式子，你有什么發現嗎？

生：加法算式中加偶數和的奇偶性不變。

師：也就是說和的奇偶性與偶數個數無關。

生：加法算式中加奇數和的奇偶性會改變。

師：也就是說和的奇偶性與奇數個數有關。

【反思】

新課程標準指出：“推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式。因此，推理也貫穿在整個數學學習中。”這一過程，學生在思考現象的過程中掌握了抽象的真理，在這一系列的腦力勞動中獲得了一種重要品質——他能用思維把握一系列相關聯的情況，也就是學會了思考。長此以往，學生的數學水平就能得到提高。

數學學習中常用到化難為易、數形結合、數學模型、符號化思想以及分類思想等，這些數學思想方法對幫助學生解決實際問題有著重要的作用。在學生學習探索規律的內容時，獲得其中的規律當然是重要的，但這不應是唯一的目的。小學數學找規律的重點在于讓學生學會用數學的視角分析問題，在規律探索中體會數學思想的重要性，在數學思想的滲透中進一步培養學生的思維意識，這對一個人思維方法、思維形態的發展有重要意義。