意外考試悖論和認識論問題

陶 昱

（北京大學 物理學院，北京 100871）

一、意外考試悖論和它的變形

意外考試悖論（the surprise exam paradox）在歷史上有多個類似版本，如“突然演習悖論”“意外絞刑悖論”和“求婚者悖論”等。意外考試悖論由哲學家奧康納 （D.J.O’Connor）于1948年正式提出，并以“語用悖論”（pragmatic paradox）稱謂之。1953年，另一位哲學家蒯因 （W.V.O.Quine）將此悖論從認知的角度重新提起，引起了熱烈的討論，于是意外考試悖論被作為認知悖論而受到學界的重視。

意外考試悖論是這樣的：一位老師對學生宣布，在下周的5個工作日內要考試，但哪一天不確定；這位老師宣稱，考試時間是不能被預測到的。一位學生這樣想：老師一定不會在下周五考試，因為如果前4天不考試的話，星期五考試就成為可預測的；如果星期五不考試，那么星期四也不會考試，因為如果前3天和星期五不考試，那么星期四考試就成為可預測的。以此類推，星期一也不會考試，因為如果后4天不考試，那么星期一考試就成為可預測的。這樣，老師每一天都不會考試。然而，這又同老師關于下一周內必有考試的承諾相違背。這意味著，老師必有考試的承諾和讓考試日期不可預測的承諾之間是相矛盾的。這就是意外考試悖論［1-2］。

意外考試悖論還有若干變形，例如 “例外演習”悖論、“方片A撲克牌”①即一個人拿著一堆牌向另一個人一張一張地翻開，宣稱“你不可能提前知道下一張翻到的是方片A”，推理過程與意外考試悖論類似。悖論［3］、“被選中的學生”悖論等。大多數變形和原來的悖論實質上相差不大，值得引起注意的是“被選中的學生”悖論，讓整個推理的過程不再需要考慮人的認知水平隨時間的變化，這對于研究意外考試悖論具有重要意義。

除此之外，有人直接從哥德爾不完備性定理出發來論證這個悖論［4］，有人將它和“薛定諤的貓”的悖論聯系起來［5］。

二、先前關于解決意外考試悖論的工作

（一）通過“二階主體操作”的理論來解決

先前，陳曉平將悖論按照其邏輯形式分為“一階”和“二階”悖論［1］。悖論的描述當中只涉及到對象語言的稱為“一階悖論”，比如“A既是B又不是 B”。悖論當中涉及到元語言的稱為“二階悖論”，比如“這句話是一句假話”，按照其語義分為“客觀描述悖論”和“主體操作悖論”。悖論只涉及到客觀描述的稱作“客觀描述悖論”，涉及到操作問題的稱為“操作悖論”。意外考試悖論和一系列認知悖論被劃入“二階主體操作悖論”的范疇。由于老師的宣告“被遵守就意味著被違反，被違反就意味著被遵守”，因此它是“不可操作的”，并且由于操作的封閉性，“不可操作也是一種操作”，因此就解決了這個悖論。

本人認為這樣的解決方案其實并不能令人滿意。首先，該方案認為“認知悖論這種分類方法是模糊的”，與實際情況不相符合。事實上，人的“認知”成為一個重要哲學概念的時間由來已久，在古希臘時期柏拉圖就有“知識是可以證明的真信念”的論斷，近代又產生了知識的JTB（justified true belief）理論和各種對于JTB知識論的質疑和補充。所謂“認知悖論”就是直接指向人的“知識”這一概念的悖論，這里沒有什么“模糊”的地方，強行將這些悖論劃歸到“語義悖論”和“操作悖論”的范疇當中，看起來沒什么道理。

其次，“操作具有封閉性”這一個假設也缺乏依據和其他工作的支持，尤其是如果已經從其中得出了“不可操作也是一種操作”這樣看起來比較荒謬的結論，就更說明這個假設可能存在問題。陳曉平認為引入與認知有關的謂詞，建立認知的邏輯“與人類的直覺相去甚遠”，但是這里關于“操作”的概念可能更加遠離人類的直覺。從“操作”的字面意義上來理解，由于“不可操作”這個論斷本身并沒有做出任何的操作，因此將它也當成一種操作看起來并不合理。

并且，陳曉平在文中已經承認“老師的宣告被遵守就意味著被違反”，這就已經是意外考試悖論最為核心的問題了。因為從直覺來看，老師的宣告是可以不在任何程度上被違反的，如果已經假設了“老師的宣告被遵守就意味著被違反”，就意味著默認了意外考試悖論里面最為荒謬的地方，在此情況下，得到了“不可操作也是一種操作”，并不能被認為就解決了這個悖論。

總而言之，通過新建一個概念，生硬地做出一些假設，在新建立的這個體系中說明悖論已經被解決，并且既不說明舊的體系的問題，也不說明建立新的體系的技術性以外的動機，這個方法是平庸 （trivial）的，不是一個令人滿意的解決方案。

（二）通過轉移矛盾來解決

蒯因提出，在這個悖論當中學生所否定的實際上并非教師的宣告本身，而僅僅是“學生在教師宣告之后，立刻知道教師的宣告為真”這一假定［6-7］。也就是說，在教師宣告之后，學生所做的推理僅僅能夠得到的結論是“教師的宣告為真”這一個斷言，但這還不能夠成為學生的知識，學生并不“知道”教師的宣告是否為真。

但是，本人認為這樣的解決方案也不令人滿意，因為這會導致其他與人的直覺相矛盾的結論。最嚴重的是，這里所產生的“知識”的概念與常識和直覺上的“知識”并不一致。從直覺上來講，學生是應該知道老師的宣告為真的，沒有證據證明老師在說謊，并且教師所做出的宣告，確實有實現的可能性：試想，老師在下周三考試，那么從直覺上講，學生并不可能在前兩天都沒有發生考試的情況下，在周二晚上就“知道”周三會進行考試。在這種情況下，周三的考試對于學生來講確實是“意外”的。“學生并不能以教師所做出的宣告不能實現為理由為自己在考試中發揮失常推脫。”［3］并且學生在老師宣告之后，就可以立即預見到可能周三考試的狀況，預見到從直覺上自己并不能在前兩天都沒有發生考試的情況下，在周二晚上就“知道”周三會進行考試的情況，因此學生立刻就可以知道，教師的宣告是可以被實現的。

另外，學生根據自己的邏輯推理，又可以在教師宣告之后立即知道教師的宣告是不可以實現的。因此，拋開學生是否知道教師的宣告為真的問題，只需要考慮學生知道老師的宣告是否有可能實現的問題，就足以導出反直覺的結論：學生的知識產生了自相矛盾，然而自相矛盾的兩個方面，“教師的宣告可能實現”來源于看起來沒有問題的直覺，而“教師的宣告不可能的實現”來源于從看起來沒有問題的直覺出發的邏輯演繹。

誠然，蒯因通過轉移矛盾避免了直接演繹得到一個矛盾式，情況變成了只是在學生的知識中出現了矛盾。然而，這樣的解決方案只解決了這個悖論的一部分，還不是一個完全的解決方案；它只是削弱了矛盾，而非解決了矛盾。因為僅僅是學生在認識上的自相矛盾就已經是一個令人不能接受的結論了。這個矛盾說明了人類完全符合直覺和邏輯的認知過程有可能產生完全矛盾的知識（教師的宣告事實上不可能既有可能實現又不可能實現）。如果不能直接解決這個問題，或者不能將可靠的和不可靠的認知過程區分開來，就意味著人類所掌握的所有知識都將成為不可靠的知識，這是不能接受的結論。

另外，“悖論是從一組看似合理的前提出發，經過有效的邏輯推導，得出了一對自相矛盾的結論的命題”［2］。我們還需要注意到，“學生知道老師的宣告為真”本來也是“看似正確”的前提之一。除了從邏輯上否定它，還必須找出它的問題，而蒯因的工作仿佛并沒有直接說明這個命題有什么不對的地方。

總而言之，蒯因的解決方案的缺陷與之前所述的操作理論解決方案的缺陷有相似之處，即都回避了這個悖論中最重要的問題：為什么老師的宣告會有問題？事實上，把解決方法歸結于“受到否定的只是老師的宣告”，無異于將悖論的矛盾之處從一個點轉移到了另一個點，并沒有解決矛盾。

（三）通過拒斥知識的持久性來解決

克里普克試圖通過拒斥知識的持久性來解決這個悖論。他首先分析了這個悖論依賴的一些關于知識的前提條件，也就是“公認正確的背景知識”，共有10條：

（1）教師宣布考試將在下一周的某個時間舉行；

（2）考試將在下一周某個確切的時間舉行；

（3）學生在舉行考試的前一天并不知道考試將在第二天舉行；

（4）如果前i-1天都沒有考試，那么學生在第i-1天知道這個事實；

（5）如果某一天發生了考試，那么這一天的前面的日子沒有考試；

（6）凡是學生知道的東西都是真的；

（7）如果學生知道a并且a蘊含b，那么學生知道b；

（8）學生知道所有的邏輯重言式；

（9）如果學生在某個時候有某個知識，那么他在這個時刻之后的每一個時刻都有這個知識；

（10）如果學生知道a，那么他知道自己知道a。

從這10條出發，就可以得出矛盾。克里普克對于其中的第9條（如果學生在某個時候有某個知識，那么他在這個時刻之后的每一個時刻都有這個知識），也就是對知識的持久性提出了懷疑。由于一個認知主體在時間流逝中可能會發現新的證據，并用它來反對自己之前所擁有的知識，所以知識并不是持久的。雖然有“知道蘊含真理”的原則，而且真理是不會改變的，但是人對于真理的信念的強度確實會受到所見的證據的影響，有可能轉而對真理采取不相信的態度，因此拒斥原則9是有一定的依據的。美中不足的是，仿佛沒有人說明，在得出謬誤的過程中，究竟有什么新的證據足以消除認知主體過去擁有的關于舉行考試的情況的知識。

然而，索倫森將這個悖論變形，構造了一個“被選中的學生”的新的悖論，從而完全避開了知識隨時間變化的問題［7-8］。

“被選中的學生”是這樣的一個情形：有n個學生排成一列，教師在他們每個人后背上貼了一個五角星，只有一個同學背后的五角星是金色的，這個同學就是被選中的同學。每一個同學只能看見前面同學背后的五角星顏色，看不見自己的和后面同學的。教師宣告，這位被選中的同學并不知道自己被選中了。

然而，根據邏輯推理，每一位同學都知道這是不可能的。如果金色五角星貼在最后一位同學后背上，那么他看見前面的同學后背就知道了自己被選中了，因此被選中的不是最后一位同學。如果被選中的是倒數第二位，由于他明知最后一位同學不可能被選中，又看見之前的同學都沒有被選中，就知道自己被選中了，因此他也不是被選中的。由此類推可以得到被選中的只能是最前面的同學，這樣一來他就知道了自己被選中，因此教師的宣告不能成立。

“被選中的學生”悖論在推理過程中將時間的前后轉換成空間的前后關系，因此避免了知識隨時間變化的問題，而且其中的每一個“不可能選中第X個學生”的結論都是所有學生共同的知識。

除了索倫森之外，還有人通過質疑JTB知識論，或者質疑最后一條規則（也被稱為正內省原則）來質疑克里普克的解決方案，但正如文獻［3］中指出的一樣，這樣的論點實際上不足以構成對于克里普克的解決方案的質疑。

總而言之，由于索倫森的工作，克里普克雖然找到了一個解決意外考試悖論的方法，但是他的解決方案卻不能解決一個和意外考試悖論極為類似的悖論，不具有可以推廣的性質。為了解決這一類悖論，還需要做更多的工作。

三、通過形式認知系統尋找矛盾

（一）形式系統的建立

克里普克對意外考試悖論的解決方案被索倫森構造的新悖論反駁，說明他的解決方案也許并未觸及這個悖論的本質。進一步可以斷言，通過修改人的知識和時序的關系來解決這個悖論并不能觸及到這個問題的本質。本文擬通過在一階算術系統的基礎上建立形式系統的方式來分析形成這個悖論的每一個前提的可靠性，進而研究拒斥某一些原則的解決方案。哥德爾在證明不完全性定理中所做的工作表明，我們可以通過編碼的方式將所有的元語言全部用自然數來表示，稱為對字符串進行哥德爾編碼。又由于一個函數的可計算性、可表達性和遞歸性三者之間存在等價關系，元語言中的清晰地表達對象關系的語句也可以用一階算術的形式表達。利用這種思想，我們可以將關于人類認知的理論形式化，事實上克里普克已經給出了意外考試悖論對應的形式系統［7］。

事實上，通過形式系統來研究悖論有重要的意義，因為通過嚴密的邏輯推理，可以清晰地看見達成悖論所需要的所有前提，可以排除在推理的過程中自相矛盾的情況，這樣就可以用一種分析的方法來看待悖論的問題。對“被選中的學生”，也可以模仿克里普克的工作來建立這樣一個形式系統：除了一階算術已有的謂詞和公理之外，加入n個1元謂詞 K1，K2，…，Kn，此處Ki（x）解釋為第i個學生知道哥德爾編碼為x的這一個公式①在本文當中，我們在謂詞K當中用一個公式代表它的哥德爾編碼，例如K1（p p）實際上代表的是K1（m），其中m是公式p p的哥德爾編碼。；并加入n個0元謂詞 （也就是命題），P1，P2，…，Pn，此處Pi解釋為金色五角星粘貼在第i個同學背上。

在克里普克所提出的幾個公理當中，以下幾條是關于人類的認識規律的①（C1—C3）每一條都對應著若干條公理，因為公式中的i，j，k…可以分別取1-n的整數值，之后的（H1-H5）也是如此。：

對“被選中的學生”這個特殊的情形，由于學生對游戲規則知情，還有這么幾條基本假設（模式）：

在開始推理之前有幾點需要說明：

首先，在工作當中徐召清曾指出，“知識的合取規則”，也就是 （K（A） K（B））→K（A B）應當作為一條新的原則被引入［3］。本人認為這是沒有必要的，因為這一命題是前述的公理和形式算術其他公理的邏輯后承。在此有必要證明一下這個結論。之后，將知識的合取規則記為（CK）。

命題1

證明 由于一階邏輯的演繹定理，只需要證明

事實上，可以做這樣的演繹：

因此，結論成立。

由于 （CK）是 （C1）（C2）（C3）的后承，又考慮到 （C4），因此可以認為每一個同學都知道知識的合取規則。其次，在關于知識的公理（C1—C3）當中并沒有之前所說的“正內省原則”，這是因為實際上在“被選中的學生”這一個具體的悖論問題當中，并不需要一個普遍的正內省原則，而且在之前克里普克關于“意外考試悖論”的推理當中也并沒有出現這一個假定［3］。但是，知識的正內省性質可能在其他涉及到知識論的場合很重要。另外，（C4）和（H5）事實上是正內省原則在本問題當中的一個特例。普遍的正內省原則受到了很多質疑，但是這個特例看起來易于接受。這也從另一個側面說明，普遍的知識正內省原則并非“被選中的學生”悖論的關鍵。

其次，有必要對于幾個假設的公式給出解釋。（H1）可以解釋為，每一個學生都知道在所有學生當中至少有一個學生被選中；（H2）可以解釋為，每一個學生都知道不可能有兩個學生同時被選中；（H3）可以解釋為，每一個學生都知道被選中的那個人不知道自己被選中了；（H4）可以解釋為，每一個同學都知道以下事實：如果某一個同學背后沒有貼金色的五角星，那么所有他后面的同學都可以看到他沒有貼金色的五角星；（H5）可以解釋為每一個同學都知道任何一個同學對游戲規則是知情的。

（二）形式系統的演繹

有必要驗證之前建立的形式系統，從它的假設出發是否能夠導出矛盾。我們分若干部分來證明。

命題2

證明 在之前的證明中，可以發現A B可以作為A和B的邏輯后承。之后把這個規則記為CD，不再說明。

先證明 Ki（Pn→Kn（ Pj））（j＜n）。事實上可以如下演繹：因此有Ki（Pn→Kn（ P1）），Ki（Pn→Kn（ P2）），…，Ki（Pn→Kn（ Pn-1））。由于（A→B）（A→C）→（A→（B C））是一個重言式，反復運用知識合取規則和（C2）就可以將這n-1個命題合并成一個命題，也就是 Ki（Pn→Kn（ P1P2… Pn-1））。

命題3

證明 事實上可以做如下演繹。為了縮減篇幅，用 A表示 Kn（ P1（ P2… Pn-1），B表示Kn（P1P2… Pn），C表示 Kn（（P1… Pn）（ P1… Pn-1））。

由此我們可以得出，每一個同學都知道，如果最后一個同學被選中，那么他知道他自己被選中了，這正是之前非形式化論述悖論時的一步。

命題4

證明 演繹如下：

因此，我們演繹后得到的結論是：每一個同學都知道被選中的人只能在前n-1個同學當中。

命題5

證明 我們經過剛才的演繹，事實上得到了：

根據一階邏輯演繹定理就有：

下面，對于n使用數學歸納法來證明：

n＝1 由于A→A是重言式，顯然成立。

假設對于n＝k，命題成立。由之前的演繹我們知道：

根據歸納假設，

運用假言三段論（HS）就有：

由數學歸納法，結論成立，再由演繹定理知Ki（P1）。

特別地，有K1（P1）。再進一步演繹就可以導出矛盾。

命題6

證明 事實上可以這樣演繹：

這樣就演繹得到了矛盾式P1P1。因此我們可以說，這樣的結果不僅是“反直覺”的，而且是“自相矛盾”的。這說明我們采用的9條假設相互之間并不相容，因此有必要考察它們中的每一條，驗證它們的可靠性。

（三）對于各種修改方案的討論

（C1）—（C4）是關于每一個同學認知能力的基本假設。其中，（C1）代表同學相信的都是正確的，這一條假設仿佛正確性得不到保障，并且假設教師選中了第五個人，那么通過剛才的演繹過程，中間得到的同學的某一些知識與事實是相反的，比如前四個、前三個、前兩個同學當中都沒有被選中的同學。事實上，如果舍棄（C1），那么即使得到了“第一個同學知道自己被選中”的結論也不能導出邏輯上的不一致，只能夠導出同學在認識上的不一致和矛盾①導出認識上的矛盾可能還需要知識的正內省原則。。“知識蘊含真理”這一條假設也確實受到了很大的質疑，因為從常識上來講人確實經常產生錯誤的認識。刪除（C1）仿佛是一個不錯的解決方案。

然而，這里的“知道”并不完全是日常生活中的“知道”。這里同學們所“知道”的內容都是從其他幾條假設出發，經過了嚴格的邏輯演繹過程得到的結論，所依賴的前提也僅僅是游戲規則和很難說有什么錯誤的自己親眼所見前面同學背后沒有金色五角星的事實。實際上，如果舍棄了“經過嚴格的邏輯演繹得到的結論是真的”的假設，那么幾乎沒有什么東西是真的了。“從真的知識出發經過合法的演繹過程得到的結論是知識（也就是真理）”是人類思維當中極其基本的原則，舍棄它會給其他場合下解決問題帶來很大的困難，而且從直覺上講這一條也不應該被舍棄，因此是否舍棄 （C1）是一個可以接受的解決方案還有待考慮。

（C2）（C3）是關于同學們邏輯演繹能力的公理，同時也代表著一個人相信自己演繹的結果。這也同樣是非常基本的假設，而且同學們顯然也應該具有邏輯演繹的能力并相信自己的結果。雖然確實有人提出了通過拒斥認知的封閉性來解決悖論的解決方案［7］，但是如同知識的正內省原則一樣，這個悖論事實上并沒有用到普遍的認知封閉性的原則，只用到了它的若干個特例②由于用到的特例數量眾多，如果一一列舉將會使得篇幅過長，因此本文中僅用了一個普遍的公理模式來表示。，并且并沒有證據表明其中任何一步的推理是錯誤的③這里的情況仿佛與連鎖悖論有接近的地方，冗長的推理過程沒有任何一步有明顯問題，但是推出了荒謬的結論，然而正如文獻［3］所談到的，推理的過程沒有任何的模糊性，因而也無法用解決連鎖悖論的方法來解決這個悖論。，因此刪除它們不是可以接受的解決方法。

（C4）則是說明每個同學都知道其他同學有充分的認知能力。如同之前所論證的，這是正內省原則的一個特例，比起普遍的正內省原則可靠很多，這也不是一個可以舍棄的公理。

在（H1）—（H5）之中，（H3）的可靠性是最得不到保障的④當然，如果（H3）的可靠性有待商榷，那么包含（H3）的（H5）的可靠性也是同樣的。。（H3）是想要表述“被選中的同學不知道自己被選中”的事實，采用了“如果第i個同學被選中，那么他不知道自己被選中”的形式。這樣的一個形式是否恰如其分地捕捉到了“被選中的同學不知道自己被選中”這一句話的語義，從直觀上看來并不能確定。

一種想法是采用 Ki（Pi）的形式，但是正文中的（H3）是它的后承 （因為A→（B→A）是重言式），因此從這一個條件出發同樣導致矛盾。

鑒于“被選中的學生不知道自己被選中”這句話只對一個學生對于自己有沒有被選中的認知情況做出了斷言，而（H3）實際上對每一個學生對自己有沒有被選中的認知情況做出了一定程度的斷言，另一個可能產生的想法是，讓（H3）只涉及到一個同學，這就需要將同學的編號作為變量引入，即將Pi改為P（i），Ki（m）改為 K（i，m），然后將假設改為

（H1′） ?iK（i，?！j（P（j）））可能可以更好地捕捉“被選中的學生不知道自己被選中”的意思。事實上，在這樣修改之后，先前用于導出矛盾的演繹過程不再適用，而且本人沒有找出從這4條假設出發得到矛盾的演繹方法，也沒有找出這個公理體系的模型，因此這幾個假設和 （C1）—（C3）是否一致還有待進一步證明。

這樣的方法也有問題，比如同學數量是有限的，但是一階邏輯的變量的取值范圍很可能是無窮的。除此之外，認知封閉性的原則，可能需要復雜的修改，因為在引入變量之后，如果公式A不是閉公式，那么一般不能從AB得出A→B，然而 AB本身并不是一個一階邏輯公式。另外，需要給這個形式系統也賦予意義，這必須要用到一階邏輯的模型。在一階邏輯的任何一個模型當中都必須給謂詞P明確地賦值，因而也就明確了哪一個同學被選中，這就意味著任何一個模型都沒有“有一個同學被選中但是不知道是哪一個”的情況。

也許在表達當中蘊含模糊性，也可以更好地表達“被選中的學生不知道自己被選中”這句話的意思。這既有可能通過在一階邏輯中引入模糊性謂詞來實現，也有可能通過在模態邏輯中引入代表模糊性的符號來實現。引入模糊性，也許還可以運用解決連鎖悖論的方案來解決這個問題①與之前提到的模糊性不同，這里的模糊性并非隱含在推理過程中，而是從推理的源頭（也就是假設）開始的。。這里引入模糊性并不是沒有理由的技術性處理，而是因為如之前所說，“被選中的學生不知道自己被選中”這句話確實有一定的模糊性。

從技術層面來講，拒斥（H1）或者（H2）也是中斷推理過程從而避免矛盾的方法之一。事實上，這就是拒斥了“學生知道老師的宣告為真”的假設，因為老師的宣告可以分為3個部分：“所有同學當中有人被選中了”；“只有一個同學被選中”；“被選中的同學不知道自己被選中”。最后一個與（H3）相關，而前兩個與（H1）（H2）相關，并且從直覺上來講這兩個一階邏輯公式非常精確地表達了“同學知道有人被選中”和“同學知道不可能有兩個人同時被選中”的意思，因此拒斥它們就等同于拒斥“學生知道老師的宣告為真”。這實際上就是蒯因的解決方案，如之前的論證所說的，這并不是一個令人滿意的解決方案。

至于還在演繹中用到了的“重言式”、形式算術系統的各個公理、三段論的分離規則以及假言三段論等推理規則，則是比起（C1—C3）、（H1—H5）更加基礎和重要的原則，舍棄它們同樣不是可以接受的解決方案。當然，如果引入了其他的邏輯系統，其中的推理規則等有所不同，也就等于拒斥了這些公理中的一部分。

總而言之，在檢查了每一條假設之后，有兩種解決方案看起來是有可能被接受的，值得繼續深入研究。一種是將同學的編號i量化，在含有變量的公式中進行邏輯演繹；另一種是引入模糊性謂詞或者符號來擴充這個形式邏輯系統。兩者的出發點都是（H3）并沒有精確地表示“被選中的同學不知道自己被選中”這句話當中“被選中的同學”這個概念的模糊性。然而，前者在利用模型來解釋含義的時候還會遇到問題，而兩者都由于作者水平有限，無法獨立驗證其是否可行，只有留待以后的研究來檢驗。

四、結語

本文回顧了“意外考試悖論”的提出及其一些解決方案。本來克里普克的拒斥知識持久性的解決方案是一個不錯的解決方案，但是由于索倫森構造的“被選中的學生”的悖論，這個方案也變得不令人滿意，于是本文模仿克里普克的工作建立了一個針對“被選中的學生”的公理系統，并且驗證了從中確實可以導出矛盾。本文還就建立的公理體系討論了解決索倫森提出的悖論的方案，并且指出了舍棄“知識蘊含真理”的原則，引入變量，或者利用比一階邏輯更加復雜的邏輯系統來修改對于游戲規則的表述的解決方案的優劣。

然而，本文的工作也是很有局限的，最嚴重的是未能直接檢驗引入變量或者利用帶有模糊性的邏輯是否能夠解決悖論，這個工作只有留待以后完成了。

致謝：感謝北京大學哲學系陳波教授和四川大學公共管理學院徐召清副教授在本文撰寫過程中給予的幫助。

［1］ 陳曉平.意外考試悖論及其解決［J］.湖南科技大學學報（社會科學版），2013，16（3）：25-30.

［2］ 陳波.悖論研究［M］.北京：北京大學出版社，2017.

［5］ 徐召清.克里普克意外考試悖論［J］.河南社會科學，2016，24（8）：71-76.

［4］ CHOW T Y.The surprise examination or unexpected hanging paradox［J］.The American Math-ematical Monthly，1998，105（1）：41-51.

［5］ HOLTZMAN J M.A note on schr?dinger’s cat and the unexpected hanging paradox［J］.British Journal for the Philosophy of Science，1988，39（3）：397-401.

［6］ QUINE WV.On a so-called paradox［J］.Mind，1953，62（9）：65-67.

［7］ 杜國平，雒自新.“意外考試悖論”研究進展［J］.哲學動態，2015（5）：96-101.

［8］ SORENSEN R A.Conditional blindspots and the knowledge squeeze：A solution to the prediction paradox［J］.Australasian Journal of Philosophy，1984，62（2）：126-135.