例談基本不等式在初中物理競賽中的應用

劉 坤

(上海市尚德實驗學校 (201400))

物理與數學聯系密切，物理問題的建模、求解，都離不開數學工具的支持.筆者在研究初中物理競賽的賽題時，發現許多極值的求解、判斷物理量變化情況的問題，均要使用基本不等式.而大部分同學對這類問題感到困難，無從下手.本文就以上問題，作出初步探討.

一、基本不等式

設a>0，b>0，則有：(a-b)2≥0，

展開，可得：a2+b2≥2ab①

將②式變形可得：

至此，我們可以得出如下常用結論：

亦可得出類似于(1)(2)的結論.

二、學生運用不等式時的障礙

學生在求解極值、判斷物理量變化情況的問題時，遇到的障礙有兩個，一是不能很好的建立物理模型，利用物理規律寫出物理量之間的函數解析式，尤其是題目中有些物理量還需要假設出來，就更讓同學們不知所措.二是雖然寫出了物理量之間的數學表達式，但是不會利用基本不等式的有關知識求解極值，或者判斷物理量的變化關系.

三、如何運用基本不等式求解相關物理問題

利用基本不等式處理極值類問題，最重要的兩個步驟分別是：(1)寫出所求物理量與其他物理量之間的關系式(2)根據寫出的關系式，求解所需的極值.下面針對上述方法，分別從光學，力學，電學簡單介紹下應用：

1.光學中的應用

例1 (第30屆上海大同杯初賽)凸透鏡的焦距為f，點光源S2和光屏M位于凸透鏡的左右兩側，點光源位于凸透鏡的主光軸上，光屏與凸透鏡的主光軸垂直并和點光源的距離保持L不變，且f

2.力學中的應用

例2 如圖2所示L型輕桿通過鉸鏈O與地面連接，OA=AB=6m，作用于B點的豎直向上拉力F能保證桿AB始終保持水平.一質量為m的物體以足夠大的速度在桿上從離A點2m處向右運動，物體與桿之間的動摩擦因數與離開A點的距離成反比μ=1/x.已知重力加速度為g=10m/s2，則物體運動到離開A點距離x=____m時拉力F達到最小.此時F=____.

分析與解不難發現，拉力F隨著物塊離開A點的距離x的變而變化，我們仍要先寫出F與x的關系式.

3.電學中的應用

例3 在如圖4所示的電路中，已知電阻R1的阻值小于滑動變阻器的最大阻值R0.閉合電鍵S，在滑動變阻器的滑片P由最左端向右滑動的過程中，說明滑動變阻器滑片P由最左端向右滑動的過程中，電路總電阻R總變化情況，并指出R外取得極值的條件.

分析與解總電阻隨著滑片的移動而不斷改變，不妨設滑動變阻器Pb段阻值為Rx，則Pa段阻值為R0-Rx，電路中AB部分實際是R1與Pa段電阻串聯后，再與Pb段并聯，則由并聯電路電阻規律，有：

從以上例題可以看出，一旦從題目中挖掘到有用的信息，并和已有的知識建立聯系從而寫出相關的表達式，接下來再運用基本不等式的知識，由此便可以解決一大類極值問題.同學們在平時的學習過程中，應注重各學科之間的聯系，尤其要注意培養運用數學工具解決物理問題的能力.

參考文獻：

[1]胡少希.例談基本不等式在物理解題中的應用[J].物理教學探討,2011(04).