例談直角坐標系中三角形和四邊形的面積最值問題

吳金糧

(福建省泉州第五中學 362000)

在近幾年各省市的中考試題當中，經常發現有一類試題，它們都是以直角坐標系、二次函數為背景，結合動點問題求斜三角形面積最值問題、或不規則四邊形的面積最值問題.此類問題對學生而言具有一定的挑戰性，通常可以作“水平寬”或“鉛垂高”的方法進行求解.下面就以作“水平寬”或“鉛垂高”的方法求解這一類問題的幾個例題進行探究.

基本圖形和面積公式：

一、特殊位置

(1)求b的值；

(2)設以線段BC為直徑的圓的圓心為點D，試判斷點A與⊙D的位置關系，并說明理由；

(3)設P是拋物線上一動點，且點P位于第一象限內，求當四邊形PAOC的面積最大時，求點P的坐標．

∴點A在⊙D上.

∴當x=4，即P的坐標為(4,6)時，S四邊形PAOC最大．

二、面積最值已知

例2 如圖4，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2-2ax-3a(a<0)與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側)，經過點A的直線l：y=kx+b與y軸負半軸交于點C，與拋物線的另一個交點為D，且CD=4AC．

(1)直接寫出點A的坐標，并求直線l的函數表達式(其中k、b用含a的式子表示)；

(3)設P是拋物線的對稱軸上的一點，點Q在拋物線上，以點A、D、P、Q為頂點的四邊形能否成為矩形？若能，求出點P的坐標；若不能，請說明理由．

分析(1)A(-1，0)，直線l的函數表達式為：y=ax+a.

(2)中三角形的面積最值已知，只需將△ACE的面積表示出來，再列方程可得．

解(2)過點E作EF∥y軸，交直線l于點F.設E(x，ax2-3ax-3a)，則F(x，ax+a).

EF=ax2-3ax-3a-(ax+a)=ax2-3ax-4a.

三、面積最值待求

例3 如圖5，在平面直角坐標系中，二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，B點的坐標為(3，0)，與y軸交于C(0，-3)點，點P是直線BC下方拋物線上的動點．

(1)求這個二次函數表達式；

(2)連接PO，PC，并將△POC沿y軸對折，得到四邊形POP′C，當四邊形POP′C為菱形時，求點P的坐標；

(3)當點P運動到什么位置時，四邊形ABPC面積最大？求此時點P的坐標和四邊形ABPC的最大面積．

解(1)二次函數的表達式為：y=x2-2x-3．

(3)過點P作y軸的平行線與BC交于點Q，與OB交于點F，設P(x，x2-2x-3).

由x2-2x-3=0得點A坐標為(-1，0).

又已知點B和點C的坐標，從而直線BC的解析式為y=x-3.

點Q的坐標為(x，x-3)，則AB=4，CO=3，BO=3，PQ=-x2+3x.

S四邊形ABPC=S△ABC+S△BPC

以上幾例，不管是三角形面積問題還是四邊形面積問題，最終都是轉化為利用直角坐標系中三角形的面積公式進行解答，此法簡潔方便，值得進一步歸納和總結一些典型例題、習題，使學生能熟練掌握和應用．

參考文獻：

[1]陳永明.數學習題教學研究[M].上海:上海教育出版社,2014.