借助數形結合 優化概念教學
——以“倍數與因數”的教學為例

江蘇蘇州工業園區星澄學校（215000） 吳 錚

對于數形結合的定義，數學家華羅庚給出過十分精辟的答案，他指出：“數缺形時少直觀，形少數時難入微。”利用“形”可以直觀地表現“數”，而通過“數”可以深刻地反映“形”。數學概念具有一定的抽象性，小學生的思維以形象思維為主，因此在小學數學概念教學中，可借助數形結合優化概念教學，從而使概念教學收到事半功倍的效果。下面，我結合“倍數與因數”一課的教學來談一談利用數形結合進行概念教學的幾點做法。

一、借助數形結合，引入數學概念

在概念教學中，概念的引入是第一環節。在這個環節中，借助數形結合能夠讓學生直觀感知數學概念的產生過程，從而調動他們學習數學概念的積極性。

例如，在教學“倍數與因數”一課時，我是這樣引入概念的。

師（課件展示圖1和圖2）：學校開運動會，有兩個班的同學在排隊時排出了這兩種隊形，這兩個班各有多少人？

圖1

圖2

生1：圖 1這個班有 9×4=36（人）；圖 2這個班有 5×7=35（人）。

師：在算式“9×4=36”里，我們把9和4都稱作乘數，36叫作積。9對應隊伍每一行的人數，4對應隊伍的行數，36對應總的人數。

師：大家看看今天我們要學習的課題——“倍數與因數”，猜猜看，在算式“9×4=36”里，誰是誰的因數，誰又是誰的倍數。

生2：4、9都是36的因數，36是4的倍數，也是9的倍數。

師：“5×7=35”這個算式里，誰是誰的因數，誰又是誰的倍數？

生3：7和5是35的因數；35是7的倍數，同時也是5的倍數。

上述教學從排隊問題入手，通過用乘法計算每個班的總人數，然后再讓學生思考誰是誰的因數，誰又是誰的倍數。這樣，強化了新舊知識間的聯系，為學生學習“倍數”中的數都是非零自然數做好了鋪墊。

二、借助數形結合，抽象數學概念

在數學概念教學中，引導學生經歷數學概念的抽象過程十分重要，只有這樣，才能強化學生對數學概念的深入理解。借助數形結合能夠有效地讓學生經歷數學概念的抽象化過程，從而收到事半功倍的教學效果。

例如，在“倍數與因數”一課的教學中，在引入數學概念之后，我是這樣引導學生進行概念抽象的。

師：現在請大家根據前面計算班級人數的方法，先寫幾個乘法算式，然后再在圖3中進行圈畫，并和同桌交流“誰是誰的因數，誰又是誰的倍數”。（交流之后選代表展示作品）

師：同樣類型的例子多不多呢？你們可以列出一個通用的算式來表示所有的例子嗎？

生1：可以用字母來代替數字進行表示。

師：這個辦法不錯！那如果要用a、b、c這三個字母來表示因數和倍數的話，那對應的式子應該怎么列呢？

生2：a×b=c（a、b、c 均為大于 1 的自然數），其中 a、b兩個數都是c的因數，c既是a的倍數，也是b的倍數。……

上述教學中設計了“圈畫、列式、交流”的環節，其目的是為了讓學生結合現實生活深入理解倍數和因數。這樣的教學，能加深學生對“行數為1”這特殊情況的理解。

圖3

三、借助數形結合，內化數學概念

借助數形結合能夠有效地促進學生對數學概念的內化。教學中，當學生對數學概念有了一定的感知和理解以后，教師要引導學生在數形結合的過程中內化數學概念。

師：以前我們學習“倍”時用了除法算式c÷a=b（ab≠0）來表示，這個式子里的 a、b、c 只要不是零，整數、小數、分數都是可以的。而我們今天學的“倍數”這個概念的表示用的是乘法a×b=c，那么這個式子中的a、b、c又能取哪些數呢？

生1：不管什么數都可以。

生2：這三個數只能取非零自然數。

師：能告訴我們理由嗎？

生2：我們剛剛在點子圖里通過確定行數、每行數量和總數來理解倍數和因數，這三個數都是非零自然數。（對這個理由大家都表示認同）

師：那你們能說說“倍數”和“倍”的異同嗎？

……

（學生討論之后得出：兩者相同之處在于它們都是對兩個數之間的倍比關系進行研究的；而不同之處則是“倍數”涉及的數必須是非零自然數，“倍”涉及的數只要不是零，整數、小數、分數都可以）

只通過范例來讓學生理解“倍數”的含義遠遠不夠，要和相似的概念“倍”進行比較才能讓學生完全理解清楚。在對比中，引導學生認識兩者的共同點——都是對兩個數的倍比關系進行表示，表示方法都能用乘法或除法算式，明辨數的取值范圍——“倍數”涉及的數只能是非零的自然數，而“倍”涉及的數除了零以外，任何整數、小數、分數都行。教師層層深入的追問，讓學生把在點子圖中積累的經驗轉化成數學規定，也就是通過對直觀現象的理解明白了“倍數不能取0”的規定。

四、借助數形結合，構建概念模型

引導學生構建數學概念模型是概念教學的重要目標之一。教學中，借助數形結合能夠有效地促進學生對數學概念模型的構建，從而實現數學概念學習的高效化。

師：我們用點子圖對倍數和因數進行了理解，同樣也可以通過點子圖來確定一個數的倍數。請想一想怎樣能從點子圖里找到一個數的倍數呢？應該先做什么，再做什么呢？

生1：先把一行的數量定下來，然后再找出行數與每行數量的乘積。

師：請大家用這個方法來試一試，并在圖上圈一圈，同時在右邊寫下對應的7的倍數。

（學生認真地進行了操作，然后和同學進行交流。學生邊說自己的成果，教師展示課件）

師：你們完成了圈一圈、找一找的活動，覺得用什么方法可以找出非零自然數a的倍數呢？

生2：a×1，a×2，a×3……

生3：也就是要找出a的1倍、2倍、3倍……

師：我們知道自然數有無窮多個，0是最小的自然數，沒有最大的自然數，兩個相鄰自然數的差為1。那么大家能得出倍數具有的特點嗎？

師：一個數的倍數的個數也是無窮的，其中它自己是它最小的倍數，最大的倍數是不存在的，兩個相鄰倍數的差等于這個數本身。

上述教學片段中，設置了“用點子圖找出7的倍數”這個實踐活動，一方面是讓學生經歷找一個數的倍數的過程，加深學生對確定倍數方法的印象；另一方面，有利于學生理解倍數的特征。

總之，在小學數學概念教學中，借助數形結合能夠讓學生的概念學習更高效，能夠有效地促進學生對數學概念的深入理解與自主建構，并且，能夠有效提升學生的思維能力和綜合素養。