一道習題引發的“洪荒之力”

安徽馬鞍山市四村小學教育集團（243000） 唐 明

隨著里約奧運會上游泳運動員傅園慧的一次采訪，“洪荒之力”迅速成為網絡熱詞。在我的數學課堂上，因為一道習題引發的討論、思考和啟示，也讓學生腦洞大開，使出了“洪荒之力”。

習題：

圖1

【題意簡析】在日常生活中平均分物體，結果無非是兩種情況：一種是恰好分完，沒有剩余；另一種是平均分后還有剩余。新人教版教材二年級下冊第六單元“有余數的除法”要解決的問題大多是對單一物體的平均分，而課本70頁的第8題是一道綜合題，需要學生綜合考慮3種花的情況，這對二年級學生來說有一定難度：要以3種花中要求的枝數所能扎的束數最少的那種花為標準才能確定答案。此題有利于培養學生思維的全面性與靈活性，使學生能辯證地思考問題。

【鏡頭回放】教學時，我預設到這道題對學生來說很難理解，于是讓學生在審題后交流思路。生1第一個舉手：“我打算先把這些花的總數算出來，再把每束花的枝數算出來，然后用總數除以枝數。”其他學生有的點頭表示同意，有的保持觀望。生2小聲地嘀咕：“7+3+2=12（枝），除數是12，我們沒學過啊？”生3表示反對：“我覺得應該分開算，把玫瑰、百合、郁金香分別能扎成幾束先算出來再比較。”兩種方法都有支持者，但誰也沒有足夠的理由說服對方。于是我讓學生先自己試試看。在巡視的過程中，我發現大部分學生選擇了生3的算法，小部分學生仍在糾結。生1很快就算出了答案：22+16+10=48（枝），7+3+2=12（枝），48÷12=4（束）。他的答案剛好給生2的想法一個“回擊”：“你不是說除數是12，沒學過就不能算嗎？我能計算是不是就對呢？”我把生1的解題過程進行展示，并提問：“最多能扎成4束，這樣做行嗎？怎么驗證？”“畫圖！”有幾個學生不約而同地說。學生用圖形表示各種花，然后按照要求圈出相應的枝數后，發現最多只能扎3束。（如圖2）

圖2

“為什么算出來的是4束，圈出來的是3束呢？”我把問題拋給學生，并引導他們觀察每種花剩下的枝數“1+7+4=12（枝）”，而每束花需要的枝數恰恰也是7+3+2=12（枝）。終于真相大白了，“玫瑰只剩下1枝，根本不夠扎一束。”“雖然多扎了一束，但不符合要求。”學生七嘴八舌地議論開來。“你們覺得利用畫圖來分析這道題是不是更清楚？”學生紛紛點頭。“我有不同的想法。”生4從不人云亦云，“雖然畫圖很清楚，但我們畫了幾十個圖形，太麻煩了。如果花的枝數更多，那怎么畫？老師不是說數學語言要簡潔嗎？”我緊接著說：“你們有沒有辦法讓畫圖變得更簡單呢？”大家都沉默了，生5突然眼前一亮，脫口而出：“線段圖！”學生在二年級上冊就接觸過線段圖，所以當聽到生5的想法后，也有不少學生能根據題意畫出線段圖。（如圖3）

圖3

在解決問題的過程中，“回顧與反思”這一環節是不能省略的。學生以結果作為已知條件，驗證后發現：按照要求只能扎成3束花，雖然每種花都有剩余，一共剩余12枝，每個花束也需要12枝，但只是數量上相等，花的品種卻不符合要求。（如圖4）

圖4

【精彩繼續】課堂練習中有一道類似的題目（如圖5），我要求學生在隨堂本上完成，這樣會有足夠的空間讓他們展示個性化的思考過程。

圖5

很快，學生就想到了將抽象的數學語言與形象的圖形有機地結合起來。（如圖6-1、6-2）

圖6-1

圖6-2

雖然只是圍繞這一道習題做文章，我卻覺得時間“浪費”在這很值得。我們往往認為教師的講授能節省教學時間，但學生自己習得知識的過程卻更加寶貴。在結束學習后，學生分享了許多經驗：這類題目可以命名為“混合包裝”，首先要看清關于包裝的要求，可以通過擺出實物圖、畫出線段圖等來理解題意，列式時要分類計算，確定答案時以商的最小值作為標準，最后還要將結果作為條件進行驗證。更有學生總結出了解題四部曲“理解要求、數形結合、分類計算、確定答案”，真正學習并體會到要解決一個數學問題所要經歷的步驟。

當天我安排了兩道數學作業題：

1.用2個雞蛋和3片吐司就可以做出一份三明治，現在有10個雞蛋、10片吐司，能做出幾份三明治？

圖7

學生在解決“做出幾份三明治”這一問題時還發現：在雞蛋和吐司總數相同的情況下，只要算10÷3就能確定答案。因為3>2,被除數相同，除數越大商就越小，只需要將商的最小值作為標準就能得到答案。

2.自編一道有關混合包裝的題目。

在自由編題的過程中，學生的想法更加鮮活。在他們的眼里，包裝的對象十分寬泛：

圖8-1

圖8-2

圖8-3

圖8-4

新教材從一年級開始就出現了大量的情境圖，二年級則通過條形圖呈現信息，三年級正式引入線段圖……這樣的編排符合學生對畫圖策略的認識、理解和運用的過程。然而在實際教學中，我們常常只把畫圖策略看作教師分析問題的工具，忽略了它也是學生解決問題的法寶。

數形結合，是一種數學思想方法，也是方法上的思想。雖然劉加霞在《數形結合思想及其在教學中的滲透》一文中提出“借助直觀模型理解抽象的數量關系并不算是嚴格意義上的數形結合”，但她也認可這是數形結合的雛形。“有余數的除法”重點在于引導學生在解決問題時注意借助直觀幫助理解題意、分析數量關系。但在實際學習中，很多學生解決問題時往往忽視對題意的理解，雖然能做對題，但不見得真正懂了，有時題目稍加變化，就無法應對。對于低年級學生來說，理解題意的過程，往往需要借助直觀。教師在教學時應充分借助直觀，讓學生學會利用圖形來描述和分析問題，從而清晰地“看到”數量關系，找到解決問題的思路，并最終得到解決問題的方案。

考慮到學生不同的認知水平，教師可以先從實物圖開始，再過渡到幾何符號表示的圖，最后抽象成線段圖。這樣就是將多種表征結合起來，借圖促思，據圖說理，把復雜的數學問題變得簡明和形象。畫圖策略的滲透不能停留在“教師畫，學生看”的狀態，而是要提升到“學生畫，學生用”的水平。這實際上是一個“數”與“形”互相轉化的過程，通過引導學生把數學問題中的運算、數量關系等與幾何圖形或圖像結合起來思考，使“數”與“形”優勢互補、相輔相成，就能使學生的邏輯思維和形象思維完美地統一起來。

在解決問題的過程中，畫圖不是最終目的，學生把文字轉化成圖畫，再把圖畫轉化成思維，由數思形、見形想數，有助于學生把握數學問題的本質。只要學生能不斷地運用畫圖策略，就能提高自身的數學學習能力和解決問題的能力。