非線性力矩作用下氣動偏心彈丸強迫圓錐運動穩(wěn)定性條件

舒敬榮， 李紅星， 李宏玲

(安徽新華學院 電子通信工程學院， 安徽 合肥 230031)

0 引言

彈箭圓錐運動(也稱錐形運動)是指在特定條件下彈箭縱軸以固定攻角繞速度矢量旋轉(zhuǎn)、形成一個以速度矢量為中心的圓錐面運動。即使是穩(wěn)定的圓錐運動，如果錐角較大，也會使射程大大減小。不穩(wěn)定的圓錐運動可能會發(fā)散，造成彈體飛行失穩(wěn)。例如，美國奈特霍克探空火箭在50次飛行試驗中出現(xiàn)了近20次發(fā)散的錐形運動[1]，導致彈丸飛行失穩(wěn)；其2.75″航空火箭彈在風洞試驗中也出現(xiàn)過發(fā)散錐形運動[2]。西班牙140 mm火箭彈在28次飛行試驗中出現(xiàn)了9次錐形運動，導致彈丸射程大幅降低[3]。因此，關(guān)于圓錐運動的研究主要側(cè)重于尋找其形成原因、穩(wěn)定條件及其抑制措施。Peterson等[4]首先從理論上分析了導致錐形運動的所有可能因素，還采用風洞試驗方法證明了馬格努斯效應是產(chǎn)生極限圓錐運動的原因之一。Schiff[5]計算了圓錐運動中的超音速非黏性流場。Nicolaides等[6]通過理論推導和風洞試驗證明了產(chǎn)生錐形運動的直接原因是旋轉(zhuǎn)誘導產(chǎn)生的面外力和面外力矩。Livshits等[7]的研究證實了推力偏心、外形不對稱也是導致大攻角錐形運動的重要原因。Morote等[8]、Mao等[9]利用剛體彈道方程和Routh判據(jù)，對錐形運動進行了理論研究和數(shù)值仿真。Morote等[3]分析了140 mm火箭彈卷弧翼展長和弦長對飛行動穩(wěn)定的影響，得到了減小弦長不利于動穩(wěn)定性、減小展長有利于動穩(wěn)定性的結(jié)論。雷娟棉等[10]分析了尾翼穩(wěn)定大長徑比無控旋轉(zhuǎn)火箭彈的圓錐運動，指出由旋轉(zhuǎn)誘導產(chǎn)生的面外力和面外力矩是圓錐運動產(chǎn)生的原因。王華畢等[11]通過對幾種不同安裝方式的卷弧形尾翼大長徑比無控低速旋轉(zhuǎn)火箭彈的氣動特性進行數(shù)值計算,并進行彈道數(shù)值仿真，驗證了火箭彈的圓錐運動。文獻[10-11]都得出將卷弧翼反裝能有效地抑制圓錐運動的結(jié)論。王華畢等[12]還采用李雅普諾夫一級近似方法和Hurwitz判別準則,分析了側(cè)向力矩對低速滾轉(zhuǎn)無控火箭彈穩(wěn)定性的影響，并通過仿真得到了決定圓錐運動是收斂還是發(fā)散的臨界轉(zhuǎn)速和臨界錐角。趙良玉等[13]提出通過提高臨界轉(zhuǎn)速或降低平衡轉(zhuǎn)速來提高火箭彈圓錐運動穩(wěn)定性的方法，并給出了提高臨界轉(zhuǎn)速或降低平衡轉(zhuǎn)速的具體措施。閆曉勇等[14]通過建立以章動角和進動角為變量的彈體圓錐運動動力學方程，分析了彈體章動及進動運動的相互關(guān)系,給出了彈體圓錐運動穩(wěn)定時章動角度及進動角速度應滿足的條件。李克勇等[15]分析了彈箭在高空飛行過程中彈道頂點附近圓錐運動的穩(wěn)定性，給出了彈道頂點附近彈體圓錐運動的穩(wěn)定判據(jù)。李臣明等[16]通過分析大攻角下非對稱赤道阻尼力矩產(chǎn)生的極限圓錐運動，找到了遠程火箭試驗射程與計算射程不相符的原因，為遠程火箭設計提供了參考。任天榮等[17]基于旋轉(zhuǎn)彈的變質(zhì)量陀螺方程和李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，對旋轉(zhuǎn)彈產(chǎn)生錐形運動的條件進行分析探討，得到旋轉(zhuǎn)彈產(chǎn)生極限環(huán)運動的區(qū)間范圍及錐形運動振蕩頻率的解析公式，并成功地解釋了旋轉(zhuǎn)火箭彈的“掉彈”現(xiàn)象。頡凱平等[18]為預防由于出現(xiàn)發(fā)散錐形運動而導致發(fā)射試驗失敗，對火箭彈錐形運動的穩(wěn)定性進行理論分析和仿真計算，得到了確保火箭彈穩(wěn)定飛行的舵翼面安裝誤差及發(fā)動機推力偏心指標要求。Murphy等[19]將圓錐運動理論引入單通道控制的旋轉(zhuǎn)導彈，證明了穩(wěn)定性分析時不能忽略彈體旋轉(zhuǎn)引起的氣動不對稱因素。任天榮等[20]探討了導彈縱向靜穩(wěn)定力矩和側(cè)向力矩對其旋轉(zhuǎn)圓錐運動的影響，并得到線性氣動阻尼對圓錐運動穩(wěn)定性不利且會導致圓錐運動發(fā)散的結(jié)論。Cooper等[21]采用數(shù)值計算方法得出了一對鴨式舵面存在氣動不對稱時出現(xiàn)不收斂錐形運動的不穩(wěn)定區(qū)域。石忠佼等[22]利用錐形運動穩(wěn)定條件和Routh判據(jù)，分析計算了確保雙鴨舵單通道控制旋轉(zhuǎn)彈錐形運動穩(wěn)定的轉(zhuǎn)速范圍，揭示了一對鴨舵帶來的氣動不對稱對其角運動的影響規(guī)律，為單通道控制旋轉(zhuǎn)彈的轉(zhuǎn)速設計提供了參考。

上述文獻都是針對圓錐運動的負面影響探討抑制或規(guī)避方法的。實際上在某些情況下，也可以利用圓錐運動實現(xiàn)特定目的。如文獻[23]就針對制導火箭落點速度的約束要求，提出了一種采用圓錐運動控制導彈飛行速度的導引方法，以實現(xiàn)對導彈飛行速度的有效控制。段笑菊等[24]對這種采用圓錐運動控制的導彈姿態(tài)穩(wěn)定性進行了研究，分析了控制系統(tǒng)阻尼回路和控制回路對其錐形運動穩(wěn)定性的影響規(guī)律，得到了制導控制系統(tǒng)參數(shù)的穩(wěn)定控制域范圍，為圓錐制導控制系統(tǒng)設計提供了依據(jù)。文獻[25]針對圓錐運動應用于末敏彈穩(wěn)態(tài)掃描的工程實例，探討了彈丸形成圓錐運動的條件。另外，前述所有圓錐運動均是對稱彈箭自由運動的極限運動，是彈丸運動的特殊狀態(tài)，一方面通常情況下在彈箭設計時需要努力避免，但另一方面如要利用這種極限運動以實現(xiàn)特定目的時又不容易實現(xiàn)。如無傘末敏彈就是這種情況，它利用彈體氣動外形和質(zhì)量分布的不對稱提供非對稱氣動力和力矩，誘導彈體形成上述形式的極限圓錐運動，實現(xiàn)對目標區(qū)的穩(wěn)態(tài)螺旋掃描。相比有傘末敏彈，其具有體積小、落速高、受風影響小等優(yōu)勢。因此，在這種情況下，就需要采取人為措施，如利用人為氣動偏心來實現(xiàn)人為的強迫圓錐運動，并探討其穩(wěn)定性條件。

關(guān)于強迫運動的形成及其穩(wěn)定性，美國彈道學者Murphy開展過一些研究：文獻[26]研究了線性力和力矩作用下彈丸輕微不對稱導致的強迫諧波響應，并探討了共振不穩(wěn)定問題；文獻[27]研究了非線性力和非線性靜力矩作用下尾翼式旋轉(zhuǎn)彈丸不對稱導致的強迫諧波響應和廣義次諧波響應，并探討了諧波響應的穩(wěn)定條件和避免非諧波響應的方法。為了研究方便，文獻[26-27]中沒有考慮非線性赤道阻尼力矩，并且由于所推導出的諧波響應穩(wěn)定條件表達式形式過于復雜，也沒有闡述該條件的物理意義，因此很難用于指導工程實踐。針對上述情況，本文綜合考慮三次方非線性靜力矩和二次方非線性赤道阻尼力矩的影響，求解氣動偏心彈丸強迫圓錐運動的穩(wěn)定條件，探討該條件的物理意義，并應用數(shù)值計算算例進行驗證，以指導無傘末敏彈穩(wěn)態(tài)掃描系統(tǒng)的設計。

1 攻角方程

用與文獻[28]推導對稱彈丸攻角方程類似的方法，可得到在三次方非線性靜力矩和二次方非線性赤道阻尼力矩作用下，具有氣動偏心角ΔM0的尾翼式低速旋轉(zhuǎn)彈丸攻角方程(該方程忽略了陀螺效應的影響)為

Δ″+(H0+H2δ2)Δ′-
(M0+M2δ2-H2aδδ′)Δ=Beiγ,

(1)

從(1)式可以看出，具有氣動偏心角時，尾翼式低速旋轉(zhuǎn)彈丸攻角方程比無氣動偏心角時僅僅在等號右邊增加了一個周期干擾項Beiγ.

2 攻角方程的近似解

引入新的因變量和自變量：

ζ=Δ/δc,

(2)

(3)

則(1)式變?yōu)?/p>

(4)

設(4)式的解為

ζ=K1eiφ1+K2eiφ2+K3ei(γ+γ0),

(5)

(6)

(7)

將(5)式、(6)式和(7)式代入(4)式，得

(8)

兩邊同除以K1eiφ1并移項整理，得

(9)

式中：φ=φ1-φ2；φr=φ1-(γ+γ0).

由(5)式得

(10)

由(10)式得

(11)

(12)

(13)

由(13)式解得

(14)

將(8)式兩邊分別同時除以K2eiφ2和K3ei(γ+γ0)，用類似方法可得

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

上述得到的(18)式、(19)式及(20)式就是攻角方程(4)式的近似解析解。

3 圓錐運動及其穩(wěn)定性條件

從(5)式、(18)式、(19)式及(20)式可以看出，氣動偏心彈丸在非線性力矩作用下可能存在3種類型的極限強迫運動，即：K1=K2=0時的一圓運動；K1=λ2=0或K2=λ1=0時的二圓運動；λ1=λ2=0時的三圓運動。這3種極限運動，僅一圓運動滿足末敏彈穩(wěn)態(tài)掃描時做圓錐運動的姿態(tài)要求，故下面對一圓運動的穩(wěn)定性進行初步分析。

(21)

式中：ηj?1，j=1，2，3，4.

將(21)式代入(4)式，應用平均法可得線性變分方程。如果線性變分方程是漸近穩(wěn)定的，則對應的極限運動也是穩(wěn)定的。

一圓運動(K1=K2=0)情況下，(18)式、(19)式及(20)式變?yōu)?/p>

(22)

(23)

(24)

將(24)式實部和虛部分開，得

(25)

(26)

(25)式和(26)式兩邊平方后相加，得

(27)

由于一圓運動K1=K2=0，關(guān)于η1和η2的線性變分方程容易得到：

(28)

(29)

eiη4≈1+iη4.

(30)

這樣，(21)式可寫成：

(31)

式中：

(32)

表示一圓運動的值。

(33)

(34)

把(31)式、(33)式、(34)式代入(4)式，并注意到：

(35)

得

(36)

(37)

(38)

令

(39)

則(37)式和(38)式變?yōu)榉匠探M：

(40)

該方程組的特征方程為

a0+a1λ+a2λ2+a3λ3+a4λ4=0,

(41)

式中：

(42)

根據(jù)Hurwitz判別準則，線性變分方程(37)式和(38)式漸近穩(wěn)定的充要條件為

(43)

將(42)式代入(43)式，得

(44)

(45)

(46)

則(44)式、(45)式及(46)式即為一圓運動(即圓錐運動)漸近穩(wěn)定的充要條件。

4 穩(wěn)定性條件的物理意義

考慮到通常情況下彈丸都是正阻尼，即H0>0，也即h0>0. 因此，要滿足(44)式的第1個式子，必須有：

(47)

又由(45)式和(46)式，可得

(48)

(48)式確定了不同情況下彈丸實現(xiàn)穩(wěn)定圓錐運動時其自轉(zhuǎn)角速度的取值范圍。

為了簡化計算，假設忽略彈丸章動阻尼與進動阻尼特性的不同，即取系數(shù)a=0，代入(48)式，得

(49)

(49)式限定了某一幅值條件下彈丸自轉(zhuǎn)角速度的取值范圍。

5 算例驗證

用文獻[29]中考慮氣動偏心角、非線性力和力矩時的6自由度運動微分方程組對某末敏彈進行數(shù)值仿真計算來驗證上述結(jié)論。參與數(shù)值仿真的末敏彈彈體結(jié)構(gòu)參數(shù)為：彈質(zhì)量m=5.5 kg，彈徑d=0.14 m，彈長l=0.17 m，赤道轉(zhuǎn)動慣量A=0.004 16 kg·m2，極轉(zhuǎn)動慣量C=0.004 kg·m2，氣動偏心角ΔM0=27°；彈體氣動參數(shù)為：cx0=0.6，cx2=12，cy0=5，cy2=2，mz0=-2.16，mz2=-5.66，mzz0=3.67，mzz2=-4.11. 在一組經(jīng)過計算篩選、可以實現(xiàn)穩(wěn)定圓錐運動的典型初始條件(初始高度1 200 m，縱向、橫向、鉛直3個方向的初始速度分別為30 m/s、2 m/s和150 m/s，初始偏航角、俯仰角和滾轉(zhuǎn)角分別為0°、60°和0°，初始偏航角速率、俯仰角速率和滾轉(zhuǎn)角速率分別為0.02 rad/s、0.05 rad/s、12.56 rad/s)下，通過數(shù)值仿真計算求得的掃描運動參數(shù)為：落速v=37.68 m/s，彈道傾角θ=-59.42°，攻角δ=|Δ|=30.87°. 將上述參數(shù)代入有關(guān)公式計算可得：B=0.679，H0=0.208，H2=-0.235，δc=0.941，M0=-0.819，M2=-2.145，M=-1.442，h0=0.173.

由(2)式和(32)式可知，穩(wěn)定一圓運動狀態(tài)下

由(49)式得

(50)

以落地前2 s為例(總共飛行28 s，從第15 s開始穩(wěn)定)，數(shù)值仿真計算得到該末敏彈彈軸矢量在地面的掃描軌跡如圖1所示。

從圖1中可以看出，彈軸在地面的掃描軌跡是內(nèi)螺旋線，說明彈丸實現(xiàn)了穩(wěn)定的圓錐運動。

6 結(jié)論

1)三次方非線性靜力矩和二次方非線性赤道阻尼力矩作用下的氣動偏心彈丸，在滿足(44)式、(45)式和(46)式所確定的約束條件時能夠?qū)崿F(xiàn)穩(wěn)定的圓錐運動，這種穩(wěn)定的圓錐運動可用于實現(xiàn)特定目的，如末敏彈的穩(wěn)態(tài)掃描等。

2) (44)式、(45)式和(46)式所給出的穩(wěn)定性條件，實質(zhì)上是給出了彈丸做特定攻角的穩(wěn)定圓錐運動時其自轉(zhuǎn)角速度和氣動偏心角應滿足的條件，該穩(wěn)定性條件可用于指導彈丸的結(jié)構(gòu)設計和氣動設計。

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