基于夾緊性能迭代分析的夾緊力與夾緊點一體化離散設計方法

王華敏, 秦國華, 林鋒, 左敦穩, 唐家慧

(1.南京航空航天大學 機電學院, 江蘇 南京 210016; 2.南昌航空大學 航空制造工程學院, 江西 南昌 330063)

0 引言

加工過程中產生的切削力等外加載荷，是破壞工件位置和引發生產事故的元兇。為此，勢必需要提供可靠的夾緊力，以維持工件始終處于穩定狀態下，從而確保工件的加工精度。因此，夾緊力的合理規劃是夾具設計中一項至關重要的環節和任務[1]。

工件裝夾通常采用多重裝夾方案，它是定位元件布局方案和多個夾緊元件共同作用的結果[2]，目前主要采用兩種模型[3]進行夾緊力的分析與規劃。一種模型是在夾緊力大小給定情況下，對柔性工件進行裝夾布局優化。Wan等[4]提出了定位點的位置優化，以保證薄板件在主要定位表面的法向變形最小。Cheng等[5]為了獲得薄壁件的最小變形，提出了“n-2-1”定位布局中最佳n值的求解方法。Padmanaban等[6]依據零件變形最小原則，建立了夾緊點的位置優化方法。Liu等[7]建立了支撐元件數目和位置的迭代優化方法，以使加工變形不超出加工精度的規定范圍。Qin等[8]綜合考慮了夾緊力的大小、作用點及其作用順序對工件變形的影響，建立了以最小變形為目標的夾緊順序優選方法。上述研究幾乎在夾緊力大小給定的條件下，通過優化定位點位置、數目、夾緊點位置、甚至夾緊順序，以使工件變形達到最小的目的。

另一種模型則視工件為剛體。Trappey等[9]建立了以最小接觸力為目標的夾緊力優化模型，提出了夾緊力優化模型的有約束非線性規劃求解方法。秦國華等[3]依據穩定量度最大原則建立了裝夾布局的優化模型及其遺傳算法求解技術。Li等[10]提出了以最小總余能和最小位置誤差為目標的夾緊點優化模型，依據位置誤差盡量小的原則，將最小位置誤差的目標轉化為不大于任意小值這一約束條件，建立了夾緊點多目標優化模型的求解方法。但是，無論是有約束非線性規劃還是遺傳算法，求解過程均受到初始值的影響而陷入局部最優解。

本文綜合考慮力封閉和力可行兩種夾緊性能，通過建立工件裝夾模型，利用線性規劃技術提出力封閉與力可行的分析方法。在構建“1-夾緊力”規劃算法的基礎上，通過將多重夾緊力表示為極徑和極角，進一步提出“n-夾緊力”的規劃方法。

1 裝夾布局的夾緊性能

裝夾布局的夾緊性能包括力封閉和力可行兩個方面。力封閉是指工件在裝夾過程中滿足平衡條件的可能性，力可行表示裝夾過程中所施加的夾緊力使得工件滿足平衡條件的能力。

1.1 裝夾模型

工件的裝夾布局由m個定位元件和n個夾緊元件組成。若不考慮工件與裝夾元件之間的摩擦，則工件在切削過程中將受到工件重力Fg、夾緊力Fm+j(1≤j≤n)、切削力Fc、切削扭矩Mc、支撐反力Fi(1≤i≤m)的作用，如圖1所示。

假定在全局坐標系OXYZ中，若記ri= [xi,yi,zi]T為第i個裝夾元件的位置，rg= [xg,yg,zg]T、rc=[xc,yc,z]T分別為工件重心和切削力作用位置，ni= [nix,niy,niz]T(1≤i≤m+n)為工件在ri處的內法向量，那么工件的靜力平衡方程為

GlFl+GclFcl+Wc+Wg=0，

(1)

為了便于工件的實際裝夾操作，設計時一般考慮通過夾緊元件壓向工件表面的方式提供夾緊力，從而使得定位元件處的支撐反力也是指向工件的，因此力的方向約束條件如下：

xi≥0, 1≤i≤m+n.

(2)

綜合(1)式和(2)式可知，工件的裝夾模型應為

GlFl+GclFcl+Wc+Wg=0, s.t.Fl≥0,Fcl≥0.

(3)

1.2 性能分析

在相應位置(即夾緊點)ri(m+1 ≤i≤m+n)給工件提供夾緊力Fcl時，若(3)式有解，則工件在裝夾過程中處于平衡狀態，表明裝夾布局具有夾緊性能；若(3)式無解，則工件處于失穩狀態，表明裝夾布局不具有夾緊性能。由于(3)式可進一步整理成如下表達式：

AX=B,
s.t.X≥0，

(4)

假定q為矩陣A的列數，as,t(1≤s≤6, 1≤t≤q)為A中第s行、第t列的元素，Xt(1≤t≤q)為X中的第t個元素，bs(1≤s≤6)為B中的第s個元素，則通過求解下列線性規劃問題可判斷(4)式是否有解，即

(5)

maxΣ=b

(6)

時，方程(4)式有解。

因此，根據夾緊力、夾緊點和切削力、切削扭矩的已知狀態，可將夾緊性能分為力封閉和力可行兩類。

Icl=0

(7)

時，工件裝夾過程中可施加夾緊力。

另一類是，給定裝夾元件的位置ri(1≤i≤m+n)和方向ni(1≤i≤m+n)、切削力Fc和切削扭矩Mc以及夾緊力Fcl，確定(3)式解的存在性。此時A=Gl為定位元件的方位矩陣，X=Fl為未知的支撐反力向量，B=-GclFcl-(Wc+Wg)為已知的外力旋量，并稱此類的夾緊性能指標為力可行指標，記為If=I，則當且僅當力可行指標為

If=0

(8)

時，所施加的夾緊力Fcl能夠保證工件在加工過程中保持平衡。

2 “1-夾緊力”規劃算法

假定在夾緊表面Ω上只有1個夾緊力Xm+1(記其大小為Xm+1=f，相應的夾緊點為rm+1= [xm+1,ym+1,zm+1]T)，則可按照f的狀態構建其搜索方法。

2.1 已知夾緊力大小的求解算法

對于施加在夾緊表面Ω的夾緊力，若其大小Xm+1已知，此時要求解的是該夾緊力的作用點rm+1，求解過程可按照如下所述的方法進行：

(9)

依據(9)式描述的“1-夾緊力”作用區域規劃算法，就是從第1個節點遍歷至第N個節點，逐一地分析夾緊力的可行性，通過連接所有具有可行性的節點，即可形成該夾緊力的可行夾緊區域。

2.2 未知夾緊力大小的求解算法

對于在給定的夾緊點rm+1=[xm+1,ym+1,zm+1]T處，施加1個大小為f的夾緊力，則根據(3)式可知：

GlFl+Gclf+Wc+Wg=0，

(10)

求解夾緊點rm+1處夾緊力f的詳細過程如下：

(11)

式中：方向變化標識為δn=λn-λn-1.

步驟6確定最小端點值的最終近似值。這里，(11)式稱為給定夾緊點處單個夾緊力的變向迭代公式。此時，當且僅當

ζ|δn|s≤ε，

(12)

步驟8判斷終止條件。如果當前的節點為最后一個節點，則計算過程結束，否則計算下1個節點處的夾緊力。

3 “n-夾緊力”規劃算法

在實際應用中，多數采用2個或3個等多重夾緊力進行裝夾，通過多重迭代法和極坐標描述法，可將“n-夾緊力”規劃轉變為“1-夾緊力”規劃問題。

3.1 算法描述

一方面，在具有多個夾緊力的裝夾布局中，若給定其大小的值，僅確定各個夾緊力作用區域，則其作用區域描述如下：

(13)

式中：Ωk為第k個夾緊力所在的夾緊表面；Nk為夾緊表面Ωk的最大節點號。

結合2.1節的“1-夾緊力”規劃算法，(13)式的求解流程如圖2所示。

另一方面，若裝夾布局中未給定夾緊力的大小，則可采用極坐標的形式描述n個夾緊力大小，即以1個夾緊力極徑f和n-1個極角Θj(1≤j≤n-1)為變量進行描述，描述過程說明如下：

當裝夾布局中有大小分別為Xm+1、Xm+2的2個夾緊力，并分別作用在rm+1=[xm+1,ym+1,zm+1]T、rm+2=[xm+2,ym+2,zm+2]T處時，若假定其方向為nm+1、nm+2，則由(3)式可得

GlFl+GclX+Wc+Wg=0，

(14)

為了計算方便，將直角坐標系中的2個夾緊力大小Xm+1、Xm+2轉換為極坐標系中的表示形式：

(15)

同理，若裝夾布局中有3個夾緊力，其大小分別為Xm+1、Xm+2、Xm+3，各自方向為nm+1、nm+2、nm+3，則這3個夾緊力可用2個夾緊力極角Θ1、Θ2和1個夾緊力極徑f描述，即

(16)

以此類推，可知當裝夾布局中存在n個夾緊力時，可用n-1個夾緊力極角Θ1、Θ2、…、Θn-1和1個夾緊力極徑f描述，具體形式描述如下：

(17)

(17)式可利用數學歸納法進行證明，這里忽略。若將(17)式代入(1)式，通過整理得

GlFl+Gclf+Wc+Wg=0，

(18)

式中：Gcl=

比較(18)式和(10)式可知，通過將多個夾緊力的描述轉換為1個夾緊力極徑和多個夾緊力極角的描述形式，將極角離散為微角后，調用“1-夾緊力”規劃算法即可獲得多個夾緊力。

3.2 應用與分析

尺寸為80 mm×50 mm的工件，其自身重力為Fg=200 N. 在位置rc=[10 mm, 50 mm]T處進行鉆孔，鉆削力為Fc=1 001.249 N. 工件由定位元件L1、L2、L3確定其相對于刀具的位置，由夾緊元件C1、C2提供夾緊力以抵抗切削力，如圖3所示，各裝夾元件的位置與單位內法向量如表1所示，則確定極徑f的過程詳細如下：

表1 定位夾緊元件的位置與方向

步驟2離散化極角為微角。由(15)式可知，夾緊力f1=fsinΘ和f2=fcosΘ(其中f≥0，0≤Θ≤90°)。根據(19)式得Gcl=[-sinΘ, -cosΘ, 5sinΘ-70cosΘ]T，將極角Θ從0°到90°按照步長sθ=1°離散為91個微角θ.

步驟3判斷第1個微角下極徑的存在性。從微角θ= 0°開始，此時Gcl= [-sinθ, -cosθ, 5sinθ-70cosθ]T，由(6)式計算得Iclo=0，轉入步驟4，否則轉入步驟5.

步驟4計算第1個微角下極徑的大小。由于在θ= 0°時極徑具有封閉性，故計算當前微角θ下的f值，有49.991 1≤f≤1 698.024 8.

步驟5判斷下1個微角下極徑的存在性。此時當前微角θ= 1°，判斷當前微角θ下極徑的力封閉性。若封閉，則轉入步驟6，否則轉入步驟7.

步驟6計算下1個微角下的極徑大小，并計算當前微角θ下的f值。假定迭代過程至微角θ=60°，由于此時力封閉性指標Iclo=0，f存在可行解，f值計算過程如表2所示。

表2 微角θ=60°時夾緊力的確定

步驟7判斷迭代終止條件。若微角至θ<90°，則轉入步驟5。當微角至θ=90°時，f(f為微角θ由0°至90°的所有解的并集)的整個計算過程結束。

通過微角θ由0°至90°的f區間左、右端點值可以擬合出區域的邊界函數為

(19)

由此可見，f取值范圍的頂點分別為：A(49.991 1, 0)、B(1 698.024 8, 0)以及C(50.489 5, 11 546.374 7)，如圖4所示。

為了驗證“n-夾緊力”迭代設計方法的有效性，下面直接利用解析法求解圖3中裝夾方案的夾緊力f1和f2. 若記R1、R2、R3分別為定位元件L1、L2、L3的支撐反力，則工件的靜力平衡方程可表示為

(20)

將各力大小及其作用點數據代入(20)式，整理后可得

(21)

支撐反力R1、R2和R3不能小于0，否則工件將脫離定位元件，因此有：

(22)

由此可見，夾緊力區域端點的分別為A(50,0)、B(1 700, 0)和C(50, 11 550)。

由表3可知，夾緊力大小的計算誤差最大為0.979 0%，最小為0.017 8%. 夾緊力區間端點的精度取決于閾值ε∶ε越小，精度越高，但計算效率偏低；ε越大，則計算效率高，但精度偏低。

4 結論

本文在建立工件裝夾模型的基礎上，以夾緊力的未知與已知狀態為依據，利用線性規劃技術分別提出了力封閉和力可行分析方法。 主要貢獻及所得結論如下：

1)將夾緊表面網格化為候選夾緊點，通過各點處已知夾緊力的力可行迭代分析，提出了夾緊區域的規劃方法。在每個具有力封閉的候選夾緊點處，依據相鄰2個夾緊力的力可行性確定下1個夾緊力，以步長不大于閾值為終止條件建立“1-夾緊力”一體化規劃算法。

2)將多重夾緊力表示為極徑和極角的函數，在離散極角為微角的基礎上，將“n-夾緊力”規劃問題轉化為“1-夾緊力”規劃問題。利用“n-夾緊力”規劃算法所獲得的二重裝夾方案，與力學解析法具有高度的一致性。

3)“n-夾緊力”規劃算法的本質，就是通過夾緊表面和夾緊力的離散化思想，使得連續型多重裝夾規劃問題轉化為離散型夾緊性能分析問題。由于夾緊性能分析僅涉及離散點處的位置和法向量，故本文方法適合于任意形狀的工件。更為重要的是，該方法易于編程實現，為實用的計算機輔助夾具設計系統研發提供了理論基礎。

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