極限中的辯證法

方宜

摘 要 變化與不變，近似與精確，看似對(duì)立，卻在極限過(guò)程中達(dá)到統(tǒng)一。

關(guān)鍵詞 極限 辯證法

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

1數(shù)列極限的本質(zhì)

（1）描述性定義：當(dāng)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)無(wú)限增大時(shí)，相應(yīng)的項(xiàng)無(wú)限趨近于常數(shù)，則稱常數(shù)是數(shù)列的極限，記作.

（2）定義：對(duì)于數(shù)列和常數(shù)，，正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，都有，則稱常數(shù)是數(shù)列的極限，記作.

對(duì)于數(shù)列極限，無(wú)論是通俗易懂的描述性定義，還是邏輯嚴(yán)密的定義，敘述的都是同一個(gè)結(jié)論，數(shù)列極限的本質(zhì)就是數(shù)列的項(xiàng)的變化趨勢(shì)是無(wú)限接近于常數(shù)。

2極限中的量變與質(zhì)變

隨著項(xiàng)數(shù)的增大，數(shù)列的項(xiàng)與常數(shù)接近的程度，在描述性定義中，用了“無(wú)限趨近于”這么一個(gè)模糊而又形象的描述。而在定義中，用表示數(shù)列的項(xiàng)與常數(shù)接近的程度。由于是任意給定的，表示數(shù)列的項(xiàng)與常數(shù)接近的程度可以人為控制，通俗地講，只要數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，（是根據(jù)不等式得到的，與有關(guān)的一個(gè)正整數(shù)。）數(shù)列的項(xiàng)與常數(shù)接近的程度就可以要多近就可以有多近。在一般情況下（常數(shù)列除外），無(wú)論數(shù)列的項(xiàng)數(shù)有多大，數(shù)列的項(xiàng)與常數(shù)始終有差距。即在過(guò)程中，數(shù)列的項(xiàng)與常數(shù)差距只有量變（差距越來(lái)越小），只有在終點(diǎn)（極限）才能產(chǎn)生質(zhì)變（差距為0）。下面以一個(gè)例題進(jìn)一步展示極限中蘊(yùn)含的辯證法。

3實(shí)例

由上面的計(jì)算過(guò)程可以看出，越大，時(shí)間小段分得越多，的值越接近的值，但無(wú)論取多大的值，的值只能發(fā)生量變，與的誤差永遠(yuǎn)無(wú)法消除。只有在趨向于無(wú)窮大對(duì)取極限時(shí)，與的誤差才會(huì)消除，在取極限的過(guò)程中，的值才會(huì)產(chǎn)生質(zhì)變，即

通過(guò)上面推導(dǎo)過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)，因?yàn)樽兓瘜?dǎo)致難以計(jì)算。為了消除變化，我們用不變的值近似代替變化的值，因此產(chǎn)生了誤差。雖然可以采用增加小時(shí)間段的數(shù)量，減小每段時(shí)間的間隔來(lái)減少變化，同時(shí)減少誤差。即越來(lái)越大，時(shí)間間隔越來(lái)越小，但變化和誤差始終存在，無(wú)法消除。變化和不變，近似值與精確值在計(jì)算過(guò)程中，只有量變，沒(méi)有質(zhì)變，始終對(duì)立，無(wú)法統(tǒng)一。只有在取極限時(shí)，在趨向于無(wú)窮大的過(guò)程中，從量變達(dá)到了質(zhì)變。實(shí)現(xiàn)了變化與不變，近似與精確的矛盾統(tǒng)一。