在信息技術支持下推動APOS理論走進課堂

趙宇寧

（海倫市第一中學 黑龍江海倫 152300）

一、概念教學設計

APOS理論最早為美國數學家、教育家杜賓斯基等人在研究個體解決數學問題過程中提出，認為這一過程實際上即是知識形成的建構過程。在這一過程中將數學概念的建立分為四個階段：活動、過程、對象和圖式階段。[1]

本文以高中人教A版教材必修五第三章第三小節二元一次不等式（組）所表示的平面區域一節作為教學示范案例，探討如何在實際教學中利用APOS操作理論指導實踐，建立數學概念的基本模型。

二、基于APOS理論的具體案例設計

1．活動、過程、對象有機整合

現代信息技術的快速發展，使得學生親自進行動手操作實驗變得可能，學生自己參與進去，既可以直觀的進行觀察、探索和思考，又可以感受到數學的無窮魅力，能夠在很大程度上激發出學生學習數學的熱情。而教師在這過程中應從傳統的講授演示轉變為主導和參與，充分發揮出學生的主體總用，因此筆者采用了探究活動的形式，讓學生在小組合作與交流中感受數學。[2]

探究活動1

問題1：點B在直線上運動，則B的坐標滿足何種條件:？該條件又能說明點B具有什么特點？

學生觀看點B的動畫，觀察B點橫縱坐標剛好滿足x+y+3=0，得出點B坐標的特點，進而思考點的坐標與方程之間的關系得出點在直線上則點的坐標滿足方程，以方程的解為坐標的點都在直線上，得出直線與方程的對應關系，實質上說明幾何圖形與代數方程的對應關系。[3]

探究活動2

問題2：點B的坐標能讓x+y+3成為一個等式，等式的方程與直線又是一種對應關系，那么不等式是否也有對應關系呢？任意點A的坐標與不等式x+y+3＞0（x+y+3＜0）的關系又是怎樣的呢？

學生經過觀察后發現，在平面直角坐標系中，所有的點被直線x+y+3=0分成三類：即在直線x+y+3=0上：直線右上方平面區域，直線左下方平面區域。此時教師讓學生嘗試一下完成表1.1，點B（x，y1）是直線上的點，選取點A（x，y2），使它的坐標滿足不等式x+y+3＞0，讓學生思考滿足條件的點的坐標有什么要求。

表1

學生填完表后猜想以x+y+3＞0的解為坐標的點都在直線x+y+3=0的右上方

此時教師讓學生畫板演示A點在直線右上方運動時，讓學生觀察A點橫縱坐標變化使得式子x+y+3的值發生的變化并總結結論。

進一步讓學生思考任意點A的坐標與不等式x+y+3＜0的關系，得到A點橫縱坐標變化使得式子x+y+3的值發生變化但總是小于0的。點出以x+y+3＜0的解為坐標的點都在直線x+y+3=0的左下方。學生經過觀察、分析、動手操作后就能得出結論：同側的點能讓x+y+3符號相同，不同側的點能讓x+y+3符號相反。

進而讓學生探究對于任意直線Ax+By+C=0是否存在同樣的結論。為了解決這個問題，首先需要讓學生了解決參數對問題的影響。學生就斜率是否存在開始探討，發現不論斜率是否存在，對于結論“直線Ax+By+C=0同側的點會讓式子Ax+By+C同號；直線Ax+By+C=0不同側的點會讓式子Ax+By+C符號相反”不產生影響，同理參數B、C也是如此。

經歷上述活動學生已經明確二元一次不等式（組）所表達的幾何意義是具有某種特征的點的集合即可行域，可以讓學生探究、總結確定可行域的一般方法。

⑴建立直角坐標系，精確作出邊界直線（嚴格不等式畫為虛線，非嚴格不等式畫為實線）。

⑵用特殊點探測二元一次不等式Ax+By+C＞0（Ax+By+C＜0）所表示的區域，用陰影部分標出。此時教師就可以用一句口訣總結加深學生印象：直線定界，特殊點定域。還可以讓學生總結特殊點的取法技巧，直線不過原點時，就取原點試探。

學生對于A、B三個參數對可行域的確定進行探究，得出結論，可以單獨依靠參數A、B、C的正負來判斷可行域。[4]

2.“心理圖式”有機形成

在經歷活動、過程、對象等問題的整合之后，個體對數學概念的“心理圖式”就已基本形成，運用這個“心理圖式”來解決相關問題，反過來又能促進“心理圖式”框架的清晰。對于本案例，學生的難點主要在如何發現變量x，y的幾何表征意義，進而發現平面區域與不等式（組）的對應關系，這里需要學生運用到數形結合思想，并對問題的實質有深入的把握，完成“心理圖式”過程。考慮到學生的知識水平和消化能力，可借助信息技術支持，多種表示手段，從激勵學生探究入手，建立合理的情境，引入恰當的變式，使學生可以從多元化角度僅進行理解，逐層加深對概念的理解，方便記憶與應用，

筆者認為APOS理論是一種十分有益于培養學生探究問題的手段和方法，四個階段不可分割、互相促進、互相交融、有機的結合為一個整體，結合著現代信息技術成為一個當下十分值得研究的課題，具有很重要的實踐指導意義，若教師運用得當，將會為學生帶來無限的驚喜和巨大的幫助。

[1]王旭媚.信息技術與數學學科教學整合的嘗試與思考[J].數學教育學報，2004,13(2): 97.

[2]敖玉剪.幾何畫板在線性規劃課程教學中的應用[J].數學教學與研究，2011,(53): 78.

[3]張國治,杜娟.速定二元一次不等式表示的平面區域[J].數學通訊，2006(21): 29.

[4]王波.用幾何畫板軟件描述平面區域上的動點[J].中國學術期刊，2011(05): 174.