基于Copula函數耦合性建模的二元加速退化數據統計分析方法

周 源，呂衛民，王少蕾，孫 媛

(1.海軍航空大學， 山東 煙臺 264001； 2.海軍工程大學， 武漢 430000)

加速退化試驗是一種高效評估產品可靠性的可行手段，已經普遍應用于產品研制、定壽、交付驗收、延壽等多個階段[1-3]。傳統的加速退化試驗只是測量產品某一個性能參數的退化數據，據此對產品可靠性進行建模與評估。然而一些產品存在多種退化失效過程，并且各退化失效過程之間可能存在耦合性，產品失效是各退化失效過程之間競爭的結果[4-6]，因此，基于單性能參數加速退化數據的可靠性建模與評估方法已經不適用于多參數退化產品。

為了利用加速退化試驗準確、高效地評估出多參數退化產品的可靠性，基于多元加速退化數據的統計分析方法逐漸受到關注[7-11]。文獻[7]采用多元正態分布函數擬合多元性能退化數據，在假定均值與加速應力相關而協方差與加速應力無關的基礎上建立了加速退化模型，然而，由于多元正態分布函數的適用性有限，此類方法的應用范圍較小。文獻[8]采用Gamma過程與Copula函數對多元加速退化數據統計分析，基于多元B-S分布建立了產品在額定應力下的可靠度函數。文獻[9]利用基于退化量分布的方法對各性能退化過程建模，假定各相同測量時刻的退化量之間具有相關性并且亦采用Copula函數進行相關性建模。

繼電器廣泛用于國防工業的多種設備，主要功能是可靠地完成電信號傳遞、電路隔離、繼電保護等，繼電器的可靠性對整個設備能否正常工作非常重要[12-13]。對于很多用于軍工、航天的繼電器產品，會有一段比較長的貯存期，繼電器在長期貯存過程中的某些性能指標不可避免會產生退化[13-15]。因此，如何對繼電器的性能參數退化量進行合理統計分析，從而掌握繼電器的質量變化規律是非常必要的。目前的性能退化數據統計分析方法大都是針對一種性能退化參數，然而工程經驗表明繼電器具有明顯退化趨勢的退化參數包括接觸電阻值、釋放電壓。此外，由于繼電器內部的結構相關性，接觸電阻值、釋放電壓之間具有一定的耦合性，即任一種性能參數的退化過程會受到其他性能參數退化過程的影響。本文提出一種基于Copula函數耦合性建模的二元加速退化數據統計分析方法，結合加速退化試驗評估某型繼電器產品的可靠性。

1 二元加速退化數據建模

某型繼電器存在兩種性能退化過程，令Xp,k(t)表示產品在溫度應力水平Tk下的第p個性能退化過程，其中p=1,2，任一性能退化過程首次達到失效閾值Dp時產品發生退化失效。根據前期的研究結論，Xp,k(t)服從Wiener隨機過程，并且X1,k(t)與X2,k(t)之間具有耦合性。Tk代表第k個加速溫度應力水平，ti代表第i次測量時間，xpjk(ti)表示Tk下第j個樣品的第p個性能退化過程Xp,k(t)在時間ti的退化測量值，其中k=1,2,3；j=1,2,…,Nk；p=1,2；i=1,2,…,Mk。Tk下所有樣品的性能退化測量值利用如下的數據結構描述：

(1)

(2)

(3)

(4)

式(4)中，Φ(·)為標準正態分布的累積分布函數。根據文獻[2]中的研究結論，Wiener過程的漂移參數值與擴散參數值都與環境應力水平相關，并且可利用加速模型定量表示它們的關系，如果環境應力為絕對溫度Tk，可采用阿倫尼斯加速模型表示為

μpk=exp(ap-bp/Tk)

(5)

(6)

式(5)、式(6)中，ap,bp,cp為第p個性能參數對應的加速模型待估參數。

設G(x1)，G(x2)分別為變量X1，X2的累積分布函數，根據Sklar’s理論，如果H(x1,x2)為G(x1)，G(x2)的聯合分布函數，則存在一個滿足下式的Copula函數C(·)，

H(x1,x2)=C(G(x1),G(x2);θ)

(7)

式(7)中，θ為Copula參數。目前應用較廣的Copula函數為Gaussian，Frank，Gumbel，Clayton等，這4種Copula函數具有不同的耦合效果[16-18]，表1給出了這4種Copula的分布函數及密度函數。

H(x1,x2)的概率密度函數為

c(G(x1),G(x2))g(x1)g(x2)

(8)

將式(4)，式(5)，式(6)代入式(7)，得

H(Δx1jk(ti),Δx2jk(ti))=

C(Φ(U1jk(ti)),Φ(U2jk(ti));θk)

(9)

將式(3)，式(9)代入式(7)，得

h(Δx1jk(ti),Δx2jk(ti))=

c(Φ(U1jk(ti)),Φ(U2jk(ti));θk)g(Δx1jk(ti))g(Δx2jk(ti))

(10)

2 參數估計

參數估計的任務是提出有效的方法估計出二元加速退化模型的各待估參數值，包括以下10個參數：ap，bp，cp，Λp，e，f，其中p=1,2。根據式(10)建立如下極大似然方程：

g(Δx1jk(ti))g(Δx2jk(ti))}

(11)

然而由于待估參數過多，難以通過傳統的極大似然估計法直接極大化式(11)，無法一體化獲取參數估計值。因此考慮采用Bayesian MCMC的思路[19]，設計如下的參數估計算法一體化估計出各參數值，主要步驟為：

1) 令logLijk=log{c(Φ(U1jk(ti)),Φ(U2jk(ti));θk)g(Δx1jk(ti))g(Δx2jk(ti))}；

2) 構建服從Poisson分布的偽隨機變量Yijk，設Yijk的所有觀測值為0并且Poisson分布的均值參數為-logLijk+R，如Yijk～Poi(0;-logLijk+R)，R為一個滿足-logLijk+R>0的實數；

3) 由Yijk的概率密度函數fP(0;-logLijk+R)建立如下極大似然方程，

(12)

4) 根據以下關系式將Poisson分布參數估計問題等效為二元加速退化模型參數估計問題

(13)

5) 在OPENBUGS軟件中建立基于Poisson分布Yijk～Poi(0;-logLijk+R)的貝葉斯模型，將ap，bp，cp，Λp，e，f分別表示為服從無信息先驗分布的隨機參數，并設定各待估參數的初值；

6) 利用基于Gibbs抽樣的馬爾科夫鏈蒙特卡洛方法經過足夠多步的迭代，獲得ap，bp，cp，Λp，e的后驗均值；

7) 判斷各隨機參數的后驗分布是否收斂，如果收斂則將后驗均值作為參數估計值，否則調整各隨機參數的先驗分布、待估參數初值、迭代步數，直到各隨機參數的后驗分布都達到收斂。

3 可靠性預計

(14)

R0(t)=P(X1，0(t)

(15)

式(15)中，

(16)

如果X1,k(t)與X2,k(t)之間沒有耦合性，則繼電器的可靠度函數為

(17)

4 案例應用

為了掌握某型繼電器在長期貯存過程中的可靠性變化規律，首先結合以往的工程經驗分析了此型繼電器產品的失效模式與失效機理，得出：接觸電阻增大、釋放電壓降低是產品在貯存過程中最主要的兩種退化失效模式；接觸電阻增大與釋放電壓降低兩種失效過程存在某種程度的耦合性；溫度是產品接觸電阻增大、釋放電壓降低的敏感環境應力。然后，隨機選取了24個樣品開展了高溫加速退化試驗。具體試驗信息為：在正常貯存溫度25 ℃(298.16 K)下分別測量每個樣品的接觸電阻初值x0、釋放電壓初值y0；24個樣品被平均分配到3個老化試驗箱內，箱內的溫度分別設為60 ℃(333.16 K)，90 ℃(363.16 K)，120 ℃(393.16 K)；試驗過程中每隔0.4×103h測量一次所有樣品的接觸電阻值x與釋放電壓值y，試驗截止時間為2.8×103h。

圖1、圖2、圖3展示了樣品在3個溫度應力水平下的接觸電阻值與釋放電壓值的變化曲線。當接觸電阻測量值相對于初值的變化量首次達到20 mΩ時或當釋放電壓測量值相對于初值的變化量首次達到2 V時，產品會發生退化失效。以下利用本文所提方法對二元加速退化數據進行統計分析，預測此型繼電器產品在正常貯存溫度下的貯存可靠度變化規律。

圖1 繼電器在333.16 K下的接觸電阻及釋放電壓退化數據

圖2 繼電器在363.16 K下的接觸電阻及釋放電壓退化數據

圖3 繼電器在393.16 K下的接觸電阻及釋放電壓退化數據

首先，利用第1節中所提方法對此型繼電器產品建立二元耦合加速退化模型，如式(9)所示，其中Copula函數類型分別選用Clayton Copula、Frank Copula。然后，利用第2節中所提方法進行參數估計。當選用Clayton Copula時，估計出各參數值如表2所示，當選用Frank Copula時，估計出各參數值如表3所示，其中Mean為隨機參數的后驗估計均值，SD為后驗估計標準差，MC_error為MCMC參數估計的誤差，2.5%表示后驗估計值的2.5%分位數,97.5%表示后驗估計值的97.5%分位數。比較表2與表3中的參數估計結果，各參數的后驗均值雖然相差不大但均有一定變化，說明選用不同的Copula函數會影響最終的參數估計結果。通過比較AIC(Akaike Information Criterion)值，選用Clayton Copula的二元加速退化模型能夠與試驗數據擬合得更優。

表2 選用Clayton Copula時的參數估計

表3 選用Frank Copula時的參數估計

上式中，

表4 接觸電阻加速退化模型的參數估計

表5 釋放電壓加速退化模型的參數估計

圖4 可靠度評估結果

5 結論

1) 針對某型繼電器產品，提出了一種可行的二元加速退化數據建模方法，包括利用Wiener過程建立性能參數的退化模型；結合阿倫尼斯方程建立模型參數的加速退化模型；采用Copula函數建立二元加速退化過程之間的耦合性模型。

2) 提出了一種基于Bayesian MCMC的參數估計，有效解決了因為二元加速退化模型中待估參數過多，傳統估計方法不適用的難題。

3) Copula函數能夠描述兩種退化過程之間的耦合性，但也給可靠性建模與參數估計增加了難度。

4) 通過所提方法評估了某型繼電器的可靠性，與工程實際中的認識相符，但評估結果還需產品的真實貯存失效數據做進一步驗證。

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