基于偽譜法的導彈編隊隊形重構最優控制*

馬 駿，馬清華，王 根，苗昊春

(西安現代控制技術研究所，西安 710065)

0 引言

導彈編隊是未來導彈武器發展的重要方向，指多枚導彈以一定的編隊構型協同作戰，編隊中各枚導彈之間共享戰場信息(目標信息、環境信息等)，從而最大限度的提升編隊整體的作戰效能和生存能力。導彈編隊在飛行過程中，各枚導彈需要根據作戰任務的需求進行編隊隊形的重構，例如變換編隊隊形以避免戰場環境威脅或彌補編隊中部分導彈被擊落導致的編隊作戰效能損失。因此，導彈編隊隊形重構控制問題的研究具有重要的意義。

導彈編隊的相關研究中，韋常柱、郭繼峰等人建立了單領彈集中式導彈編隊的相對運動模型，并采用線性二次型最優控制理論設計了一種編隊隊形保持控制器[1]；張磊、方洋旺等人采用基于穩態解的利卡提矩陣微分方程求解方法解決最優控制問題，設計了從彈的三維編隊控制器[2]；馬培蓓，張友安等人在文獻[3]中針對面向編隊飛行的從彈控制律和視線算法進行了研究，設計了三維條件下基于從彈的穩定的編隊控制器;文獻[4]中提出了改進的領彈-跟隨彈編隊模式,結合多級分布式控制策略,解決了領彈失效時隊形無法保持的問題;王曉芳等基于滑模變結構理論設計了導彈編隊隊形控制律[5]。

文中針對主從式導彈編隊的隊形重構控制問題展開研究。首先在合理假設條件下建立了導彈編隊的運動學模型，然后對導彈編隊的隊形重構問題以及hp-自適應偽譜法求解最優控制問題的基本原理進行了描述，設計了一種基于偽譜法的導彈編隊隊形重構最優控制方法；進而通過仿真算例對提出的最優控制方法進行了驗證和分析；最后給出了結論。

1 編隊動力學建模

為了便于分析，假設導彈編隊由領彈和從彈組成，且領彈和從彈只存在俯仰平面內的二維運動，如圖1所示。首先定義兩個坐標系：

1)慣性坐標系Oixiyi，坐標原點Oi位于地面某一固定參考點；Oixi沿水平方向，指向目標為正；Oiyi垂直于Oixi方向，向上為正。

2)相對坐標系Orxryr，坐標原點Or位于領彈質心，Orxr與領彈速度矢量重合，Oryr位于包含導彈速度矢量的鉛垂面內垂直于Orxr，向上為正。

假設從彈具有穩定的閉環自動駕駛儀，可以實現對從彈的速度Vf和彈道傾角θl的穩定的跟隨控制。從彈可以獲得領彈的速度信息和彈道傾角信息。根據參考文獻[1]中的結論，可以獲得圖1中的導彈編隊在二維空間中的相對運動學模型：

(1)

式中：x和y分別為相對坐標系下從彈的位置矢量r在相對坐標系Orxryr各坐標軸的分量；Vf為慣性系下從彈的實際速度大小；θf為從彈的實際彈道傾角；Vfc為從彈的指令速度；θfc為從彈的指令彈道傾角;τ1和τ2分別為從彈速度控制回路的慣性時間常數和從彈彈道傾角控制回路的慣性時間常數；Vl為領彈的速度大小，θl為領彈的彈道傾角。

2 編隊隊形重構最優控制問題

導彈編隊隊形重構的意義在于根據作戰任務的需求隨時調整導彈編隊的構型，從而獲得不同的編隊作戰效能。從主從式導彈編隊的編隊特點考慮，較為高效的編隊重構過程為：從彈根據領彈的飛行狀態和作戰任務的構型需求，進而調整自身與領彈的相對位置，最終獲得期望的編隊重構構型。從建立的導彈編隊運動學模型出發，導彈編隊隊形重構控制的目的是根據作戰任務的需求設計從彈的飛行指令Vfc和θfc，使從彈調整與領彈之間的相對位置，從而實現編隊隊形的重構。另外，由于從彈的飛行燃料有限，因此希望從彈能夠以最小的飛行指令實現編隊隊形的重構過程。最優控制是現代控制理論的一個重要組成部分。其所研究的問題是：對一個控制系統，在給定的性能指標要求下，如何選擇控制規律，使性能指標達到最優(極值)[6]。

將導彈編隊隊形重構問題用最優控制理論進行求解：即尋找最優控制變量u*(t)，在一系列約束條件下，使得到導彈編隊隊形重構過程中控制量(飛行指令Vfc和θfc)的消耗達到最少，寫成目標函數的形式即為：

(2)

在約束條件方面，主要包括動力學約束，路徑約束以及終端約束。取狀態變量為：

x=[x1,x2,x3,x4]T=[x,y,Vf,θf]T

(3)

取控制量為：

u=[u1,u2]T=[Vfc,θfc]T

(4)

則由式(1)可以得到：

(5)

式(5)即為導彈編隊隊形重構過程的動力學約束。狀態變量x、y、Vf、θf，ω控制量Vfc、θfc也需要滿足一定的條件，即路徑約束：

(6)

(7)

另外，編隊隊形重構過程需要滿足一定的終端約束：

(8)

3 hp-自適應偽譜法基本原理

文獻[7]中對hp-自適應偽譜算法基本原理進行了詳細描述。hp-自適應偽譜算法首先將時域區間分為若干段，并在每段上選取一定數量的Legendre-Gauss點作為配點，然后在每個單元上利用Lagrange多項式逼近系統的狀態變量和控制變量，并通過插值函數的微分和被積函數的高斯積分來近似系統的狀態微分和性能指標，從而將連續的最優控制問題轉化為離散的非線性規劃問題，最后通過使用自適應的配點調整策略和相關的規劃求解算法求解離散后的非線性規劃問題，從而實現對于最優控制問題的求解。

4 仿真算例與分析

本節利用hp-自適應偽譜法求解主從式導彈編隊隊形重構過程的最優控制u*(t)，并通過數字仿真進行驗證和分析。仿真條件假設為：從彈初始狀態時相對領彈的坐標位置為：(-500,0)，作戰任務要求從彈與領彈的相對位置重構為：(0,100)，然后保持編隊構型繼續飛行。仿真參數如表1所示。

表1 仿真參數

目標函數的選取以從彈的控制指令最小為原則，采用式(2)。動力學約束為式(5)，路徑約束取為：

(9)

根據編隊隊形重構的要求，終端約束可取為：

(10)

以上終端約束要求從彈的相對位置從(-500,0)變化為(0,100)，并且末狀態的飛行速度Vf和彈道傾角θf與初始狀態相同。

在以上目標函數和約束條件下，利用hp-自適應偽譜法求解編隊隊形重構過程的最優控制問題的仿真結果如圖2～圖8所示。圖2為領彈的飛行速度和彈道傾角變化，圖3為從彈的相對位置變化，圖4為從彈的飛行速度與彈道傾角變化，圖5為從彈的指令飛行速度與指令彈道傾角變化，圖6為慣性坐標系下編隊構型的重構過程。由仿真結果可知：

1)領彈的飛行速度保持不變，其彈道傾角按照正弦曲線規律變化，導致領彈在二維平面內的運動軌跡隨時間變化；

2)導彈編隊在18.82 s左右完成重構過程，從彈的相對位置從(-500,0)變化為(0,100)，從彈的飛行速度和彈道傾角滿足終端條件的約束，指令彈道傾角在編隊重構過程中受到了限幅作用的影響。

圖7為從彈指令彈道傾角路徑約束不變，Vf的路徑約束擴大為200 m/s≤Vfc≤ 300 m/s時慣性坐標系下編隊構型的重構過程，其編隊重構過程在12.61 s完成，重構速度明顯加快。圖8為從彈指令彈道傾角路徑約束擴大為-15°≤θfc≤15°，指令飛行速度路徑約束不變時慣性坐標系下編隊的重構過程，其重構過程完成時間基本不變，仍然為18.82 s左右，僅y向距離的變化趨勢與圖6有區別。因此，從彈指令飛行速度Vf的路徑約束對導彈編隊重構時間起主要作用，Vf路徑約束的限幅越大，則導彈編隊重構所需時間越短。

5 結論

編隊隊形重構控制問題是導彈編隊的關鍵問題之一，文中針對這一問題展開研究。建立了導彈編隊動力學模型，并將基于偽譜方法的最優控制理論應用到導彈編隊隊形重構控制中，對導彈編隊隊形重構控制進行求解，并通過仿真算例進行了分析和驗證。仿真結果表明：在一定的約束條件下，利用hp-自適應偽譜方法能夠獲得導彈編隊隊形重構過程的最優控制量。另外，仿真中發現，從彈的指令飛行速度對導彈編隊的隊形重構過程影響較大，指令飛行速度的最大值越大，則導彈編隊隊形重構的速度越快。