二自由度冗余驅動并聯機器人的動力學研究

宋 婷，宋 拓，張小力

(1.陜西鐵路工程職業技術學院， 陜西 渭南 714000; 2.西安理工大學， 西安 710048)

二自由度冗余驅動并聯機器人區別于傳統機器人，它有許多連桿和關節，并且結構復雜、封閉，系非線性動力學系統，它的復雜在于具有很多個輸入、輸出，耦合關系十分復雜，在系統中存在冗余驅動，這使得并聯機器人的動力學分析和建模非常復雜。并聯機器人的動力學分析建模是一項非常重要的課題，動力學模型的準確性直接影響著并聯機器人的動態性能、結構優化和結構設計及動力學仿真等研究工作。要使并聯機器人在運動學方面達到速度高和精度高，就要有一套適用于動力學效果顯著的控制算法。所以，要研究機器人控制，首先要進行動力學分析研究。

1 拉格朗日法(Lagrange)

拉格朗日方程是最常用的并聯機器人建模方法，采用此方法建立的動力學模型能夠描述各構件之間的耦合關系。其通式如下：

(1)

選取并聯機器人3個主動關節角度變量為廣義坐標，構造Lagrange動力學模型：

(2)

(3)

(4)

將式(2)、式(3)、式(4)代入式(1)，可得

(5)

合并后得

(6)

有如下性質[7]：

1)M(q)是對稱正定矩陣，即：

MT=M

uTMu>0, ?u∈Rn,u=0

2 拉格朗日—達朗伯法

達朗伯原理將復雜的動力學問題轉化為靜力學問題求解。在分析力學領域，把這種變換了形式的求解方法與虛功原理相結合，產生了拉格朗日——達朗伯方程，該類方程已成為分析和求解動力學問題行之有效的方程之一[8]。通常將機器人的并聯結構化簡為開鏈結構再進行動力學分析。從該閉鏈結構中選擇任意一個非驅動關節，采用虛擬切割法將其切割成開鏈結構，該開鏈結構滿足拉格朗日—達朗伯方程：

(7)

當并聯機構在奇異位形外且正常驅動，則：

(8)

其中：W是q相對于qa的雅可比矩陣；I為單位矩陣。樹形開鏈結構的動力學方程為：

(9)

若樹形開鏈結構Lagrange函數L等于閉鏈結構Lagrange函數Lv，則L=Lv，由此便得到閉鏈關節驅動力矩τa和樹形開鏈關節驅動力矩τ的關系，即WTτ=STτa。因而該并聯機構的動力學方程為：

(10)

3 應用拉格朗日—達朗伯方程建立二自由度冗余驅動并聯機器人動力學模型

以固高GPM系列二自由度冗余驅動并聯機器人實驗平臺為對象，采用拉格朗日—達朗伯方程建立該系統的動力學數學模型，對其進行動力學分析，其結構簡圖如圖1，各關節位置參數如表1。

轉動副(主動關節)X/mmY/mm 轉動副(被動關節)X/mmY/mm A10.0250.0B1106.9469.3A2433.00.0B2189.16.9A3433.0500.0 B3471.7259.1

以固定轉動副的轉軸方向為Z軸，Z軸與機器人運動平面垂直，以水平向右的射線為x軸、豎直向上的射線為y軸，建立坐標系，x軸和y軸的交點即為坐標原點。由于此機器人不僅結構對稱而且具有三組同樣的運動分支，所以研究其動力學方程只需要取其中一個分支進行分析即可，如圖2所示，建立參考坐標系oxy，坐標系的原點位于該并聯機器人結構簡圖中正三角形A1A2A3的中心。

令該機器人第i((i=1,2,3))個分支中兩均質細直桿的長度分別是l1和l2，其質量分別是mi1和mi2，質心坐標為(xi1,yi1)和(xi2,yi2)，質心即為桿件的中心點，兩桿的質心距離桿端部的距離分別為r1和r2，與x軸正方向的夾角分別為αi和βi，由圖2可知兩桿質心沿x軸和沿y軸的方程：

(11)

(12)

對式(11)、式(12)求導，可獲得速度方程：

(13)

(14)

1) 該分支在水平面上的運動動能為：

(15)

(16)

同理：均質細直桿l2繞質心B(xi2,yi2)旋轉得到的轉動慣量為：

(17)

由動能定理可知：

則：E即為連桿做旋轉運動的動能。

l1和l2繞質心旋轉的動能為：

(18)

由上可知，該分支的總動能為：

(19)

若設該機器人運動平面為基準面，不考慮關節間的摩擦，則系統勢能為零，用Pi表示，則Pi=0。拉格朗日算子L=E-P，可知：Li=Ei-Pi=Ei。

根據式(1)，可得出用關節坐標αi和βi來表述該分支的動力學方程：

(21)

(22)

由式(21)、式(22)可得：

(23)

(24)

K3=m2l1r2

將式(23)與式(24)結合后，可表示成如下形式：

(25)

式中：

合并這3個運動分支的動力學方程，可獲得閉鏈系統的動力學通式：

(26)

文獻[11]可知該機器人的速度方程，即：

(27)

式中：di=l1[(x-xi0)sinαi-(y-yi0)cosαi]

ei=x-xi0-l1cosαi

fi=y-yi0-l1sinαi

同理：

(28)

式中：λi=li[-(x-xi0)sinβi+(y-yi0)cosβi]

μi=x-x01-l2cosβi

γi=y-y01-l2sinβi

該機器人速度方程式(27)與式(28)結合，可寫成如下形式：

(29)

(30)

即：

其中：S和Q是一個η1=η2=η3=0的矩陣

則：將式(29)和式(30)合并后，可得該機器人的速度雅可比矩陣，用J表示，J是一個6×2的矩陣：

由于用質心坐標表示二自由度冗余驅動并聯機器人系統中相互獨立的廣義坐標矢量，且由式(10)可得其動力學方程：

(31)

式中：

u=[xy]T

由式(31)可知，采用拉格朗日—達朗伯方程建立的動力學數學模型，可以直接求得逆動力學方程，采用此方法建立的動力學模型和采用達朗伯法或拉格朗日法等方法所建立的動力學模型相比，具有一致性[12]，說明拉格朗日—達朗伯法在求解機器人動力學方程和建立模型中具有明顯的優越性及可行性。

4 二自由度冗余驅動并聯機器人驅動力優化

由于該機器人存在冗余驅動，驅動關節力和力矩的分配具有不確定性，在式(31)中，若已知驅動力τa，即機構的運動可以確定；若已知機構的運動，而不能唯一確定τa，此時則要借助優化方法對驅動力τa進行優化分配。通過對τa進行優化可以減小機器人各關節內力，防止驅動力突變，進而使并聯機器人的力傳遞性能得到提高，并且還可改善并聯機器人的動態性能。

將驅動力優化問題描述如下：

引進Lagrange因子，根據代數方法可得Lagrange函數：

(32)

(33)

(34)

由式(27)和式(28)求得：

(35)

f=Hτa

(36)

將式(29)代入式(30)，得：

(37)

由式(31)可知：

λ=2(H(M-1)THT)-1f

(38)

將式(32)代入式(29)，得：

τa=(M-1)THT(H(M-1)HT)-1f

(39)

若取M為單位矩陣，可求得τa為：

τa=HT(HHT)-1f=JT(JJT)-1f

(40)

式(40)是當機器人末端執行器所受負載已知時，求并聯機器人驅動力的最優解。

平面二自由度冗余驅動并聯機器人理論上只需兩個電機即可滿足該機器人的自由度數，才能夠確定并聯機器人末端執行器的運動情況，而此機器人卻給出了三個驅動電機，使驅動構件數目大于機構末端執行器自由度數目，則已知末端執行器輸出力時，無法唯一確定機器人的驅動力。分配驅動力理論上會有許多組解，依據機構運動不同的工作狀況，選擇不同的優化目標及方法對驅動力τa進行優化分配。該并聯機器人的優化目標有兩種：能耗優化和輸入力優化。依據二自由度冗余驅動并聯機器人的實際工作情況，本節采用優化輸入力的方法[16]對驅動力進行優化分配。

機器人末端執行器所受兩個作用力分別為：

1) 并聯機器人各分支的軸向驅動力，表示為τa=[τa1,τa2,τa3]；

2) 作用在末端執行器處外負載矢量f，表示為：

f=[fx,fy,fz]

當末端執行器力位于平衡狀態時，其所受到合力為零，平衡狀態方程為：

(41)

優化目標函數為：

τa=minτai

(42)

將式(41)和式(42)相結合便可獲得優化驅動力τa。

5 結論

文章基于二自由度冗余驅動并聯機器人的簡化模型，針對該機器人系統動力學分析建模的復雜性，采取拉格朗日—達朗伯法對該機器人進行動力學分析建模，通過該方法建立動力學數學模型，不僅可以直接求得逆動力學方程，而且與單獨采用拉格朗日法所建立的動力學模型相比具有一致性，說明：

1) 拉格朗日—達朗伯法在機器人動力學模型的求解中具有明顯的優越性及可行性；

2) 采用輸入力優化法對該機器人驅動力進行優化分配，對改善并聯機器人動力學性能提供了充足的理論依據。

[1] 惠記莊，魏芳勝，高凱，等.基于ADAMS的冗余驅動并聯機器人動力學仿真研究[J].工程設計學報，2012，19(5):362-365.

[2] 解本銘，趙詞海.基于ADAMS的3-P4R并聯打磨機器人運動學仿真[J].制造業自動化，2011,33(8):21-25.

[3] 趙景波.MATLAB控制系統仿真與設計[M].北京：機械工業出版社，2010.

[4] 贠遠，徐青松，李揚民.并聯微操作機器人技術及其應用進展[J].機械工程學報，2008,12:12-23.

[5] TRUNG DO THANH,JENS KOTLARSKI,BODO HEIMANN,et al.Dynamics identification of kinematically redundant parallel robots using the direct search method[J].Mechanism and Machine Theory，2012(52):277-295.

[6] 馮寶奇.LINKS-EXE700R并聯機床在制造領域的應用[J].航空制造技術，2009,4:96-97.

[7] 張立杰，劉辛軍.平面二自由度驅動冗余并聯機器人的機構設計[J].機械工程學報,2002，38(12):49-53.

[8] 侯錦世.分析力學中的達朗伯原理[J].山東輕工業學院學報,1995，9(4)：65-66.

[9] SU Y X,ZHENG C H.Global asymptotic tracking of robot manipulators with a simple decentralized non-linear PD-like controller.[J].Control Theory&Applications,2010,4(9):1605-1611.

[10] SERDAR KUCUK.Energy minimization for 3-RRR fully planar parallel manipulator using particle swarm optimization[J].Mechanism and Machine Theory.2013(62):129-149.

[11] SUN D,MILLS J K.Adaptive synchronized control for coordination of multirobot assembly tasks[J].IEEE Trans.Robot.Autom.,2002,18(4):498-510.

[12] YOUNG B,HO KIM.SHINICHI HIRAI.Modular and Distributed Forward Dynamic Simulation of Constrained Mechanical Systems——A Comparative Study [C].New Orleans,LA,April 2004.

[13] 高天國.并聯機床加工中心的研制與應用[J].航空制造技術，2009,5:50-53.

[14] TRUNG DO THANH,JENS KOTLARSKI,BODO HEIMANN,et al.Dynamics identification of kinematically redundant parallel robots using the direct search method[J].Mechanism and Machine Theory.2012(52):277-295.

[15] 趙景山，馮之敬，褚福磊.機器人機構自由度分析理論[M].北京：科學出版社，2009.

[16] 魏立新.6-DOF 并聯機器人動力學建模及其控制策略研究[D].秦皇島：燕山大學，2002：72-86.

[17] 李增剛.ADAMS入門詳解與實例[M].北京:國防工業出版社，2009:79-81.

[18] WANG Xuanyin,YIN Ruiduo.Six-axis force/torque sensor based on stewart platform[J].Chinese Journal of Mechanical Engineering,2008,44(12):118-122.

[19] 劉延斌，張宏敏，趙新華.3-RRRT并聯機器人魯棒自適應模糊滑模控制[J].電機與控制學報，2009，(13)：87-91.

[20] 劉金琨.機器人控制系統的設計與MATLAB仿真[M].北京：清華大學出版社，2008.

[21] 賈振元，李映軍，張軍，等.并聯式軸用壓電六維力/力矩傳感器[J].機械工程學報，2010(6):62-63.

[22] 趙景山，馮之敬，褚福磊.機器人機構自由度分析理論[M].北京：科學出版社，2009.

[23] 王凱正，林棻，張華達，等． 基于Arduino的輪式移動機器人速度控制模式比較[J].重慶理工大學學報(自然科學)，2017(6):70-77.