帶有攻擊時間控制的修改比例導引法研究

陳永恒，相升海，姜登維，李 嘉，陳升富

(1.沈陽理工大學 裝備工程學院，沈陽 110159； 2.遼沈工業集團有限公司 檢驗中心, 沈陽 110045；3.南京理工大學 能源與動力工程學院， 南京 210094)

隨著現代制導理論與技術的發展，攻擊時間控制制導問題正越來越受到關注[1-5]。攻擊時間控制制導律目前廣泛應用于聯合攻擊、炮火齊射等方面，通過對攻擊時間的控制可實現多個導彈同時擊中目標，從而提高打擊效果。比例導引法因其魯棒性和簡易性而廣泛應用于導彈的制導[6-7]，由于傳統的比例導引法是以脫靶量為零所進行的制導律設計，并沒有考慮飛行時間的約束，因此很難實現攻擊時間的控制。為了能夠應用比例導引法實現攻擊時間的控制，研究人員在一般比例導引法的基礎上結合現代控制理論，設計出能夠滿足控制需求，且帶有傳統比例導引項的制導方法，這種制導方法稱為修改比例導引法。

目前，研究人員針對修改比例導引法的攻擊時間控制制導問題開展研究。如文獻[3]基于比例導引法中剩余飛行時間的估算和滑模控制理論，提出了修改比例導引法，實現攻擊時間控制；文獻[4]在研究應用比例導引法實現多個導彈聯合攻擊問題時，通過運用剩余飛行時間的估算，提出一種能夠實現攻擊時間控制的聯合制導律；文獻[5]采用最優控制思想，在非線性條件下提出了基于廣義比例導引的攻擊時間控制制導律，但并未開展深入研究，未能給出剩余飛行時間估算精度對制導律性能的影響。

本文以文獻[5]的思路為基礎，對非線性條件下基于修改比例導引的攻擊時間控制制導律開展研究。針對基于不同剩余飛行時間估算方法下的攻擊時間控制制導律，在不同初始條件和不同控制時間下進行數值仿真，探索內在變化規律及影響因素，并在此基礎上分析剩余飛行時間估算精度對攻擊時間控制制導律性能的影響，所得研究結果對該類制導律的實際工程應用具有一定的理論指導作用。

1 問題的描述

考慮平面內攔截靜止目標的情況，其導彈和目標的運動關系如圖1所示。圖1中，M表示導彈，T表示目標。γ、θ、R分別表示導彈彈道角、目標視線角以及彈目連線距離。φ表示導彈前置角，aM表示制導指令，(xm,ym)表示導彈的位置，下標0表示初始條件。

假設導彈的速度VM為常值，則導彈與目標之間的相對運動關系滿足如下運動學方程：

(1)

(2)

(3)

φ=γ-θ,φ(0)=φ0

(4)

導彈是通過垂直于速度方向的加速度指令進行控制。如式(3)所示，本文的加速度指令由兩部分組成：第一項aB為反饋控制指令，用于減少導彈的脫靶量，實現擊中目標；第二項aF為附加控制項，用于自適應攻擊時間，實現攻擊時間控制。

由式(2)和式(3)可得前置角的變化規律

(5)

在整個導彈導引過程中，彈目連線距R應在有限的時間內收斂到零，同時前置角φ也要收斂到零。假設在整個制導過程t∈[0,tf](其中0表示制導初始時間，tf表示制導結束時間)有|φ(t)|<π/2，則由式(1)和式(5)可得到前置角φ關于彈目連線距R的關系式

(6)

式(6)左右兩端乘以cosφ，整理得

(7)

(8)

式(8)的邊界條件為η(0)=0,η(R0)=η0，其中η0=sinφ0。將式(1)進行微分變換，并代入變量η有：

(9)

其中：t(R0)=0，t(R=0)是所要控制的攻擊時間td。需要指出的是，所需要控制的攻擊時間td應大于導彈只通過比例導引攻擊目標所需的攻擊時間tP。

2 攻擊時間控制制導律的推導

經分析，通過直接求解非線性方程組式(8)和式(9)獲得制導指令aM較為困難。為此，考慮求解一個帶邊界約束的最優控制問題，假設附加控制指令uF為常值，則滿足方程式(8)的最優控制能量為

(10)

通過解這個最優控制問題，得到uB關于uF的方程，然后求得滿足邊界條件式(9)的附加指令uF。需要指出的是，關于該最優控制問題的解并不能保證實際應用于導彈的加速度指令aM的控制能量最優。

解方程式(8)和方程式(10)所組成的最優控制問題[8-9],得到以下最優解：

(11)

其中常數N定義為N=3+m, (m>-1)。當附加控制項uF為零時，反饋項aB就是比例導引法下的制導指令。

由式(11)可知，一個非零的附加控制項uF，將使導彈形成一條新的彈道軌跡，這條新的彈道軌跡攝動于由比例導引法產生的彈道軌跡，直至uF為零時，兩者重合。將方程式(11)帶入方程式(9)并積分，有

(12)

若將方程式(12)等號右端的第二項看做彈道軌跡曲率的控制方程，則uF可以看做是該控制方程的比例因子。

對方程式(9)進行泰勒展開并忽略高階項有

(13)

代入方程(12)并積分有

(14)

令方程式(14)中的uF為零，得到導彈僅在比例導引法下飛行時間的估算公式如下：

(15)

解方程式(15)，可求出附加控制項uF的解析形式為

(16)

其中s(·)為符號函數

(17)

(18)

由方程式(11)和式(16)可以得到制導指令aM的最優解

(19)

3 數值仿真和驗證

3.1 剩余飛行時間估算精度驗證

由式(19)可知，剩余飛行時間估算的估算精度決定著附加控制指令uF準確性，從而影響制導律的性能。為了研究剩余飛行時間估算精度對攻擊時間控制制導律性能的影響，需要對不同剩余飛行時間算法的估算精度進行比較。

為獲得較為精度的剩余飛行時間估算精度，將式(9)進行高階泰勒展開，代入式(12)并令uF為零進行積分，所得高階剩余飛行時間估算公式如下：

(20)

為驗證式(20)的估算精度，在N=3,R=10 000 m，VM=300 m/s,φ0=90°的條件下，取式(20)的不同階次解與文獻[10]所提出的剩余飛行時間估算方法:

(21)

所得結果如圖2所示，圖2中，實際值指實際的剩余飛行時間，二階、四階分別指式(20)取二階和四階的估算值。

由圖3可知，隨著制導過程中前置角φ的減小，式(20)的二階、四階估算精度提高，且階數越高，精度越好。而文獻[10]的估算方法在整個制導過程中估算精度都較好。

3.2 制導律性能分析

為便于研究評價本攻擊時間控制制導律，引入以下評價指標：控制能量J；加速度極值AM；前置角極值ΦM。分別用于表征制導過程中控制導彈所需能量，最大過載以及導彈彈道曲率。

在N=3,R=1 000 m,VM=300 m/s,γ=0°的條件下，分別對不同初始前置角φ0和不同控制時間td進行數值仿真，所得結果如表1所示。表中，PNG指比例導引法，二階、四階和文獻10分別指用式(20)的二階解、四階解以及文獻[10]的剩余飛行時間估算方法為基礎的攻擊時間控制導律，tf指導彈的實際飛行時間，無控制導指沒有進行攻擊時間控制的制導。

表1 不同條件下制導律的仿真結果

對比表1中的第3和第4、第7和第8以及第11和第12可知，當所需攻擊時間td確定之后，初始前置角的增加將減少所需的控制能量以及制導過程中的最大過載。對比第1和第2僅由比例導引法制導的tf可知，這是由于初始前置角的增加使得攻擊時間誤差減小。對比表中的第4、第5、第6和第8、第9、第10以及第12、第13、第14這3組相同剩余飛行時間估算精度下的攻擊時間可控范圍，可以發現，剩余飛行時間估算精度越高，攻擊時間可控范圍越大，當剩余飛行時間估算精度不足時，將導致攻擊時間控制失敗，即導彈的實際飛行時間與所需控制的攻擊時間不等(如第5、第6和第10)。對比表中第3、第7、第11和第4、第8、第12這兩組不同剩余飛行時間估算精度下的性能評價指標可以發現，在攻擊時間控制制導過程中，較為準確的剩余飛行時間估算精度所需的最大過載較小，導彈彈道曲率較小，但所需的控制能量相對較大。

圖4～圖7是第3和第11兩種不同剩余飛行時間估算精度下的攻擊時間控制制導律與相同條件下的比例導引法(第1)的制導過程中彈目連線距離、加速度指令、前置角變化以及攻擊時間估算誤差對比圖。

由圖4可知傳統的比例導引法無法實現攻擊時間的控制，本文所研究的攻擊時間控制制導律能夠較好的實現攻擊時間的控制；對比圖5和圖6不同剩余飛行時間估算精度下的攻擊時間控制制導過程中的前置角以及加速度變化指令可知較好的剩余飛行時間估算精度下，其制導過程中的導引彈道的曲率越小，所需最大過載越小。對比圖6和圖7可知，在文獻[10]估算精度下的攻擊時間誤差趨向于零的速度比二階估算精度下的要慢。這是因為較好的剩余飛行時間估算精度下，制導過程的攻擊時間誤差較為精確，導致制導過程中前期二階的加速度較文獻[10]的要小，而中期比文獻[10]的加速度要大，從而攻擊時間誤差更快的趨向于零。這也是表1中相同控制條件下，剩余飛行時間估算較為準確所需的控制能量較多的原因。

4 結論

1) 攻擊時間控制制導律的原理是通過附加一個與攻擊時間誤差和剩余飛行時間估算精度有關的控制指令uF改變基準彈道的曲率以形成新的彈道軌跡，從而實現攻擊時間的控制；

2) 在相同參數條件下，剩余飛行時間的估算精度決定了在攻擊時間控制制導律的攻擊時間可控范圍；

3) 當剩余飛行時間的估算精度越高，制導過程中的加速度極值和前置角極值越小，則所生成導引彈道的性能也越好，所需的控制能量相對較大。

[1] 馬國欣,張友安.帶有導引頭視場限制的攻擊時間控制導引律[J].彈道學報,2013,25(2):6-11.

[2] 楊哲,林德福,王輝.帶視場角限制的攻擊時間控制制導律[J].系統工程與電子技術,2016,38(9):2122-2128.

[3] CHO N,KIM Y.Modified Pure Proportional Navigation Guidance Law for Impact Time Control[J].Journal of Guidance Control & Dynamics,2016,39(4):1-21.

[4] JEON I S,LEE J I,TAHK M J.Homing Guidance Law for Cooperative Attack of Multiple Missiles[J].Journal of Guidance Control & Dynamics,2010,33(1):275-280.

[5] JEON I S，LEE J I，TAHK，M.Impact-Time-Control Guidance with Generalized Proportional Navigation Based on Nonlinear Formulation[J].Journal of Guidance Control & Dynamics，2016，39(8)：1887-1892.

[6] 錢杏芳,趙雅男.導彈飛行力學[M].北京：北京理工大學出版社,2012.

[7] ZARCHAN P.Tactical and strategic missile guidance[M].Progress in Astronautics and Aeronautics,6th ed.AIAA,Reston,VA,2012:13-34.

[8] BRYSON A E,JR,HO Y C,Applied Optimal Control,Hemisphere[M].New York,1975:198-241.

[9] JEON I S,LEE J I.Optimality of Proportional Navigation Based on Nonlinear Formulation[J].IEEE Transactions on Aerospace & Electronic Systems,2010,46(4):2051-2055.

[10] 陳升富,常思江.比例導引法中剩余飛行時間的計算方法[J].彈道學報,2017,29(3):14-19.