一類完全三階邊值問題的上下解方法

李嫣紅, 李永祥

(西北師范大學 數學與統計學院, 甘肅 蘭州 730070)

討論完全三階非線性邊值問題(BVP)

(1)

解的存在性與唯一性,其中f:I×R3→R連續,I=[0,1].

三階常微分方程邊值問題在應用數學和物理學等領域有著重要的應用[1-3],可用來描述電磁波、重力流、三層梁、地球引力吹積的漲潮以及帶有固定或變化橫截面的彎曲橫梁的撓度等實際問題.近年來,人們通過相關問題的研究,得到了多種非線性分析的工具和方法,如打靶法[3]、拓撲度方法[4]、上下解方法[5]及單調迭代技巧[6]等.特別地,其解的存在性與唯一性受到了許多學者的關注[6-14].

文獻[9-11]分別運用Krasnoselskii不動點定理、不動點指數理論和Leray-Schauder度理論,獲得了(1)式非線性項不含導數項的簡單三階邊值問題解的存在性結果;文獻[13]運用錐拉伸與錐壓縮型的Krasnoselskii不動點定理,獲得了(1)式非線性項含一階導數項問題解的存在性結果;對非線性項同時含一二階導數項的一般情形,文獻[6,14]分別運用單調迭代方法和Leray-Schauder非線性抉擇討論了解的存在性.但未見對更一般的三階BVP(1)解的唯一性的研究.

鑒于上述文獻中所提到的方法都不能處理二階導數項問題.受文獻[15]的啟發,給出解的二階導數的有界估計,并對BVP(1)解的存在性與唯一性做討論.本文在提出一個恰當的Nagumo條件來限制f關于z增長的情形下,運用一個特殊的截斷技巧、Leray-Schauder不動點定理及上下解方法,獲得BVP(1)解的存在性,并在解存在的基礎上,借助微分中值定理,獲得了BVP(1)解的唯一性.

為了敘述方便,需引入以下條件.

(H1) 存在[0,+∞)上的正值連續函數h(ρ)滿足

(2)

|f(t,x,y,z)|≤h(|z|),t∈I,α(t)≤x≤β(t),
α′(t)≤y≤β′(t),z∈R;

(3)

(H2) 當α(t)≤x≤β(t),(t,y,z)∈I×R2時,

f(t,α(t),y,z)≤f(t,x,y,z)≤f(t,β(t),y,z),

?t∈I;

(H3) 對?(t,x,y,z)∈I×R3,有

fx(t,x,y,z)+fy(t,x,y,z)<0.

(4)

本文的主要結果如下.

定理1.1設f:I×R3→R連續.BVP(1)存在下解α(t)及上解β(t),滿足α′(t)≤β′(t).若f滿足條件(H1)和(H2),則BVP(1)至少存在一個解u(t)∈C3(I),滿足

α(t)≤u(t)≤β(t),

α′(t)≤u′(t)≤β′(t).

定理1.2設f:I×R3→R連續.α(t)、β(t)分別是BVP(1)的下解和上解.若f在I×R3上關于變量t、x、y、z連續可微,且滿足條件(H1)～(H3),則BVP(1)有唯一解u(t)∈C3(I),滿足

α(t)≤u(t)≤β(t),

α′(t)≤u′(t)≤β′(t).

1 準備工作

定義1設α(t)∈C3(I),若α(t)滿足

(5)

則稱α(t)為BVP(1)的下解.若(5)式均取反向,則稱α(t)為上解.

對?h∈C(I),BVP(1)相應的線性邊值問題(LBVP)

(6)

存在唯一解u∈C3(I),即

(7)

其中

(8)

為相應的Green函數,則解算子S:C(I)→C3(I)為線性有界算子.由嵌入C3(I)→C2(I)的緊性,則S:C(I)→C2(I)是線性全連續算子.

為完成定理1.1的證明,需要下列解集的‖·‖C估計.

證明對?t∈I,有

因此

引理1.2設f:I×R3→R連續.若存在常數a,b,c,d≥0,滿足a+b+c<1及d>0,使得f滿足條件:

1) |f(t,x,y,z)|≤a|x|+b|y|+c|z|+d,t∈I,x,y,z∈R;

2) |f(t,x2,y2,z2)-f(t,x1,y1,z1)|≤a|x2-x1|+b|y2-y1|+c|z2-z1|,t∈I,x2,x1,y2,y1,z2,z1∈R,

則BVP(1)存在唯一解.

證明存在性 設f:I×R3→R連續.對?u∈C2(I),令

F(u(t))=f(t,u(t),u′(t),u″(t)),t∈I,

(9)

則F:C2(I)→C(I)連續,把有界集映為有界集.定義映射A:C2(I)→C2(I),

A=S°F.

由S:C(I)→C2(I)的全連續性,A:C2(I)→C2(I)為全連續映射.按S的定義,BVP(1)的解等價于A的不動點.對A應用Leray-Schauder不動點定理.考慮方程簇

u=λAu, 0<λ<1.

(10)

下證方程(10)的解集在C2(I)中有界[16].

設u∈C3(I)為某個λ∈(0,1)相應的方程(10)的解,則u=λAu=S(λF(u)).按S的定義,u為h=λ(F(u))相應的LBVP(6)的解,因此u∈C3(I)滿足

(11)

由條件1),有

|u?(t)|≤λ|f(t,u(t),u′(t),u″(t))|≤
a|u(t)|+b|u′(t)|+c|u″(t)|+d,

方程兩邊取‖·‖C,由引理1.1,有

因為

唯一性 設u1,u2∈C3(I)為BVP(1)的解.令u=u2-u1,則由方程(1),有

因u∈C3(I)為h(t)相應的LBVP(6)的解,由條件2)及引理1.1有

則u≡0,即u1=u2,因此,BVP(1)有唯一解.

2 主要結果的證明

定理1.1的證明由條件(H1),?M>0,使得

(12)

取常數N=M+‖β‖C2+‖α‖C2+1,令

(13)

(14)

(15)

作f(t,x,y,z)的截斷函數

(16)

有

|f*(t,x,y,z)|≤

‖α‖C+‖β‖C,|y|≤

則f*:I×R3→R連續有界.因此,由引理1.2,修改了的邊值問題

(17)

有解u0(t)∈C3(I),下證u0(t)為BVP(1)的解.

1) 若t0∈(0,1),則u″(t0)=0,u?(t0)≤0,即

u?0(t0)≤β?(t0).

(18)

根據截斷函數的定義,條件(H2)及(18)式有

f(t0,η1(t0,u0(t0)),β′(t0),[β″(t0)]N)-

f(t0,β(t0),β′(t0),β″(t0))-

f(t0,β(t0),β′(t0),β″(t0))≤-β?(t0),

即u?0(t0)>β?(t0),與(18)式后一不等式矛盾!故t0?(0,1).

2) 若t0=0,則

(19)

3) 若t0=1,則u″(1)=u″(1-)≥0,即

(20)

又

由P的定義及中值定理,則存在t0∈(0,1),使得

下證情形1),其他情形類似可證.當1)成立時,根據上述證明及條件(H1),有

(21)

即

與(12)式矛盾! 故

綜上所得,f*=f,即u0(t)為BVP(1)的解.

定理1.2的證明由定理1.1,BVP(1)至少存在一解,下證唯一性.

設u1、u2∈C3(I)都為BVP(1)的解,記u(t)=u1(t)-u2(t).由微分中值定理,u(t)∈C3(I)為方程

(22)

u″(t*)=0,u?(t*)≤0,

(23)

(24)

由a(t*)≥0,(24)及(4)式,有

-u?(t*)=a(t*)u(t*)+b(t*)u′(t*)+
c(t*)u″(t*)=

a(t*)u(t*)+Kb(t*)≤

a(t*)|u(t*)|+Kb(t*)≤

K(a(t*)+b(t*))<0,

由

即u≡0,因此BVP(1)有唯一解.

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