生化反應中一類p+q次多項式微分系統的閉軌不存在性

孫志陽, 馮世林, 何志蓉

(四川大學 數學學院, 四川 成都 610064)

1 引言及預備知識

以下是一類描述p+q分子反應的生化反應模型

它可被描述為以下微分方程[1]:

(1)

其中,x,y≥0,參數a≥0,b>0,p、q為整數且p,q≥1.

當a=0時,文獻[2-4]分別對p=1,q=2及p=1,q≥3的情況討論了極限環的存在性、唯一性及不存在性;文獻[5]則研究了p≥1,q=2時Hopf分岔產生閉軌及p≥2,q=2時閉軌的不存在性;文獻[6]討論了p≥1,q≥2時閉軌的存在性及全局結構,及p≥2,q≥2時閉軌的不存在性.

類似文獻[7]里對Brusselator模型的研究,a≠0也是很重要的.當a≥0,b>0時,文獻[8]對p=1,q=2時的分支做了討論,得出閉軌的存在及不存在的條件;文獻[9-10]考慮了更一般的模型:

研究了其穩定性及極限環的存在性(其中V(x,y)對非負的x,y是有界實值函數);文獻[1]則對系統(1)(其中xpyq顯然無界)中一般的p、q討論了平衡點的性質、鞍結分岔及Hopf分岔產生極限環;文獻[11-12]對一般的p、q分別分析了Bogdanov-Takens[13]分岔及無窮遠點情況.

本文討論了系統(1)關于a≥0,b>0的情形,對一般的p、q進行了分析,討論了閉軌不存在的充分條件.

2 閉軌的不存在性

為了方便討論,定義如下3個集合.

定義1Κ={(a,b)|a≥0,b>0,a≥(q-1)b},

Μ={(a,b)|a≥0,b>0,a<(q-1)b},

Λ={(a,b)|a≥0,b>0,a<(q-1)b，

其中

H=(p-1)p+q-1pp+q(p+q-1)-(p+q-1)×

(p+2q-1)p+2q-1.

定理1(i) 對任意的正整數p=1,q≥3,若(a,b)∈Κ,則系統(1)無閉軌;若(a,b)∈Μ,則系統(1)在區域

上無閉軌.

(ii) 對任意的正整數p,q≥2,若(a,b)∈Κ或(a,b)∈Λ,則系統(1)無閉軌.

證明用Dulac判據[14-15]來考慮閉軌不存在性.選擇Dulac函數B(x,y)=y-q,則

-pxp-1+((q-1)b-a)y-q.

(2)

當p=1時,(2)式化為

div(PB,QB)=((q-1)b-a)y-q-1.

首先,若(q-1)b-a≤0,因為y≥0,所以div(PB,QB)<0,由Dulac判據,當(a,b)∈Κ={(a,b)|a≥0,b>0,a≥(q-1)b}時,系統(1)在{(x,y)|x≥0,y≥0}內無閉軌.其次,若(q-1)b-a>0,考慮曲線Φ:((q-1)b-a)y-q-1=0,即y=((q-1)b-a)1/q,在其上div(PB,QB)=0.此時,由Dulac判據,系統(1)在區域{(x,y)|x≥0,y≥0,y<((q-1)b-a)1/q}∪{(x,y)|x≥0,y≥0,y>((q-1)b-a)1/q}內無閉軌.(i)得證.

當p≥2時,同上知(a,b)∈Κ={(a,b)|a≥0,b>0,a≥(q-1)b}時,系統(1)在{(x,y)|x≥0,y≥0}內無閉軌.下面考慮(q-1)b-a>0.考慮曲線Γ:-pxp-1+((q-1)b-a)y-q=0,即

在其上div(PB,QB)=0.如果系統(1)有一條閉軌γ,由Dulac判據,我們斷言γ∩Γ={A,B}≠?.設A、B是2個交點,則向量場(P,Q)在A和B分別指向Γ的兩邊.由向量場的連續性,在曲線Γ的弧線段AB上存在一點S,使得曲線在S的切向量與S處的向量場一致,即

上式可寫為

(3)

簡化上式得

(4)

其中

為了簡化方程,令z=y-1/(p-1),則方程(4)可寫為D(z)=0,其中

D(z)=Azp+2q-1+Bzq+C.

(5)

當p是偶數時,有D(0)<0,D(+)<0;當p是奇數時,有D(-)<0,D(+)<0.計算D(z)的導數,得D′(z)=k1zp+2q-2+k2zq-1,其中

k1=-qp-1/(p-1)(p+2q-1)bcp/(p-1)<0,

k2=q(pqb+(p-1)(pa+c))>0.

顯然,D′(z)有唯一的正實零解

(6)

計算D(z)在z0的二階導得

這表示了z0是D(z)的極大值點.因此,若D(z0)<0,則(3)式無解.于是尋找在什么參數條件下,會有D(z0)<0.將(6)式代入(5)式得

(7)

化簡(7)式得

D(z0)=T{(((2p-1)(q-1)+p)b+

其中

因此,當(a,b)∈Λ(Λ見定義1)時,有D(z0)<0.實際上,Λ是非空的,因為取b=0.1,a=0.01,p=2,q=2時滿足不等式D(z0)<0.這暗示(1)式對任意的(a,b)∈Λ無閉軌.(ii)得證.定理證畢.

特別地,取a=0,則D(z0)<0可化為

這即是文獻[6]中定理2結論之一.

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