含多個非線性項的Gronwall-Bellman 型非連續函數積分不等式的推廣

李自尊

(1. 四川大學 數學學院, 四川 成都 610064; 2. 百色學院 數學與統計學院, 廣西 百色 533000)

積分不等式是研究微分方程和積分方程的重要工具.通過對積分不等式中未知函數的估計,可以研究某些微分方程解的存在性、唯一性、有界性和穩定性等定性性質[1-3].通過對非連續函數積分不等式中未知函數進行估計,可以研究某些脈沖微分方程解的一些性質[4-16].2007年Iovane[4]研究了非連續函數積分不等式

其中,a(t)>0,q(t)≥1,f(t)≥0,g(t)≥0,βi≥0.2013年嚴勇[5]研究了含有時滯的脈沖積分不等式

2015年米玉珍等[6]研究了含有未知函數復合的積分不等式

其中,w(u)是定義在[0,∞)上的單調不減連續函數且當u>0時,w(u)>0.

本文在上述研究的基礎上，研究了一類含三項未知函數復合的非連續函數積分不等式

(*)

1 主要結果

假設

(H1)φ在[0,∞)上是嚴格單增的連續函數,對任意u>0,ψ(u)>0;

(H3)a(t)是定義在[t0,∞)上的連續函數,a(t0)≠0;

(H4)fi(t,s)(i=1,2)、f(t,s)和g(s,t)是定義在[t0,∞)×[t0,∞)上的非負連續函數;

(H5)βi≥0是常數.

?t∈[ti,ti+1),

其中

j=2,3, ?t∈[t0,t1),

Ei(t)=e1(t)+

βk(φ(u(ti-1))),

?t∈[ti,ti+1),i=1,2,…,

?t∈[ti,ti+1),i=1,2,…

j=2,3, ?t∈[ti,ti+1).

證明令

(1)

由f(t,s)、g(t,s)和w(u(t))都是連續函數得

(2)

由(1)和(2)式,則(*)式變為

(3)

首先,考慮情況t∈[t0,t1),任意取定T∈[t0,t1),對于任意的t∈[t0,T],由(3)式得

φ(u(t))≤e1(t)+

(4)

令

則v(x)為非負不減的連續函數,且

φ(u(t))≤v(t),u(t)≤φ-1(v(t)),

v(t0)=e1(t0).

對(5)式求導可得

(6)

令

(7)

則

是不減的.由(6)和(7)式可得

(8)

從t0到t積分(8)式的兩邊,并利用Wi(t)的定義得到

W1(v(t))-W1(v(t0))≤

(9)

令

θ1(t)=W1(v(t)),

(10)

(11)

由(10)和(11)式,則(9)式變為

θ1(t)≤e2(t)+

令

v1(t)=e2(t)+

則v1(t)在[t0,t1)上是連續不減的函數,且θ1(t)≤v1(t),v1(t0)=e2(t0).

定義函數

i=1,2,

(13)

則

對(14)式的兩邊從t0到t積分,得到

(15)

由(7)、(13)和(15)式可得

Φ2(v1(t))-Φ2(v1(t0))≤

(16)

由(16)式可得

(17)

由(13)式可以推出

(18)

由(17)和(18)式可變為

(19)

令

(20)

θ2(t)≤e3(t)+

令

v2(t)=e3(t)+

則v2(t)在[t0,t1)上是連續不減函數,且θ2(t)≤v2(t),v2(t0)=ρ2(t0).對v2(t)求導可得

由(23)式可得

對(24)式的兩端從t0到t積分得

Φ3(v2(t))-Φ3(v2(t0))≤

則由(25)式可得

由(18)和(26)式可推出

(27)

由(5)、(10)和(20)式推出

(28)

所以可得

u(t)≤φ-1(v(t))≤

其中

由T的任意性可得

u(t)≤φ-1(v(t))≤

即當t∈[t0,t1)時證明了估計式.

當t∈[t1,t2)時,任意取T1∈[t1,t2),當t∈[t1,T1]時,不等式(3)變為

β1φ(u(t1-0))≤

β1φ(u(t1-0)).

(29)

令Γ(t)表示(29)式的右邊,

E1(t)=e1(t)+

則Γ(t)是單調不減函數,且有

φ(u(t))≤Γ(t),

φ(u(t1))≤Γ(t1)=E1(t1)=

β1φ(u(t1-0)).

(30)

Γ(t)兩邊關于t求導得

(31)

(31)式兩邊同時除以w1(φ-1(Γ(t)))可得

(32)

(32)式兩邊從t1到t積分可得

W1(Γ(t))-W1(Γ(t1))≤

則

(33)

(33)式變為(9)式的形式,利用相同的方法可以得到估計式

?t∈[t1,t).

同理,對任意自然數k,當t∈[tk,tk+1)時,可以得到未知函數的估計式

?t∈[tk,tk+1).

綜上定理得證.

3 在脈沖微分方程中的應用

本節用得到的結果給出脈沖微分系統解的上界估計.考慮脈沖微分系統

Δ(x)|t=ti=βix(ti-0),x(t0)=c,

(35)

|F(t,x)|≤f(t)|xm|+

g(t)|x|ln|x|+h(t)e|x|,

(36)

其中,f(t)、g(t)和h(t)是[t0,∞)上連續的非負函數，0

推論1在條件(36)成立的情況下,系統(34)和(35)所有的解x(t)滿足估計式

?t∈[ti,ti+1),

(37)

其中

Ei(t)=c+

βk(φ(u(ti-1))),

?t∈[ti,ti+1),i=1,2,…

j=2,3, ?t∈[t0,t1),

?t∈[ti,ti+1),i=1,2,…

j=2,3, ?t∈[ti,ti+1).

(38)

證明脈沖微分方程(34)與(35)等價于積分方程

(39)

利用條件(36),由(39)式可得

(40)

令u(t)=|x(t)|,由(40)式可得不等式

(41)

令w1(u)=um,w2(u)=uln(u),w3(u)=eu,看出(41)式是(3)式的特殊形式,且(41)式中的函數滿足定理1的條件.由定理1可以推出x(t)的估計式(37).

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