切比雪夫不等式及其應用

何志華

(成都大學，四川 成都 610106)

大數定律，即隨機事件的大量重復出現中呈現的一種必然趨勢規律。后來泊松在其基礎上提出了新的陳述和理論。通俗地說，這個定理是在恒定實驗條件下，大量試驗，隨機事件的頻率與概率幾乎相同。

切比雪夫大數定律三條定理之一可描述為：當N個數量的期望值及其各自平方的期望值不超過給定值的值時，此N個量的算術平均數和數學期望值的算術平均值之差不小于給定概率，當N趨于無窮大時，其值趨于1。用現在的符號表達且比雪夫大數定律，有：設X1，X2，…，Xn，…是相互獨立的隨機變量序列，數學期望E(Xi)和方差D(Xi)同時存在(i=1，2，…)，且D(Xi)0，有：

一、切比雪夫不等式

上述定理需利用切比雪夫不等式來推導，假設X1，X2，…，Xn，…是相互獨立的且不相關的隨機變量序列，并且都存在方差，則對于任何ε>0，有：

可以看出這就是切比雪夫不等式。

二、切比雪夫不等式的應用

1.大數定律的推導依據。作為概率論極限理論的研究基礎，切比雪夫大數定律和切比雪夫不等式的地位是眾所周知的。首先，利用切比雪夫不等式推導出切比雪夫大數定律，可以說切比雪夫不等式也是其他大數定律的理論研究依據和關鍵手段，后續數學家們的研究將切比雪夫的研究推向更高地位。

2.在生活中概率事件的應用。關于切比雪夫不等式的應用，目前沒有合理的摘要。任何一個隨機變量，幾乎所有的值都是將接近“平均”。在概率論中,切比雪夫不等式是對事件的上下界的估計。切比雪夫不等式的有限形式多用于代數中。例如在積分形式和微分形式中，可用于解決困難的積分不等式情況。其推廣式在概率論中的應用、在生活中的小概率事件中的應用也較為廣泛。且切比雪夫多項式一直是研究熱點，其良好的特性，如正交性、奇偶性、有界性、完備性。對其應用產生的恒等式，得到一些積和式，對其推導也有新的遞推式，其中切比雪夫多項式在各項研究應用廣泛。

3.利用切比雪夫多項式可構造一系列切比雪夫矩陣,切比雪夫-范德蒙矩陣(切-范矩陣)的相關矩陣(廣義切-范矩陣),等差型切比雪夫矩陣；可用來研究一元切-范導數矩陣、二元切-范偏導數矩陣、跨行切-范矩陣這三類廣義切-范矩陣與范德蒙矩陣及廣義切比雪夫多項式。國內外眾多學者應用切比雪夫譜方法研究數值分析等應用。

首先，引入Markov不等式的介紹：假設XX是一個不小于0的隨機變量，則：P(X>a)≤E(X)aP(X>a)≤E(X)a

此不等式僅僅通過使用隨機變量的期望E(X)就給出了分布的概率范圍，但是顯然，該不等式被過度放大了，并不能提供正確的信息。進一步證明，就能夠得到切比雪夫不等式

切比雪夫定理推論：X1，X2，…，Xn，…是相互獨立的隨機變量序列，數學期望E(Xi)=μ和方差D(Xi)=σ2(i=1，2，…)，則對任意給定的ε>0，有

上式表明，當n足夠大時，把n次測量結果的算術平均值作為a的近似值，所產生的誤差是十分小的，具有一定的實際意義。

對于服從參數為p的0-1分布的隨機變量X1，X2，…，Xn，…，顯然DX(i)=p(1-p)<0.25(i=1,2,3,4,……),它符合服從切比雪夫大數定律的條件。

三、總結

綜上，經過學者的研究，大數定律體系的發展已經很完備，也出現了更廣泛的大數定律，生活中大多數概率事件都與大數定律、切比雪夫不等式相關，其應用于社會和工業生產，為人類的研究奠基。

[1]徐鳳林.Chebyshev不等式的應用[J].北京石油化工學院學報,2011,10(3):10-12.

[2]甘大旺.切比雪夫不等式及兩個推論[J].數字通訊,2016,12(2):59-61.

[3]林正炎，白志東.概率不等式[M].北京：科學出版社,2001.