例談排列組合中的典型問題與方法

■廣東省興寧市第一中學 藍云波 劉宇峰

排列組合是高考的熱點,也是學好概率的基礎。以排列組合為考點的考題融知識性、方法性、應用性、趣味性于一體,且題型新穎、方法靈活,因此不少同學感到困難。基于此,下面從題型與方法入手,通過典型例題總結出求解排列組合問題的常見解題方法和策略,以幫助同學們提高學習效率,達到舉一反三的效果。

一、兩個計數原理的運用

分類加法計數原理是每類做法中的每一種方法都能完成這件事情,類與類之間是獨立的。分步乘法計數原理是每步中的某一種方法只是完成這件事的一部分,而未完成這件事,步與步之間是相關聯的。

例1 (1)現有4種不同顏色的染料,給如圖1的4個不同區域染色,每個區域只染1種顏色,相鄰區域染不同的顏色,不同顏色可重復使用,則共有 種不同的染色方法。(用數字作答)

(2)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊5個人玩搶紅包游戲,現有4個紅包,每人最多搶1個,且紅包被全部搶完,4個紅包中有2個2元,1個3元,1個4元(紅包中金額相同視為相同紅包),則甲、乙都搶到紅包的情況有 種。

圖1

解析:(1)第一類:只用2種色(即中間三角形染一種顏色,另外三個弓形染同一種顏色),有A24種方法;第二類:用3種色(中間一種顏色,另三個弓形有兩個染同一種顏色,余下一個染第3種顏色),有種方法;第三類:用4種色,有種方法。

故共有=108(種)方法。

(2)當甲、乙都搶到2元時,有=6(種)方法;當甲、乙搶到2元和3元時,有=12(種)方法;當甲、乙搶到2元和4元時,有=12(種)方法;當甲、乙搶到3元和4元時,有=6(種)方法。故甲、乙都搶到紅包的情況有6+12+12+6=36(種)。

點評:合理分類與準確分步是運用計數原理正確解答排列組合問題的第一步。在解決含有約束條件的排列組合問題時,應該按照元素性質有計劃地分類,按事情發生的過程分步。

【變式訓練1】(1)將4本完全相同的小說,1本詩集全部分給4名同學,每名同學至少1本書,則不同分法有( )。

A.24種 B.28種

C.32種 D.16種

(2)某大學的8名同學準備拼車去旅游,其中大一、大二、大三、大四每個年級各2名,分乘甲、乙兩輛汽車,每車限坐4名同學(乘同一輛車的4名同學不考慮位置),其中大一的孿生姐妹需乘同一輛車,則乘坐甲車的4名同學中恰有2名同學是來自同一年級的乘坐方式共有( )。

A.24種 B.18種

C.48種 D.36種

解析:(1)由題意得,每名同學至少1本書,可分為兩類方法:第一類是每名同學先各分得1本小說,再把1本詩集分給其中一名同學,共有C14=4(種)分法;第二類是把詩集單獨分給一名同學,2本相同的小說分給另一名同學,共有A24=12(種)分法,此時共有4+12=16(種)分法,故選D。

(2)分類討論,有兩種情形:①孿生姐妹乘坐甲車 ,則=12;②孿生姐妹不乘坐甲車,則=12。因此,共有12+12=24(種)坐法。故選A。

二、特殊位置（元素）優先法

特殊位置或元素優先法是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法,若以元素分析為主,需先安排特殊元素,再處理其他元素。若以位置分析為主,需先滿足特殊位置的要求,再處理其他位置。若有多個約束條件,往往是考慮一個約束條件的同時還要兼顧其他條件。

例2 (1)用數字1,2,3,4,5組成沒有重復數字的五位數,其中奇數的個數為( )。

A.24 B.48 C.60 D.72

(2)6位互聯網大咖參加在烏鎮舉辦的第二屆世界互聯網大會時從左至右排成一排合影留念,若最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,則不同的排法共有____種。

解析:(1)由題意知,要組成沒有重復的五位奇數,則個位數應該為1、3、5中之一,其他4個位置隨便排共A44種可能,所以奇數的個數為3A44=72,故選D。

(2)由于甲和乙比較特殊,故可優先排甲和乙,依題意可分成兩類:甲在最左端或乙在最左端。第一類甲在最左端,有A55=120(種)排法;第二類乙在最左端,有=96(種)排法,所以共有120+96=216(種)排法。

點評:對于有附加條件的排列組合問題,一般優先考慮特殊的元素或位置。針對元素的特殊位置進行分析,需要條理清晰,并考慮周全。

【變式訓練2】用數字0,1,2,3,4,5組成沒有重復數字的五位數,其中比40000大的偶數共有( )。

A.144個 B.120個

C.96個 D.72個

解析:萬位不能為0,位置比較特殊,故可先排萬位,根據題意知萬位上只能排4或5。若萬位上排4,則有2×A34個偶數;若萬位上排5,則有3×A34個偶數。所以共有2×A34+3×A34=120(個)偶數,故選B。

三、正難則反間接法

有些排列組合問題,正面考慮比較復雜,而它的反面比較簡捷,可先求出它的反面,再從整體中淘汰。

例3 (1)甲乙兩人從4門課程中各選修2門,則甲乙所選的課程中至少有1門不相同的選法共有( )。

A.30種 B.36種

C.60種 D.72種

(2)安排甲、乙、丙、丁4位教師參加星期一至星期六的值日工作,每天安排1人,甲、乙、丙每人安排1天,丁安排3天,并且丁至少要有2天連續安排,則不同的安排方法種數為( )。

A.72 B.96 C.120 D.156

解析:(1)因為甲乙兩人從4門課程中各選修2門,有種選法,其中甲乙所選的課程完全相同的選法有種,所以甲乙所選的課程中至少有1門不相同的選法共有=30(種),故選A。

(2)可用間接法,若甲、乙、丙每人安排1天,丁安排3天,有=120(種)安排方法;若甲、乙、丙每人安排1天,丁安排3天,并且丁3天值日且沒有連續值日的安排種數為=24。則不同的安排方法種數為120-24=96,故選B。

點評:辯證思維就是正難則反,變靜為動,從而化難為易。如果不符合條件的元素較少而且較易選出來,宜采用間接法。

【變式訓練3】(1)在報名的5名男生和4名女生中,選取5人參加志愿者服務,要求男生、女生都有,則不同的選取方式的種數為____。(結果用數值表示)

(2)學校計劃利用周五下午第一、第二、第三節課舉辦語文、數學、英語、理綜4科的專題講座,每科一節課,每節至少有一科,且數學、理綜不安排在同一節,則不同的安排方法共有( )

A.36種 B.30種

C.24種 D.6種

解析:(1)從這報名的5名男生和4名女生中,選取5人參加志愿者服務共有C59=126(種)方法,這些方法中只有男生的選取方法種數為=1。因為女生只有4名,所以不可能選取的學生都是女生。故在報名的5名男生和4名女生中,選取5人參加志愿者服務,要求男生、女生都有,不同的選取方式的種數為126-1=125。

(2)由于每科一節課,每節至少有一科,必有2科在同一節,先從4個中任選2個看作整體,然后做3個元素的全排列,共=36(種)方法,再從中排除數學、理綜安排在同一節的情形,共A33=6(種)方法,故總方法數為36-6=30,故選B。

四、相鄰問題捆綁法

要求某幾個元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法解答,即將需要相鄰的元素合并為一個元素,再與其他元素一起進行排列,同時注意合并元素內部也必須排列。

例4 (1)甲、乙、丙、丁、戊5位同學站成一排照相留念,則在甲、乙相鄰的條件下,甲、丙也相鄰的概率為( )。

(2)含有甲、乙、丙的6位同學站成一排,則甲、乙相鄰且甲、丙2人中間恰有2人的站法的種數為( )。

A.72 B.60 C.32 D.24

解析:(1)5位同學站成一排,甲、乙相鄰排法共有=48(種),而在甲、乙相鄰的條件下,甲、丙也相鄰的排法共有=12(種),所以在甲、乙相鄰的條件下,甲、丙也相

(2)由題知關于甲、乙、丙3人的相對位置共有以下四類站法:乙甲**丙,丙**甲乙,甲乙*丙,丙*乙甲,前兩類在排好這5人后可看作一個整體和剩余1人進行排列,均有種方法,后兩類在排好這4人后可看作一個整體和剩余2人進行排列,均有種方法,所以共有=60(種)方法,故選B。

點評:對于相同類別不可分開的,要先進行捆綁。處理此類問題時一般遵循“先整體,后局部”的原則。

【變式訓練4】(1)甲、乙、丙等5人在參加閱兵慶典后,在天安門廣場排成一排拍照留念,甲和乙必須相鄰的排法有( )種。

A.24 B.48 C.72 D.120

(2)從字母a,b,c,d,e,f中選出4個排成一列,其中一定要選出a和b,并且必須相鄰(a在b的前面),共有( )排列方法。

A.36種 B.72種

C.90種 D.144種

解析:(1)先排甲、乙,共有=2(種)方法,再把甲、乙作為一個整體看成一個元素,與其余3人進行排列,共有=24(種)方法。

故共有2×24=48(種)排法,選B。

(2)分兩步進行:第一步從c,d,e,f中任選2個,有種不同的方法;第二步再將選出的2個字母和a,b排成一列,a,b必須相鄰,有種不同的方法。共有=36(種)不同的方法,故選A。

五、不相鄰問題插空法

在排序問題中,經常涉及某些元素不相鄰問題。解決這類問題,可先將其他元素排好,再將不相鄰元素插空到已排好的元素中。

例5 (1)某班班會準備從甲、乙等7名學生中選派4名學生發言,要求甲、乙2人至少有1人參加,當甲、乙同時參加時,他們兩人的發言順序不能相鄰,那么不同的發言順序的種數為 ( )。

A.360 B.520 C.600 D.720

(2)在高三某班進行的演講比賽中,共有5位選手參加,其中3位女生,2位男生,如果2位男生不能連續出場,且女生甲不能排第一個,那么出場順序的排法種數為____。

解析:(1)甲、乙2人只有1人參加,有=480(種)情況,甲、乙2人都參加可用插空法,有=120(種)方法,共480+120=600(種)方法,選C。

(2)2位男生不能連續出場的排法種數為=72,其中2位男生不能連續出場且女生甲排第一個的排法種數為=12,則2位男生不能連續出場且女生甲不能排第一個的排法種數為72-12=60。

點評:從解題過程可以看出,不相鄰問題是指要求某些元素不能相鄰,由其他元素將其隔開,此類問題可以先將其他元素排好,再將特殊元素插入。

【變式訓練5】(1)某濱海城市原計劃沿一條濱海大道修建7個海邊主題公園,現在由于資金的原因,打算減少2個海邊主題公園,若兩端的海邊主題公園不在調整計劃之列,相鄰的兩個海邊主題公園不能同時調整,則調整方案的種數是( )。

A.12 B.8 C.6 D.4

(2)高三某班課外演講小組有4位男生,3位女生,從中選拔出3位男生和2位女生,然后5人在班內逐個進行演講,則2位女生不連續演講的方式有( )。

A.864種 B.432種

C.288種 D.144種

解析:(1)從7個海邊主題公園中抽走2個與在5個空中插入2個是等價的,故本題可轉化為在原有5個海邊主題公園的基礎上插入2個海邊主題公園,要求不能插在兩端,也不能把兩個海邊主題公園同時插入一處,也就是在5個海邊主題公園的4個空中選2個插入,則方法有=6(種),選C。

(2)從該班課外演講小組中選出3位男生,2位女生,共有=12(種)方法,所選的5人先確定3位男生的順序,共有=6(種)方法,3位男生可形成4個空位,可選出2個空位確定這2位女生的順序,共有=12(種)方法,因此,共有12×6×12=864(種)方法,選A。

六、選排混合先選后排法

排列問題與組合問題混在一起時,應先用組合公式將符合題意元素選出,再應用排列公式進行排列。

例6 (1)從6名女生中選4人參加4×100米接力賽,要求甲、乙2人至少有1人參賽,如果甲、乙2人同時參賽,她們的接力順序就不能相鄰,不同的排法種數為( )。

A.144 B.192 C.228 D.264

(2)某班要從A,B,C,D,E5人中選出3人擔任班委中三種不同的職務,則上屆任職的A,B,C3人都不連任原職務的方法種數為( )。

A.30 B.32 C.36 D.48

解析:(1)若甲、乙只有1人參賽則有=192(種)排法。若甲、乙都參賽,則=72(種)排法。因此,共有192+72=264(種)排法,選D。

(2)共5人,從中選出3人擔任職務,則A,B,C3人至少選中1人,應分三種情況。第一種情況,A,B,C3人都入選,A有2種選擇,余下的B和C只有1種選擇,方法共=2(種)。第二種情況,A,B,C3人只有2人入選,假如選中A,B,先安排A,若A安排的是B原來的職務,則剩余2人隨意安排;若A安排的是C原來的職務,則B只有1種安排方法,因此共有+1)=18(種)方法。第三種情況,A,B,C3人只有1人入選,則D,E必選中,假如選中A,先安排A,有2種選擇,剩下的2人D,E隨意安排,共有=12(種)方法。所以共有2+18+12=32(種)方法,故選B。

點評:從幾類元素中取出符合題意的幾個元素,再安排到一定位置上,可用先選后排的方法。解決這類問題需要同學們不但有扎實的基本功,還要有分析問題和解決問題的能力。

【變式訓練6】某校從8名教師中選派4名教師去4個邊遠地區支教,每地1人,其中甲和乙不能同去,甲與丙同去或者同不去,則不同的選派方案有____種。(用數字作答)

解析:分甲去和甲不去兩類。若甲去,則丙同去,乙不能去,故有=10(種)選法,再安排到四個邊遠地區有=24(種)方法,所以甲去有10×24=240(種)方法;若甲不去,則丙不去,故有=15(種)方法,再安排到四個邊遠山區有=24(種)方法,所以甲不去有15×24=360(種)方法。

因此,共有240+360=600(種)不同的方法。

七、先分組再排列問題

例7 (1)某高校安排5名大學生到4個單位實習,每名大學生去一個單位,每個單位至少安排1名大學生,則不同的安排方法的種數為____。(用數字作答)

(2)某校高三理科實驗班有5名同學報名參加甲,乙,丙三所高校的自主招生考試,每人限報一所高校,若這三所高校中每個學校都至少有1名同學報考,那么這5名同學不同的報考方法種數共有( )。

A.144種 B.150種

C.196種 D.256種

點評:求解這類問題要注意是平均分組還是平均分組分配,還是部分平均分組,特別要關注是否有重復。

【變式訓練7】數學活動小組由12名同學組成,現將這12名同學平均分成4組分別研究4個不同課題,且每組只研究一個課題,并要求每組選出1名組長,則不同的分配方案有( )種。

解析:第一步將12名同學平均分成4組種方法,每組有3人,第二步將這4組分配到4個不同的課題組有A44種方法,第三步每個組選出1名組長有3×3×3×3=34(種)方法,所以共有)不同的分配方案,選B。

八、元素相同隔板法

元素相同的 “至少”類型問題,是一類較為常見的題型,具有一般規律,總結如下:將其轉化為“至少1個”的問題,即將n個相同元素分成m份(n≥m,m、n為正整數),每份至少1個元素,可以用m-1塊隔板,插入n個元素排成一排的n-1個空隙中。

例8 (1)將7個相同的球放入4個不同的盒子中,則每個盒子都有球的放法種數為( )。

A.22 B.25 C.20 D.48

(2)將序號分別為1、2、3、4、5的5張參觀券全部分給4人,每人至少1張,如果分給同一人的2張參觀券連號,那么不同的分法種數是____。

解析:(1)將7個相同的球放入4個不同的盒子,即把7個球分成4組。因為要求每個盒子都有球,所以每個盒子至少放1個球,不妨將7個球擺成一排,中間形成6個空,只需在這6個空中插入3個隔板將它們隔開,即分成4組,不同的插入方法共有C36=20(種),故選C。

(2)將5張券排成一排,插入3塊隔板,這樣確保分成4份并且有2張券連號,則一共有C34種分法,再考慮將這4份分給4個人,則一共有C34A44=96(種)方法。

點評:本例(1)是使用隔板法的基本題型,對于 “至少”的問題利用隔板來構造模型較為方便。本例(2)中5張券分給4人,1人得連號,那么用3個隔板分成4份就可以實現,同時再對4份全排列,本例的參觀券雖是不同的,但在分組的時候可看成相同的以便于分組,故可用隔板法。所以對于較復雜的排列問題可以通過設計另一種情境,構造隔板模型解決問題。

【變式訓練8】有10個三好學生名額,分配給高三年級7個班,每班至少1名,則不同的分配方案種數為____。(用數字作答)

解析:因為10個名額沒有差別,把它們排成一排,相鄰名額之間形成9個空。在9個空中選6個位置插6個隔板,可把名額分成7份,對應地分給7個班級,每一種插隔板方法對應一種分配方法,所以共有C69=84(種)方法。