例析二項式定理中的數學思想

■山東省棗莊市第二中學 李景臣

數學思想始終伴隨在數學學習和研究的過程中,蘊含在每一個知識板塊中,學習數學就是要學習數學的解題思想以及解題方法,它們是數學的靈魂。二項式定理中包含著豐富的數學思想和方法,同學們在學習時,要善于回味、歸納、總結規律,從而提煉出數學思想方法,將知識轉化為能力,使所學知識得以升華。在二項式定理的學習中,以下數學思想方法值得我們關注。

一、構造思想

例1 證明下列等式:

(1)

(2)

分析:此結構形式與二項式展開式相似,因而構造二項式求證。

證明:(1)在二項式定理中,令a=1,b=2,得(1+2)n=·22+…+,化簡后為3n=1++…+,所證等式成立。

點撥:本題(1)用的是賦值法,而(2)用的則是一種構造法,在有關組合恒等式的證明中,常采用這種方法。

二、化歸轉化思想

例2 (1)求(1-x)3(1+x)10的展開式中x5的系數;

(2)x＞0的展開式中的常數項。

分析:本題的兩小題都不是二項式展開式,但可以轉化為二項展開式問題。(1)可以視為兩個二項展開式相乘;(2)可以經過代數式變形轉化為二項式。

解:(1)(1-x)3(1+x)10展開式中的x5可以看成是由下列幾種方式得到,然后合并同類項:用(1-x)3展開式中的常數項乘(1+x)10展開式中的五次項,可以得到用(1-x)3展開式中的一次項乘(1+x)10展開式中的四次項可得到(-3x)·);用(1-x)3展開式中的二次項乘(1+x)10展開式中的三次項可得到3x2·;用(1-x)3展開式中的三次項乘(1+x)10展開式中的x2項可得到-x3·。合并同類項得含x5的項為:它為常數項,則r=6,常數項為C612=924。

點撥:問題(2)中將非二項式通過因式分解化為二項式來解決。

三、分類討論思想

例3 設數列{an}是等比數列,a1=的展開式中的第二項(按x的降冪排列)。

(1)用n,x表示通項an與前n項和Sn;

(2)若,用n,x表示bn。

分析:本題涉及數列、排列、組合、二項式定理等相關知識點。

所以公比q=x。

(2)當x=1時,…+nCnn。

又因為bn=n·

點撥:用倒序相加法及二項展開式解此類問題時不能忽視對字母的討論。

四、放縮法

分析:利用二項展開式解題,注意到展開式的特點,結合放縮法,可以得證。

點撥:二項式定理起到的放縮作用是非常“巧妙”的,往往在一些不等式的證明中起著關鍵的作用,常常利用(1+x)n＞1+C1nx(x＞0)進行放縮。

五、函數與方程思想

例5 已知(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn。

若a1+a2+…+an-1=29-n,求n的值。

解析:a0=1+1+…+1=n,an=1。

令x=1,則:

2+22+23+…+2n=a0+a1+a2+…+an。

則2n+1-n-3=29-n,n=4。

點撥:在二項式定理的應用中,求系數的取值總是列出方程,通過賦值求解,把二項展開式看作x的函數f(x),其系數問題與函數值f(1)的展開式相聯系。

六、整體思想

例6 在一項的系數最大?

分析:解決這類問題應注意二項式系數與項的系數的區別,令Ar,Ar+1分別為展開式的第r項和第r+1項的系數,仿照研究二項式系數的變化規律的方法,我們來研究展開式中各項系數的變化規律。

三、四項的系數最大。

點撥:二項式的通項公式是求某些特定項或二項式系數最大項的有力工具,此處用整體思想考慮問題,觀察{An}的變化規律,做到胸中有全局,方向明確,脈絡清楚,正確求得結果。

七、賦值法

例7 已知前三項系數的和為129,這個展開式中是否含有常數項?一次項?若沒有,請說明理由;若有,請求出來。

分析:本題與展開式中的特定項有關,故可用通項公式解決。另外,本題還是一道探索類問題。

解:因為,r=0,1,2,…,n,所以由題意知=129。結合組合數公式,有1+2n+2n(n-1)=2n2+1=129,所以2n2=128,n2=64。

又n∈N*,所以n=8。因此

若展開式中存在常數項,則72-11r=0,得?N*,所以展開式中不存在常數項。

若展開式中存在一次項,則所以72-11r=6,解得r=6。因此,展開式中存在一次項,它是第7項,T7=C68·26·x=C28·26x=1792x。

點撥:二項式定理主要涉及兩個方面的問題:一方面是展開式中的某項或某項的系數,處理的方法是利用通項公式;另一方面是系數和的問題,處理的方法是賦特殊值法。