高考中二項式定理常見題型解析

■甘肅省白銀市第一中學(xué) 胡貴平

■甘肅省白銀市第一中學(xué) 胡貴平

二項式定理在高考中是最常考的知識,它常以小而靈活的選擇題、填空題的形式出現(xiàn),雖然難度不大,但常考常新,解法靈活,下面通過高考題對二項式定理常見題型進行歸納。

一、求二項展開式的某一項系數(shù)

1.“(a+b)n”型的展開式

點評:(a+b)n展開式的二項式系數(shù)與各項的系數(shù)是兩個不同的概念,前者是指,與a,b無關(guān);后者是指該項除字母以外的部分,各項的系數(shù)不僅與各項的二項式系數(shù)有關(guān),而且也與a,b有關(guān)。

2.“(a+b+c)n”型的展開式

例2 (2015年新課標Ⅰ卷)(x2+x+y)5的展開式中,x5y2的系數(shù)為( )。

A.10 B.20 C.30 D.60

解法一:(x2+x+y)5的5個因式中,2個因式中取x2,剩余的3個因式中1個取x,其余的因式取y,因此x5y2的系數(shù)為C25C13C22=30,故選C。

解法二:(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5,二項展開式通項為yk,令k=2,(x2+x)3的二項展開式通項為Tr+1=,再令6-r=5,得r=1,因此x5y2的系數(shù)為=30,故選C。

點評:(a+b+c)n的展開式中apbqcr的,其中p+q+r=n。因為(a+b+c)n的展開式中的項apbqcr是在n個因式中,p個因式中取a,q個因式中取b,r個因式中取c乘積而得,而p個a,q個b,r個c作成的n個不完全相異元素的全排列數(shù)

3.“(a+b)n(c+d)m”型的展開式

例3 (2013年四川卷)(1+2x)3(1-x)4的展開式中x2的系數(shù)為____。

解:(1+2x)3的展開式的通項為Tk+1=·(2x)k,k=0,1,2,3。

(1-x)4的通項為(-x)r,r=0,1,2,3,4,所以(1+2x)3(1-x)4展開式中的一般項為Ck3·Cr4·2k·(-1)r·xk+r。令k+r=2,得所以展開式中x2的系數(shù)為

點評:(a+b)n(c+d)m的展開式中的一般項為,k=0,1,2,…,n;r=0,1,2,…,m。

4.“(a+b)m+(a+b)m+1+(a+b)m+2+…+(a+b)n”型的展開式

例4 (x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5展開式中,x2的系數(shù)為____。

解法一:由題意知-(x-1)2,(x-1)3,-(x-1)4,(x-1)5展開式中x2的系數(shù)為-C02,-C13,-C24,-C35,所以原式中x2的系數(shù)為-C02-C13-C24-C35=-20。

解法二:由等比數(shù)列求和公式,可得:

點評:(a+b)m+(a+b)m+1+(a+b)m+2+…+(a+b)n可以看作首項是(a+b)m,公比是(a+b)的等比數(shù)列的前n-m+1項和,通過等比數(shù)列求和公式減少項數(shù),簡化運算。

二、求二項展開式的系數(shù)和及相關(guān)題

1.二項展開式的系數(shù)和

例5 (2015年新課標Ⅱ卷)(a+x)·(1+x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為32,則a=。

解:設(shè)(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,展開式中x的奇數(shù)次冪項系數(shù)分別為a1,a3,a5,于是a1+a3+a5=32。當(dāng)x=1時,16(a+1)=a0+a1+a2+a3+a4+a5;當(dāng)x=-1時,0=a0-a1+a2-a3+a4-a5。兩式相減得16(a+1)=2(a1+a3+a5),所以16(a+1)=2×32,解得a=3。

點評:求二項展開式的系數(shù)和差這類題的常用解法是賦值代入,多項式f(x)的各項系數(shù)和為f(1),奇數(shù)項系數(shù)和為

2.二項式系數(shù)的最值

例6 (2013年高考新課標Ⅰ卷)設(shè)m為正整數(shù),(x+y)2m展開式的二項式系數(shù)的最大值為a,(x+y)2m+1展開式的二項式系數(shù)的最大值為b,若13a=7b,則m=( )。

A.5 B.6 C.7 D.8

解:由題意知,由13a=,解得m=6,故選B。

點評:二項式定理中應(yīng)注意區(qū)別二項式系數(shù)與展開式系數(shù),各二項式系數(shù)和為,奇數(shù)項的二項式系數(shù)和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)和相等,即

點評:(a+b)n的二項展開式中,與首末兩項“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等;如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù),中間一項的二項式系數(shù)最大;如果二項式的冪指數(shù)是奇數(shù),中間兩項的二項式系數(shù)相等且最大。

3.二項式系數(shù)和

例7 (2015年湖北卷)已知(1+x)n的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等,則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為( )。

A.212B.211C.210D.29

解:因為(1+x)n的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等,所以,解得n=10。所以二項式(1+x)10中奇數(shù)項的

三、與二項展開式交匯型

例8 (2012年湖北卷)設(shè)a∈Z,且0≤a≤13,若512012+a能被13整除,則a=( )。

A.0 B.1 C.11 D.12

解:512012+a=(52-1)2012+a

由于52含有因數(shù)52,故能被52整除。

要使得512012+a能被13整除,且a∈Z,0≤a≤13,則a+1=13,所以a=12,故選D。

點評:二項式定理的主要應(yīng)用就是近似計算和證明整除性問題或求余數(shù),應(yīng)用首尾幾項進行放縮證明不等式。利用二項式定理處理整除問題時,要巧妙地將非標準的二項式問題化歸到二項式定理的情境上來,變形要有一定的目的,要湊出相關(guān)的因數(shù)。