微生物連續(xù)發(fā)酵過程線性反饋最優(yōu)控制

貝 泓 涵， 張 立 衛(wèi)， 孫 菁

( 大連理工大學 數(shù)學科學學院, 遼寧 大連 116024 )

0 引 言

1,3-丙二醇在化妝品、聚合物、膠黏劑、潤滑劑、藥物等方面有廣泛的應用[1]．目前，生產1,3-丙二醇的方法主要有兩種：化學合成和微生物發(fā)酵．相比于化學合成，微生物發(fā)酵更具有吸引力，因為過程更容易施行，并且從環(huán)保角度上來講沒有毒副產物產生．然而，由于微生物發(fā)酵法生產1,3-丙二醇相比于化學合成產量較低，目前還不能應用于工業(yè)生產上．這使得越來越多的學者聚焦于提高微生物發(fā)酵生產1,3-丙二醇的產量上[2-4]．

自20世紀80年代起就開展了對1,3-丙二醇的微生物轉化過程研究，近些年學者們對該過程的研究更為細致精確[5]．微生物發(fā)酵生產1,3-丙二醇主要有3種方式：間歇發(fā)酵、連續(xù)發(fā)酵和批式流加發(fā)酵．連續(xù)發(fā)酵是指在裝有一定體積發(fā)酵液(含有菌種和培養(yǎng)基)的發(fā)酵罐中，以一定速率注入具有一定濃度底物的同時以相同速率從發(fā)酵罐中取出發(fā)酵液，整個過程中保持發(fā)酵液體積不變．其具有生產強度高、產量穩(wěn)定、自動化程度高的優(yōu)勢，因此，本文將著眼于研究連續(xù)發(fā)酵過程．

對連續(xù)發(fā)酵過程的研究學者們已取得了一定成績．Zhang等[6]根據(jù)1,3-丙二醇跨細胞膜的可能傳輸機制提出了一種描述細胞內還原途徑的非線性混雜系統(tǒng)．Gao等[7]認為，甘油通過細胞膜有3種可能的途徑，其中包括1,3-丙二醇的被動擴散和主動轉運，并建立了一種改進的14維非線性混合動力系統(tǒng)，用遺傳調控來描述微生物的連續(xù)發(fā)酵過程．Lv等[8]在微生物連續(xù)培養(yǎng)過程中考慮了一種非線性不可微動態(tài)系統(tǒng)，包括3-羥基丙醛抑制機制對細胞生長所有可能的代謝通路，以及甘油和1,3-丙二醇在細胞膜上的輸運系統(tǒng)．本文將研究微生物連續(xù)發(fā)酵過程的反饋最優(yōu)控制問題．

近年來，學者們提出了幾種新的求解連續(xù)不等式約束最優(yōu)控制問題的計算方法，包括非光滑牛頓法[9]、約束轉錄法[10]、精確罰方法[11]、無損卷積法和基于區(qū)間分析的方法．雖然這些方法在解決實際問題上已被證明非常有效，但它們只能夠實現(xiàn)開環(huán)控制，這種開環(huán)控制在實踐中不能保證魯棒性．因此，在微生物連續(xù)發(fā)酵生產1,3-丙二醇的最優(yōu)化問題上建立一種反饋控制策略，可以更好地保證魯棒性，并實現(xiàn)閉環(huán)控制．

解決最優(yōu)反饋控制的傳統(tǒng)方法包括解決HJB偏微分方程(即使對于無約束的問題來說也是一項困難的任務)．因此，一般而言，計算約束系統(tǒng)的最優(yōu)反饋控制是非常具有挑戰(zhàn)性的．盡管如此，文獻中還是有部分嘗試．在文獻[12]中，通過求解一個反饋增益為決策變量的優(yōu)化問題得到了一個最優(yōu)PID控制器．這個問題包含了由于控制器的工程規(guī)范而產生的連續(xù)的不等式約束，比如超調和上升時間的限制．利用約束轉錄方法文獻[13]確定了最優(yōu)反饋增益，這是一種處理狀態(tài)約束的著名計算方法．解決反饋控制問題的其他相關方法包括：計算魯棒次優(yōu)控制器的敏感罰方法[14-15]，以及鄰近的極值方法[16-17]——當系統(tǒng)的新信息可用時，調用規(guī)則來更新最優(yōu)控制．文獻[18]描述了一種專門為登月模塊設計的反饋控制方法，該方法基于時間尺度和控制參數(shù)化技術的新組合[19]、著名的彭特里亞金的最小原理[20]和三次樣條逼近[21]．文獻[22]考慮了一個一般的最優(yōu)控制問題，即給定結構的反饋控制器通過改變某些可調參數(shù)來優(yōu)化．

本文提出一種微生物連續(xù)發(fā)酵生產1,3-丙二醇的線性反饋控制策略，建立線性反饋控制器使得1,3-丙二醇的產量最大化．

1 問題描述

根據(jù)發(fā)酵實驗過程，做出如下假設[23]：

(H1) 發(fā)酵罐中物質組成不隨空間位置變化，即反應器內各點的物質組成均一；

(H2) 連續(xù)加入的培養(yǎng)基只含有甘油，反應器中的培養(yǎng)液以稀釋速率D輸出．

在上述假設下，微生物連續(xù)發(fā)酵過程中生物質、基質和產物的質量平衡關系可以表示為如下的非線性動態(tài)系統(tǒng)：

(1)

并且

xi(0)=x0i；i=1，2，3，4，5

(2)

式中：x1(t)、x2(t)、x3(t)、x4(t)和x5(t)分別表示在時刻t生物質、細胞外甘油、細胞外1,3-丙二醇、乙酸和乙醇的濃度(mmol/L)，x0i是其初始濃度(mmol/L)；t∈[0，tf]，tf是終端時刻；μ是細胞的比生長速率(h-1)；q2是底物的比消耗速率(h-1)；q3、q4、q5分別表示1,3-丙二醇、乙酸和乙醇的比生長速率(h-1)；Cs0表示注入的甘油濃度．

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

其中μm=0.67 h-1，是最大比生長速率；ks=0.28 mmol/L，是Monod飽和常數(shù)．

令x(t)=(x1(t)x2(t) …x5(t))T，x0=(x01x02…x05)T，u(t)∶=(DCs0)，并且，f(x(t)，u(t))∶=(f1(t) …f5(t))T．

那么非線性控制系統(tǒng)為

x.

x(0)=x0

(8)

考慮到實際的發(fā)酵過程中，各物質均有臨界濃度，即狀態(tài)向量是有嚴格區(qū)間的，因此，給出集合W來界定生物質、甘油以及產物的濃度區(qū)間：

(9)

式(9)可以如下式所示等價地轉換為連續(xù)狀態(tài)不等式約束：

hi(x(t)，u(t))≤0；t∈[0，tf]，i=1，…，10

(10)

稀釋速率D以及注入的甘油濃度Cs0有相應的臨界值，因此控制變量u(t)應滿足如下約束：

u*≤u(t)≤u*；t∈[0，tf]

其中u*和u*分別為u(t)的下確界、上確界．

記x3(·|u(t))為方程(8)的解(1,3-丙二醇濃度)，那么最優(yōu)化問題如下所示：

問題P0選擇u(t)使得成本函數(shù)最小化

minJ0(u)=-x3(tf|u(t))s.t.

x(t)∈W

u*≤u(t)≤u*

2 反饋控制

在甘油歧化過程中，對1,3-丙二醇最終濃度影響最大的兩個因素就是生物質和甘油的濃度，并且線性狀態(tài)反饋也是常見的反饋控制結構之一．因此，選用與生物質、甘油濃度相關的線性反饋控制器：

u(t)=(DCs0)=(φ1(x(t)，ξ)φ2(x(t)，ξ))

(11)

其中φ1(x(t)，ξ)=ξ1x1(t)+ξ2x2(t)，φ2(x(t)，ξ)=ξ3x1(t)+ξ4x2(t)；記ξ=(ξ1ξ2ξ3ξ4)T∈R4是反饋控制參數(shù)向量；φ1和φ2是如上的連續(xù)可微函數(shù)．那么，反饋參數(shù)ξ1、ξ2、ξ3、ξ4是需要最優(yōu)選擇的決策變量．

反饋參數(shù)須滿足如下有界約束條件：

ξ=(ξ1ξ2ξ3ξ4)T∈Uad=

[α1，β1]×[α2，β2]×[α3，β3]×[α4，β4]

(12)

將式(11)代入式(8)中有

(13)

其中

f～

q2x2(t)

(14)

方程(14)應滿足方程(8)的初始條件，另記x(·|ξ)為方程(14)的解．此外，約束條件(10)變?yōu)?/p>

hi(x(t)|ξ)≤0；t∈[0，tf]，i=1，…，10

(15)

本文的目標是通過狀態(tài)反饋策略使1,3-丙二醇的最終濃度最大化，那么首先考慮在滿足約束條件(15)的基礎上，選擇最優(yōu)反饋參數(shù)ξk(k=1，2，3，4)使得系統(tǒng)成本最小化．

問題P 選擇ξ∈Uad使得成本函數(shù)最小化

minJ1(ξ)=-x3(tf|ξ)s.t.x(t)=f～(x(t),ξ)x(0)=x0ξ∈Uad

3 精確罰方法

問題P是一個非線性優(yōu)化問題，在此問題中，有限數(shù)量的決策變量(反饋控制參數(shù))需要滿足約束條件并進行優(yōu)化．這是個非常難以解決的優(yōu)化問題，因為每個連續(xù)不等式約束條件實際上都是由無限個(對應時間區(qū)間[0，tf]的每個點)約束條件組成的．那么，問題P就可以看成是一個半無限優(yōu)化問題．為解決這個問題，接下來使用精確罰方法[24]得到問題P的近似問題．

x(t)∈W等價于G(ξ)=0，其中

(16)

顯然G(ξ)=0當且僅當x(t)∈W．然而，等式約束條件(16)當hi=0時非光滑，因此，一般的優(yōu)化程序在處理此類等式約束問題上有一定的困難．那么，考慮如下的精確罰函數(shù)：

Jσ(ξ，

)=J1(ξ);=0,G(ξ)=0J1(ξ)+-αG(ξ)+σβ;∈(0,-]∞;=0, G(ξ)≠0ì?í????

(17)

罰函數(shù)Jσ用于懲罰G(ξ)中的較大值，因此，最小化Jσ能讓可行點滿足約束條件(15)．在此基礎上，問題P可近似于如下罰問題：

問題Q 選擇(ξ，)∈Uad×[0，]使得罰函數(shù)Jσ(ξ，)最小化．

minJσ(ξ，)=J1(ξ)+-αG(ξ)+σβs.t.x(t)=(x(t)，ξ)

x(0)=x0

ξ(t)∈Uad

解決這個問題的數(shù)值算法利用了成本函數(shù)的梯度來找到滿足搜索空間可行區(qū)域的上升方向，采用如下方法來計算成本函數(shù)的梯度：

首先，對于每個k=1，…，4，考慮如下的變分方程：

?.k=?f～(x(t),ξ)?x?k(t)+?f～(x(t),ξ)?ξk

(18)

φk(0)=0

(19)

其中

?f～(x(t),ξ)?x=

(20)

并且

?f～(x(t),ξ)?ξk=?f(x(t),φ(x(t),ξ))?u?φ(x(t),ξ)?ξk

(21)

記φk(·|ξ)為方程(18)、(19)的解，有如下定理：

定理1對每一ξ∈Γ

(22)

基于定理1，使用標準微分法則，可以得到Jσ的偏微分．

定理2問題Q中，Jσ的偏微分如下：

(23)

(24)

其中

(25)

(26)

以及，Φ(x(tf|ξ))=-x3(tf|ξ)．

4 算法及數(shù)值結果

基于上述內容，給出求解問題Q的算法：

步驟2令

步驟3以(ξ0，0)作為初值，使用非線性優(yōu)化算法二次序列規(guī)劃方法(SQP)求解問題Q．記(ξ*，*)為求得的局部最小解，其中

步驟4如果*<ρ，則停止，取ξ*作為問題Q的一個解．否則，令10σ→σ轉到步驟5．

步驟5如果σ≤σmax，那么令(ξ*，*)→(ξ0，0)并轉到步驟2．否則停止——t算法無法得到問題Q的解．

在37 ℃，pH=7．0的厭氧條件下，系統(tǒng)的取值如表1所示[25]．

表1 參數(shù)取值

在微生物發(fā)酵過程控制中，取狀態(tài)向量的臨界值為x*=(0.001 100 0 0 0)T，x*=(10

2 039 939.5 1 026 360.9)；生物質、甘油以及1,3-丙二醇、乙酸、乙醇的初始濃度分別為x01=0.1 mmol/L，x02=400 mmol/L，x03=0，x04=0，x05=0．控制變量D、Cs0應滿足D(t)∈[0.05，0.67]，Cs0(t)∈[100，1 800]．連續(xù)發(fā)酵過程中基質充分，取反應時間為100 h.在數(shù)值實驗過程中，作為經(jīng)驗數(shù)值，ξ的參數(shù)取值范圍為[0，400]×[0，2]×[0，20]×[0，0.000 1]．通過本文的算法計算得出，反饋控制最優(yōu)參數(shù)ξ*=(394.132 8 0.630 4 0.085 0.000 05)，1,3-丙二醇在終端時刻的濃度為426.836 4 mmol/L．控制變量D、Cs0如圖1、2所示；生物質、甘油、1,3-丙二醇、乙酸、乙醇的濃度如圖3所示．

圖1 控制變量DFig.1 Control variable D

圖2 控制變量Cs0Fig.2 Control variable Cs0

(a) 生物質

(b) 甘油

(c) 1,3-丙二醇

(d) 乙酸

(e) 乙醇

圖3 生物質、甘油、1,3-丙二醇、乙酸、乙醇的濃度變化

Fig.3 The concentration change of biomass, glycerol, 1,3-PD, acetate and ethanol

5 結 語

本文提出了在微生物發(fā)酵生產1,3-丙二醇過程中的一種線性反饋控制策略．該策略可以很好地保證魯棒性，并通過精確罰方法給出了原問題的近似問題從而使用一種非線性優(yōu)化算法二次序列規(guī)劃方法求得全局最優(yōu)解，而且通過線性反饋策略優(yōu)先實現(xiàn)了閉環(huán)控制．希望未來可以實現(xiàn)多階段的反饋控制，令反饋參數(shù)為與時間t相關的函數(shù)，從而更加精確地實現(xiàn)控制．

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