基于代理模型的工程結構可靠性分析

易 平， 楊 濰 寧， 謝 東 赤

( 大連理工大學 建設工程學部, 遼寧 大連 116024 )

0 引 言

工程實踐中往往無法得到結構功能與結構隨機變量的顯式表達式，因而常用的可靠性分析方法不能得到有效運用．基于工程結構有限元軟件和計算機隨機數生成，計算工程結構可靠度的蒙特卡羅法得到重要運用．但由于隨機模擬次數多，計算成本大，蒙特卡羅法計算結構可靠度也有很大的局限性．鑒于這種情況，張哲等引入代理模型方法計算結構可靠度[1]．

代理模型是指通過數學手段構造計算量小，但計算結果與數值分析或物理實驗結果相近的近似數學模型，以代替原分析模型．傳統二次多項式響應面法(response surface method，RSM)和Kriging方法是目前常用的兩種代理模型．Kriging 方法最早于1951年由南非地質學家Krige提出；1989年Sacks等[2]建立了用于計算機試驗設計(design and analysis of computer experiments，DACE)的Kriging方法；Lophaven等[3]采用Matlab編程實現了Kriging方法的DACE工具箱．Kriging代理模型在結構領域中多用于結構優化設計[4-5]．王紅等[6]基于Kriging代理模型提出了混合優化算法，成功提高了高維參數優化問題的計算效率．

Kaymaz[7]首先將Kriging方法應用于結構可靠性分析，并與傳統響應面法做了比較．2011年，陳志英等[8]采用粒子群優化(particle swarm optimization，PSO)算法搜索Kriging近似模型參數的最優值，分析了渦輪盤低循環疲勞的可靠度．2013年，馮歡歡等[9]應用樣本重復使用的策略，充分利用迭代過程中的樣本點避免了資源信息的浪費，有效地提高了可靠度的計算效率和精度．2015年，Yi等[10]提出了樣本選擇累積策略即優先選擇更接近極限狀態曲面的點，并利用該策略基于傳統響應面模型和改進Kriging模型進行了邊坡穩定可靠度研究．

目前代理模型在結構優化中得到了廣泛應用，但其在結構可靠性分析中仍然沒有普及．代理模型方法作為一種計算精度高、近似誤差小的可靠性分析方法擁有廣闊的前景．本文采用基于粒子群優化的Kriging方法(PSO-Kriging)計算功能函數的可靠指標并與傳統響應面法(RSM)做對比，同時研究多次擬合近似代理模型過程中的樣本全部累積和選擇累積策略，最后將基于粒子群優化的Kriging方法運用于實際結構的可靠性分析．

1 結構可靠性理論

結構在規定時間內和規定條件下，完成預定功能的概率稱為結構可靠度，該預定功能可以通過如下功能函數表達：

Y=g(x1，x2，…，xn)

(1)

其中x1，x2，…，xn為n個隨機變量；Y>0表示結構可靠，Y<0表示結構失效．

工程中一般多用失效概率Pf反映結構可靠度，Pf為失效域內聯合概率密度函數的多維積分．當隨機變量增多時，通過數值積分求解失效概率非常困難甚至不可行，因此引入可靠指標β的概念．可靠指標β和失效概率Pf通過下式進行轉換：

β=-Φ-1(Pf)

(2)

由于結構的復雜性，一般很難寫出其顯式功能函數，代理模型方法是求解此類問題的一種有效方法．代理模型方法利用有限次數的結構分析結果擬合一個顯式表達式近似代替未知的功能函數進行可靠指標計算．

2 代理模型方法

基于代理模型方法進行可靠性分析，首先要通過試驗設計方法選取樣本點．拉丁超立方抽樣(Latin hypercube sampling，LHS)是一種多維分層抽樣方法，其基本思想是在試驗空間內等概率抽樣，將每個變量的抽樣空間劃分為N個(樣本點數)等概率的子空間，從而整個試驗空間被劃分為Nn個等概率的子空間，在這些子空間中進行隨機變量的取值配對，最終得到N個樣本點[11]．前期的一些研究工作表明拉丁超立方抽樣試驗均衡性較好，實現簡單，所以本文采用LHS方法選取樣本點．利用LHS選取樣本點后，分別基于傳統響應面模型和Kriging模型進行可靠性分析．

2.1 傳統響應面法(RSM)

傳統響應面法又稱多項式響應面法，是一種應用廣泛的代理模型方法．近似模型通常采用不含交叉項的二次多項式形式：

g-(x)=a0+∑ni=1aixi+∑ni=1aiix2i

(3)

a=(a0aiaii)T，為2n+1個待定系數．進行m(m≥2n+1)次獨立試驗，得到其對應的響應值，組成用于確定系數a的方程組，然后利用最小二乘QR分解算法(least squares QR，LSQR)[12]確定待定系數得到近似函數．

2.2 Kriging方法

Kriging模型由回歸項和隨機誤差項兩部分組成：

g-(x)=∑pj=1βjfj(x)+z(x)

(4)

式中：βj為回歸系數，fj(x)表示基函數，z(x)為隨機誤差．隨機誤差z(x)是Kriging方法與RSM最主要的不同點，以下是隨機誤差z(x)的主要性質：

E[z(x)]=0； var[z(x)]=σ2cov [z(xi)，z(xj)]=σ2R(xi，xj)

(5)

R為含有參數θ的關于樣本點xi和xj的相關函數，通常采用如式(6)所示的高斯函數[13]：

(6)

其中θk為參數向量θ的第k個元素．參數θ的取值影響著Kriging模型的精度，需要獲取極大似然意義下的最優相關參數θ，從而確保Kriging預測結果的最優無偏性．

Lophaven等編寫了Kriging方法的Matlab程序——DACE工具箱[3]．在DACE工具箱中，利用輸入的樣本點和響應值得到相應的參數值，進而根據式(4)得到功能函數的顯式表達．DACE工具箱采用模式搜索法尋找最優參數θ，這種方法需要給定初始點θ0，θ0對Kriging模型的精度有很大影響，θ0取值不當會使得參數θ陷入局部最優，從而降低Kriging模型的精度．為了避免初值選擇對Kriging模型的影響，本文采用粒子群優化(PSO)算法[14]搜索最優參數θ．有別于模式搜索法，PSO算法不需要給定初始點θ0，采用多點并行搜索，種群中各粒子在搜索過程中實現信息共享，每個粒子追隨自身最優位置和種群最優位置，通過不斷調整自身的坐標和速度在解空間中進行搜索，最終趨近最優解．

為了對比Kriging模型和傳統響應面模型的差異，選取二維非線性測試函數，函數表達式如下：

2sin 2x1sin 2x2

變量x1和x2的取值范圍為[0.5，3.5]，采用LHS方法選取55個樣本點(圖1(b)、(c)所示的黑色散點)．分別使用PSO-Kriging和RSM對函數擬合，并畫出近似函數圖像，如圖1所示．

(a) 原函數圖像

(b) PSO-Kriging

(c) RSM

圖1 原函數、Kriging模型和RSM模型近似曲面對比

Fig.1 Comparison of original function image with the approximate surface of Kriging and RSM models

從圖1可以看出，PSO-Kriging較好地擬合了原函數，樣本點都落在近似曲面上．而基于RSM的近似函數圖像和原函數圖像出入很大，樣本點也多不在近似曲面上．這表明當擬合非線性程度較高的函數時，Kriging模型的擬合精度要高于傳統響應面模型．這也很容易理解，由于RSM中近似功能函數的表達形式完全預設，當真實功能函數的非線性程度增加時，RSM很難構造精度很高的近似函數．

3 樣本累積

使用代理模型方法求解結構可靠度時，由于其近似性需多次擬合功能函數，多次求得近似可靠指標直至收斂．首次擬合功能函數時通常選擇隨機變量的均值點作為抽樣中心，利用LHS方法產生2n+1個樣本點；后續迭代中則以前一次求得的驗算點作為抽樣中心選取新的樣本點．傳統方法是每次迭代生成2n+1個樣本點，只利用新生成的樣本點構造功能函數．下章算例表明這種擯棄舊樣本點信息的方法在求解可靠指標的精度和效率上都不高．

樣本累積即樣本重復利用，將歷史樣本點和新的樣本點組合在一起共同構造代理模型，計算可靠指標，不斷循環直至收斂．其方法流程如圖2所示．

圖2 基于樣本累積的代理模型方法流程圖Fig.2 Flow chart of surrogate model based on sample accumulation

樣本累積可分為樣本全部累積和樣本選擇累積．樣本全部累積是指在第k(k>1)次迭代中，將之前k-1次迭代用到的所有樣本點累積到本次迭代產生的2n+1個樣本點中，利用k×(2n+1)個樣本點構造代理模型計算可靠指標．而樣本選擇累積是指從上次迭代使用的樣本點中選擇距離極限狀態面最近的l個樣本點，即使得響應Y絕對值最小的l個樣本點，累積到本次迭代產生的2n+1個樣本點中，利用2n+1+l個樣本點構造代理模型計算可靠指標．在接下來的算例中分別使用樣本不累積、樣本全部累積以及樣本選擇累積進行可靠性分析，并進行比較．

4 算例分析

下面的兩個顯式算例均使用LHS方法每次迭代選取2n+1個樣本點，其中選擇樣本累積時l=2n+1．近似功能函數則分別采用基于粒子群優化的Kriging方法(PSO-Kriging)和傳統響應面法(RSM)構造，最后根據可靠指標β的幾何意義[15]利用Matlab優化工具箱求解可靠指標β．同時使用一次二階矩計算可靠指標，對比計算效率和計算精度．收斂標準均設為βi-βi-1≤0.001．使用蒙特卡羅法計算可靠指標作為參考解，其中蒙特卡羅法所必需的樣本點數M通過下式進行估算：

(7)

基于PSO-Kriging和RSM，在迭代過程中采用3種不同的樣本處理方法，計算功能函數g(x)的可靠指標，并與蒙特卡羅法計算的參考解相對照，計算結果如表1所示．

表1 算例1中不同方法的計算結果

由表1可以看出，綜合考慮3種樣本使用情況，在保證計算精度前提下，PSO-Kriging的計算效率要高于RSM．不論是PSO-Kriging還是RSM，迭代過程采用樣本累積都提高了計算效率，其中樣本選擇累積在計算效率上要優于樣本全部累積．針對該顯式算例，傳統的一次二階矩具有較高的計算效率和計算精度．

表2 算例2中不同方法的計算結果

由表2可以看出，無論是使用PSO-Kriging還是RSM，樣本不累積時都不能得到最終的收斂解．若迭代過程中樣本全部累積，PSO-Kriging經過5次迭代25次函數計算得到最終的可靠指標值；RSM的計算效率略低，經過11次迭代55次函數計算得到收斂解．對于RSM，樣本選擇累積在計算效率和計算精度上均要高于樣本全部累積，但對于PSO-Kriging，樣本選擇累積較樣本全部累積只稍提高了計算精度．此外樣本累積的PSO-Kriging的計算效率和計算精度要高于傳統的一次二階矩．

由以上兩個數值算例可知，迭代過程中累積之前的樣本點避免了資源的浪費，使迭代更加高效穩定．對于RSM，樣本選擇累積較樣本全部累積提高了計算精度和效率；而對于PSO-Kriging，樣本選擇累積較樣本全部累積的優勢不明顯．但整體來看，PSO-Kriging明顯比RSM效率高，所以接下來的3個結構可靠性分析隱式算例采用PSO-Kriging．

圖3 多層框架結構Fig.3 Multi-story frame structure

表3 算例3中隨機變量信息

表4 算例3中不同方法的計算結果

算例4一板柱結構如圖4所示[18]，其寬度為6 m，柱間距為5 m，層高為3 m．板的厚度為0.2 m，方柱的名義邊長為0.5 m，材料彈性模量為200 GPa，泊松比為0.3，密度為7 800 kg/m3．取結構每層方柱實際邊長與名義邊長的比值ki為隨機變量，各個隨機變量相互獨立，其統計特征值列于表5．進行結構模態分析，當結構基頻超過4.107 2 Hz時認為結構失效，求其可靠指標．計算結果如表6所示．

圖4 板柱結構Fig.4 The slab-column structure

表5 算例4中隨機變量信息

表6 算例4中不同方法的計算結果

算例5圖5所示矩形薄板[19]的尺寸為0.254 0 m×0.304 8 m，在位于角點到中點距離的2/7處設置4個支撐．板的邊緣和對稱線上分別施加Q1=26.27 kN/m和Q2=35.02 kN/m的分布荷載．根據對稱性，選擇板的1/4建立如圖6所示的有限元模型，共49個四節點板單元，所有單元采用密度為2 134 kg/m3的同一種材料．板厚采用變量聯接技術(如圖6所示，顏色相同的單元的板厚用同一個變量表示)．7個板厚和材料彈性模量是相互獨立的隨機變量，其統計信息列于表7．功能函數取為板中點的垂直位移要小于0.152 4 mm．計算結果如表8所示．

圖5 矩形薄板Fig.5 A rectangular plate

由以上3個工程算例可知，基于PSO-Kriging 代理模型進行結構可靠性分析，若未進行樣本累積，有可能迭代過程振蕩不能收斂到最終的可靠指標值；采用樣本累積能顯著改善收斂性能，樣本選擇累積在計算效率和計算精度上都要優于樣本全部累積．在分析結構算例時，常用的一次二階矩的計算效率較低，且誤差較大．

圖6 矩形薄板的有限元模型Fig.6 Finite element model for the rectangular plate

表7 算例5中隨機變量信息

表8 算例5中不同方法的計算結果

5 結論與展望

(1)RSM難以對非線性程度高的極限狀態曲面作出較好的擬合，PSO-Kriging有良好的預測能力，無論是在計算效率還是精度上都要優于RSM．

(2)迭代過程中摒棄之前迭代樣本點信息的做法造成了資源的浪費，增加了迭代次數和計算誤差，甚至造成迭代過程振蕩不收斂．

(3)迭代過程中采用樣本累積能顯著改善收斂性能，提高收斂速度，得到較為精確的可靠指標值；樣本選擇累積在計算效率和計算精度上通常都優于樣本全部累積，但有時對效率的改善不明顯，后續工作應繼續研究樣本選擇方法，嘗試利用Kriging方法不僅能提供最優無偏預測，而且能對預測結果誤差作定量估計的特性，構造學習函數進行樣本選擇．

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