矩陣的三種等價關系及其分類

黃述亮

（滁州學院 數學與金融學院，安徽 滁州 239000）

線性代數在自然科學和社會科學的等眾多領域（如計算機輔助設計、軟件工程、數字信號處理等）中有著廣泛的應用，其中包含的矩陣思想和方法是處理很多數學問題的重要工具。線性代數的主要研究內容基本上可以歸結為矩陣問題，涉及到的主要運算是矩陣的初等變換。將集合按照一定的規則進行分類是集合論中的一種常用方法，而等價關系對于集合的分類起著重要的作用。同時，等價關系是進一步學習相關數學課程（如抽象代數）的基礎，不少學者在這方面做了探討，得到了很多結果[1-5]。特別需要指出，智婕[6]利用非常直觀的形式展示了利用等價矩陣求逆矩陣、相似矩陣求Jordan標準形、合同矩陣化二次型標準形時的作用?？傊葍r矩陣、相似矩陣及合同矩陣這三個概念非常重要，在學習線性代數的過程中出現的頻率很高，并且和許多問題有內在聯系。文章將深入挖掘三者之間的關系，這將有助于加深對相關問題的理解和把握。

1 等價關系與集合的分類

在集合論中，假設集合A≠?，則稱A×A的一個子集R為A的一個二元關系，它可以用來判斷集合的元素之間是否具有某種性質。特別的，條件更強且更重要的的二元關系是所謂的等價關系，它要求具備自反性、對稱性和傳遞性三個條件。集合的分類是數學中一個非常重要的概念，如果蘊含 Ai∩ Aj=?，那么子集族稱為A的一個分類，其中I為指標集。在給定集合的一個分類后，每一個子集Ai（i∈I）都是A的一個類，關鍵的一個問題就是類中代表元的選擇。事實上，類里的任意一個元素都可以充當代表元，而且同一類中的不同代表元有相同的屬性，具體問題中往往選擇結構最簡單的元素作為代表元。

眾所周知，集合的分類和集合上的等價關系之間有內在聯系，有下面的結果：

定理1.1[7]給定集合A的一個分類規定aRb?a，b在同一個類，則R是A上的一個等價關系。

定理1.2[7]設R是A上的一個等價關系，令[a]=，其中 a∈ A，則就給出集合A的一個分類。

2 矩陣間的三種等價關系與分類

考慮某個數域F上全體n階方陣組成的集合Mn（F），對于A，B∈Mn（F），按照下面方式規定二元關系：

這里P，Q是可逆矩陣。

經過驗證發現，上面給出的三個二元關系都是等價關系，因此可以對全體矩陣進行分類。

首先，從矩陣等價的概念中可以直接看出，等價的矩陣必然同秩，反之也成立。于是，在矩陣等價意義下，按照矩陣秩的大小，全體n階矩陣Mn（F）可以被分成n+1個互不相交的子集的并集：

這樣，從每個類中可以選擇一個結構最簡單的矩陣做為代表元。由此可以看出，矩陣的秩在矩陣的等價關系下是一個常量。

所有患者都滿足中醫的中風診斷要求以及西醫的腦出血、腦梗塞診斷要求[2,3]。入選條件:(1)年齡35~75歲;(2)病程不足半年;(3)初次發病,且伴有單側偏癱;(4)主動治療,自愿參與本研究。排除條件:伴有心肌梗死、嚴重肝腎功不全、重度感染、凝血功能障礙、意識障礙等患者。

其次，矩陣 A，B∈Mn（F）相似需要很強的限制條件，但是可以通過它們對應的λ矩陣等價來刻畫：兩個矩陣A和B是否相似的問題就轉化成為驗證是否有相同的不變因子。用抽象的線性空間（或者說線性變換）的語言來說就是：同一個線性變換在空間中兩組不同基下對應的矩陣相似。顯而易見，按照矩陣的相似關系可以把全體n階復矩陣進行分類，總共有無窮多個等價類。這里指出，不變因子組在矩陣相似下是一個不變量。

最后，對于矩陣之間的合同，可以分成實數域和復數域兩種情形來考慮。如果在復數域上討論矩陣的分類，顯然兩個矩陣合同等價于它們有相同的秩，從而分類和矩陣等價的分類一致。如果在實數域上討論該問題，可以按照矩陣的秩r和正慣性指數p兩個指標來分類：

此時，全體實n階矩陣分類如下：

由此可以看出，矩陣在合同下的不變量有兩個，我們可以選擇秩r、正慣性指數p、負慣性指數q和符號差p-q中的任意兩個指標對全體實矩陣進行分類。

3 三者之間的關系

從上面的定義中可以看出，等價矩陣、合同矩陣、相似矩陣都可以保持矩陣的可逆性不變，并且它們之間具有一定的區別和聯系。顯然，矩陣的合同與相似是矩陣等價的特殊情形：假如兩個矩陣合同或者相似，那么一定等價，反之不然；矩陣的等價在上述三個關系中條件最弱；矩陣的相似和合同之間沒有必然的聯系，但是當定義中出現的可逆矩陣恰好是一個正交矩陣時，矩陣的相似和合同就變成了同一個概念。借助于初等矩陣，上面三種關系可以描述如下：

A 與 B 等價，則有初等矩陣 P1，P2，…，Ps，Q1，Q2，…，Qs使 B=PsPs-1… P1A Q1Q2… Qt，根據初等矩陣和初等變換的對應定理[8]，上式表明對矩陣A做若干次初等行變換和列變換，而對于變換的方式沒有任何要求。

A與B相似，則有初等矩陣P1，P2，…，Ps使B=PsPs-1…P1AP1-1P2-1…Ps-1，這要求對矩陣做行列變換的次數相同，而且變換方式是同種類型。

由此得到一個結論，上面關于矩陣的三個關系本質上都是矩陣之間的初等變換，只是變換的方式有些不同。此外，三者之間的關系可以用數學中著名的Venn圖描繪如下：

圖1 矩陣合同、相似、等價三者之間關系圖Figure 1 Relationship between matrix contract,similarity and equivalence

下面是幾個概念之間不能互推時的一些反例。

例3.1 設則B=PTAP，因此 A 與 B 合同，顯而易見，Tr（A）=1+3≠ 1+2=Tr（B），從而 A 與 B 不相似。

例3.2 設則B=P-1AP，即A與B相似。如果A與B合同，則B=得到矛盾等式

例3.3 設則這說明A與B等價。如果A與B合同，則B=QTAQ，令得到矛盾關系式：ab+cd=0，ab+cd=1。

例3.4 設則，該式說明A與B等價。如果A與B相似，則有可逆矩陣Q，使得B=Q-1AQ=Q-1EQ=E=A，這與題設矛盾。

4 應用舉例

下面的例子表明矩陣的等價、相似和合同在證明相關問題時發揮著重要作用。

例4.1 設 A是m×s矩陣，B是 s×n矩陣，證明r（AB）≥ r（A ）+r（B）-s。

證明：令 r（A ）=p，r（B）=q，則有可逆矩陣 P1，P2，Q1，Q2使得從而令則C是s階可逆矩陣，于是由于矩陣P1和Q2均可逆，故等價，必然同秩。經過比較可以看出，矩陣C1是從矩陣C中去掉s-p個行和 s-q 個列得到，于是 r（AB）=r（C1）≥ s-（s-p）-（sq）=p+q-s。

例4.2 設A和B為n階方陣，證明：A與B相似?A=PQ，B=QP這里P與Q中至少有一個是可逆矩陣。

證明：（必要性）如果A和B相似，那么存在可逆陣 P，滿足 B=P-1AP。記 P-1A=Q，則 A=PQ，B=QP。

（充分性）如果A=PQ，B=QP，其中P為可逆矩陣，那么Q=P-1AP，于是B=P-1AP，即A與B相似。

例4.3 設A和B都是n階實對稱矩陣，證明：如果A和B相似，則A和B合同。

證明：因為A和B相似，根據相似矩陣的性質，它們具有相同的特征值。假設A和B的全體特征值（重根按照重數計算）分別為 λ1，λ2，… λn。由于 A 和 B 都是實對稱矩陣，因此有正交矩陣Q1和Q2使，其中

于是這里是可逆矩陣，即A與B合同。

[1]郭增曉.用等價關系對矩陣進行分類[J].石家莊大學學報，2000，12(2)：23-24.

[2]謝曉華.矩陣的等價關系與分類 [J].科技視界，2014，(21)：196-196.

[3]王曉玲，侯建文.矩陣三種關系間的聯系[J].山西農業大學學報，2004，24(2)：189-190.

[4]胡婷.論矩陣的三種等價關系[J].科教導刊，2012(32)：255-256.

[5]孫曉霞.論等價關系在線性代數學習中的重要性[J].教育教學論壇，2016(5)：172-173.

[6]智婕.矩陣等價、相似、合同的聯系[J].牡丹江師范學院學報，2011，76(3)：76-77.

[7]朱平天，李伯葓，鄒園.近世代數[M].北京：科學出版社，2001.

[8]譚玉明，王圣祥，黃述亮.線性代數及其應用[M].上海：上海交通大學出版社，2016.