一類非線性積分微分方程的全局吸引子

張 珊，柴玉珍

(太原理工大學 數學學院，太原 030024)

積分微分方程是多年來被國內外學者所關注的非線性演化方程，許多數學物理問題需通過積分微分方程求解。積分微分方程是近代數學的一個重要分支。數學、自然科學和工程技術領域中的許多問題都可以歸結為積分微分方程問題。正是因為這種雙向聯系和深入的特點，積分微分方程論得到了迅速地發展，成為包括眾多研究方向的數學分支。

起初在文章[1-3]對線性積分微分系統進行過描述和研究，之后文章[4-5]開始對非線性的積分微分方程進行研究，研究其解的初邊值問題和收斂性等。近幾年，人們開始研究該類方程的吸引子問題[6-9]。

本文研究如下初邊值問題：

(1)

方程(1)當h(·)=g(·)=0時用于表示非線性彈性桿和弱非線性效應的空間變換離子聲波縱向波傳播的問題[10-11]。對于經典波動方程的全局吸引子存在性已有廣泛的研究，在[12-14]這些參考文獻中，作者經常把經典波動方程轉化為下列系統：

(2)

根據經典半群理論，可得全局吸引子的存在性。但對于方程中含有耗散項Δutt和積分項的方程[6-9]，它不同于一般的波動方程，因此我們不可能直接把它化為式(2)，也不能用經典半群理論來研究這類方程的全局吸引子。故在本文試圖用ω-極限緊的方法證明系統(1)解的全局吸引子的存在性，其次本文使用一種新的方法引理2.2，證明了半群{S(t)}t≥0在D(A)×D(A)中的耗散特性，而在此之前的大部分文獻一般使用Gronwall不等式得到半群的耗散特性，另外本文所討論的方程類型更加廣泛，所以在一定程度上對文獻有所推廣。

1 預備知識

Lp(Ω)(3≤p≤∞)上的模記為

且V和H上的內積分別記為

記Hilbert空間上的積為E0=V×V,E1=D(A)×D(A),且記無論同一行還是不同行的C均為常數。

本文中對f,h,g,k,ψ做了如下假設：

I1)

即

f'(s)≥-β, ?s∈R.

(3)

|f"(s)|≤C(1+|s|3), ?s∈R.

(4)

使得

且滿足下述

hi(x,t)(0≤i≤4)在Ω×R+關于時間變量有一階偏導數且滿足

(5)

I3)對任意的k∈W1,∞(0,∞)∩W1,1(0,∞)，k(t)≥0，kt(t)≤0，?t≥0,

1) -m0k(t)≤kt(t)≤-m1k(t)，?t≥t0,

2)k(0)=0,|kt(t)|≤m2k(t)，?t∈[0,t0],

3)

0≤ktt(t)≤m3k(t)，?t≥0,

4)

(6)

I4)ψ(s,q)在R1×R1上有二階偏導數，且各二階偏導數都在有界集上

(7)

下面，概括一下關于吸引子存在性的一些具體結論。

定義1[15]Banach空間X上的半群{S(t)}t≥0稱滿足條件(C)，如果對X中的任一有界集B和任意的ε>0，存在tB≥0和X中的有限維子空間X1，使得對任意的t≥tB，都有{PS(t)x|x∈B,t≥tB}有界，且

‖(I-P)S(t)x‖X<ε，?t≥tB,x∈B.

其中，P:X→X1是有界映射，I是恒等映射。

引理1[15]設X是Banach空間，{S(t)}t≥0是X上的C0半群，如果{S(t)}t≥0滿足如下條件：

1) {S(t)}t≥0在X中有有界吸收集B0;

2) {S(t)}t≥0在X中滿足條件(C)；

則{S(t)}t≥0在X中有全局吸引子。

引理2 已知Φ(t)(t∈R+)是絕對連續的正值函數，且存在ε>0使得微分不等式

成立。其中存在α≥0和a∈[0,1)，使得q(t)滿足

存在β≥0，使得p(t)滿足

α,β是與t無關的常數。則存在T=T(α,β)，使得t≥T時

Φ(t)≤ρ.

其中ρ=ρ(ε,a,α,β)是一個正常數。

2 D(A)×D(A)上的全局吸引子

定理2 設假設I1)-I4)成立，σ,u0,u1是給定的函數且滿足

σ∈H,u0∈D(A),u1∈D(A) .

則方程(1)存在唯一的解

u,ut∈C([0,T];D(A))，utt∈L∞([0,T];D(A)).

且(u,ut)在E1中對初值具有連續依賴性。

由定理2可以定義E1上的一個C0半群{S(t)}t≥0，

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S(t):E1→E1,S(t):(u0,u1)→(u,ut).

2.1 有界吸收集

利用引理的方法并結合定理2可以得到下列結論。

定理3 {S(t)}t≥0在E1中有有界吸收集B0,即對任意的有界集B∈E1,存在t0=t0(B)，使得

S(t)B?B0，?t≥t0.

證明：設

|Δu0|2+|Δu1|2≤R，(R>0).

方程(1)和ut在L2上作內積，再在[0,t)上積分，得

(8)

設v=ut+δu，方程(1)化為下列形式：

(9)

用-Δv和式(9)在L2(Ω)上作內積，經過計算，得

(10)

對上式右端利用變上限積分和分部積分公式以及根據I2)得：

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

將式(11)-(15)代入式(10)可得

(16)

(17)

則式(16)可改寫為

(18)

由Sobolev嵌入定理和引理3、4得：

≤C(‖u‖|Δu|+|Δu|2)≤C|Δu|2.

(19)

C1‖ut‖|Δu|2+C2‖u‖3‖ut‖|Δu|2.

(20)

(21)

(22)

將式(19)-(22)代入式(18)并利用式(6)可得

(23)

設

q(t)=2

則

則式(17)可寫為

其中,

Φ(t)≤ρ.

其中，ρ=ρ(δ,α,β)是一個正常數。即

‖ut‖2+γ|Δu|2+ω|Δut|2≤ρ.

故B0={(u,ut)T∈E1|‖ut‖2+γ|Δu|2+ω|Δut|2≤ρ}是{S(t)}t≥0在E1中的有界吸收集。

注1：對于假設(I2)當hi(x,t)關于時間變量一階不可導時上述結論也成立。

注3：(由引理2、3):

2.2 ω-極限緊和全局吸引子

為了方便，假定B是E1的任意有界的子集。

定理4 半群{S(t)}t≥0在E1中是ω-極限緊的，即對任意的ε>0，存在T=T(B)，N=N(B)(有限維子空間Hm的維數)，當任意t≥T,m≥N,(u0,u1)∈B時，有

‖v2‖2+γ|Δu2|2+ω|Δv2|2<ε.

0<λ1<λ2<…<，λm→∞，當m→∞ .

設Hm=span{ω1,ω2,…,ωm}，可以將它唯一的分解為

u=u1+u2，

用式(9)的方程在L2(Ω)上和-Δv2作內積

(24)

應用Sobolev不等式和定理3，對任意的ε>0，存在T=T(B,ε),N=N(B)(有限維子空間X1的維數)，當任意的t≥T,m≥N,(u0,u1)∈B時，有

則

則式(24)變為

由Gronwall不等式，對任意的t≥T,m≥N,(u0,u1)∈B，有

‖v2‖2+γ|Δu2|2+ω|Δv2|2≤Cε.

其中C是與ε無關的常數。

由定理3，定理4和引理2可得到下面結論：

定理5 設具有光滑邊界的有界區域Ω∈R3,且假設I1)-I4)成立，則半群群{S(t)}t≥0在E1中存在全局吸引子Λ.

：

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