高斯白噪聲激勵下粘彈性碰撞系統的穩定性

謝秀峰，李俊林，劉 迪

(1.太原科技大學 應用科學學院，太原 030024；2.山西大學 數學科學學院，太原 030006)

隨著新材料、新結構的應用發展，粘彈性材料[1]被廣泛用于航空航天、造船、汽車、鐵路、建筑、紡織等行業。粘彈性系統的動力學行為的研究具有重要的理論意義和工程意義，引起了越來越多學者的重視。BISHOP et al[2]討論了具有粘彈阻尼船舶模型的響應。ADHIKARI et al[3]研究了粘彈阻尼的線性振子的特征值和定性動力學特征。噪聲廣泛存在于實際工程中，其對系統的影響不容忽視，所以研究隨機激勵下粘彈性系統的相關問題受到很多學者的關注[4-6]。ARIARATNAM[7]應用隨機平均方法研究了線性粘彈性系統的隨機穩定性。XIE[8]研究了有界噪聲激勵下二維粘彈性系統的矩Lyapunov穩定性。

由碰撞、干摩擦等非光滑因素增加了動力系統的復雜性[9]，光滑系統的很多理論與成果不能直接應用到非光滑系統的分析當中。DIMENTBERG et al[10]利用Dirac delta函數和符號函數對非光滑系統進行光滑化處理，將碰撞系統轉化為不含碰撞的動力系統，然后用能量平均法，分析了碰撞振動系統的隨機響應問題。FENG et al[11]借助平均Poincare映射研究了隨機激勵下的線性碰撞振動系統。ZHAO et al[12]研究了隨機激勵下粘彈性碰撞系統的穩態響應。

綜上所述，對于粘彈性碰撞系統的研究較少，因此有必要研究隨機噪聲作用下粘彈性碰撞系統的響應。本文研究了高斯白噪聲激勵下粘彈性碰撞系統的矩穩定性，用恢復系數來描述粘彈性碰撞前后的能量損失，結合Zhuravlev變換和隨機平均法給出了系統任意階矩Lyapunov指數。并討論了恢復系數和粘彈性系數對系統矩穩定性的影響。

1 模型分析

考慮受高斯白噪聲激勵的粘彈性碰撞系統可表述為

(1)

式(1)中的粘彈性效應可表示為：

(2)

(3)

2 隨機平均法

系統(3)的響應可近似表示為:

x=A(t)cosΦ(t) .

(4)

(5)

其中，Φ(t)=ωt+φ(t)，且A(t),Φ(t),φ(t)都是隨機過程。系統(3)可寫為關于幅值A和相位φ的隨機微分關系如下:

(6)

(7)

由文獻[13]可知，對于一個隨機系統的狀態變量X(t)，其矩穩定性可以用矩Lyapunov指數Λ(p)表示

(8)

式中：E[·]表示數學期望，‖·‖2表示二階范數，系統解p階矩漸進穩定的充分必要條件是Λ(p)<0，并且Λ'(0)等于系統的最大Lyapunov指數

(9)

而系統的幾乎必然穩定的充分必要條件是λ<0.

為了求出系統的p階矩Lyapunov指數Λ(p)，作變換P(t)=Ap(t),并解式(6)和式(7)，得P與φ的微分關系

(10)

(11)

(12)

其中W(t)是標準Wiener過程，并且

推導過程見附錄A.

選取Maxwell型粘彈性核函數

(13)

經過式(A3)和式(A4)的變換，得

(14)

(15)

(16)

(17)

得到系統的p階矩Lyapunov指數為

(18)

最大Lyapunov指數為

(19)

3 穩定性分析

根據式(18)的解析式給出相應的數值結果，可分析恢復因子、噪聲強度和粘彈性參數對系統(1)隨機穩定性的影響。圖1給出系統響應的矩Lyapunov指數Λ(p)作為階數p的函數，隨不同的恢復因子r和噪聲強度σ變化的函數曲線，其余系統參數為：γ1=κ1=1,γ2=κ2=0.5,β=0.5,ω=1.0,ε=0.1.實線表示由式(18)得到的解析解，虛線由Monte Carlo模擬的數值結果。該圖表明，Λ(p)是p的非線性函數，在Λ(p)<0的區域內，系統響應的p階矩漸近穩定。Λ(p)隨恢復因子r的增大而增大，即r越大系統的矩穩定性越弱。Λ(p)隨噪聲強度σ的增大而增大，即噪聲強度越大系統的矩穩定性越弱。

圖1 系統(1)的p階矩Lyapunov指數變化曲線Fig.1 The pth moment Lyapunov exponent of system (1)

圖2、3分別表示矩Lyapunov指數Λ(p)隨粘彈性特征參數γ,κ和階數p的變化三維圖。對于p>0，隨粘彈性參數γ增大穩定區域變大，說明粘彈性越強有助于系統的穩定；而當松弛時間減小，穩定區域變窄，表明長的松弛時間有助于系統的穩定。

圖2 系統響應的矩Lyapunov指數與粘彈性參數γ的變化關系Fig.2 Moment Lyapunov exponent of system with viscoelastic parameter γ

圖3 系統響應的矩Lyapunov指數與粘彈性參數κ的變化關系Fig.3 Moment Lyapunov exponent of system with viscoelastic parameter κ

圖4給出了矩Lyapunov指數Λ(p)與噪聲強度σ和階數p之間的函數關系。該圖表明，隨著噪聲強度σ的增大，矩指數增大，因此，噪聲強度增大使得系統響應的矩穩定性減弱。

圖4 系統響應的矩Lyapunov指數與噪聲強度σ的變化關系Fig.4 Moment Lyapunov exponent of system with noise intensity of σ

4 結論

本文研究了受高斯白噪聲激勵下粘彈性碰撞系統的隨機穩定性。首先，應用Zhuravlev變換將粘彈性碰撞系統轉換為非碰撞系統，然后用隨機平均法得到系統的隨機微分方程，求得了矩Lyapunov指數，最后通過解析結果與Monte Carlo模擬數值結果的分析，得到恢復因子、噪聲強度、粘彈性參數對系統穩定性的影響。研究表明，恢復因子越大系統穩定性越弱；系統的穩定性隨噪聲強度的增大而減弱；隨粘彈性參數的增大，穩定區域增大，隨松弛時間增大，穩定區域變窄。

附錄A

(A1)

其中

R(τ)=E[ξ(τ)ξ(t+τ)]為高斯白噪聲ξ(t)的相關函數.

(A2)

應用變量代換s=t-τ和改變積分次序，得

(A3)

同理可得

(A4)

：

[1] GURTIN M E,STERNBERG E.On the linear theory of viscoelasticity[J].Arch Ration Mech Anal,1962,11:291-356.

[2] BISHOP R E D,PRICE W G.An investigation into the linear theory of ship response to waves[J].Journal of Sound and Vibration,1979,62:353-363.

[3] ADHIKARI S,PASCUAL B.Eigenvalues of linearviscoelastic systems[J].J Sound Vib,2009,325:1000-1011.

[5] HAN X,WANG M.General decay of energy for a viscoelastic equation with nonlinear damping[J].Franklin Inst,2010,347:806-817.

[6] MESSAOUDI S A.On the control of solutions of a viscoelastic equation[J].Franklin Inst,2007,344:765-776.

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[10] DIMENTBERG M F,IOURTCHENKO D V.Random vibrations with impacts:a review[J].Nonlinear Dyn,2004,36:229-254.

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