帶有擾動和阻尼項的波動方程的精確能控性

郭利軍，張建文，王銀珠

(1.太原理工大學 力學學院，太原 030024；2.太原科技大學 應用科學學院，太原 030024)

在過去的幾十年里，精確能控性問題受到相當多學者的關注，并且取得了許多研究成果，文獻[1]研究了偏微分方程的控制和穩定問題，用HUM(希爾伯特唯一性方法)研究波動方程精確能控性首次出現在文獻[2].文獻[3]詳細地介紹用乘子法討論線性系統的穩定性和精確能控性，文獻[4]用黎曼幾何討論了變系數波動方程的精確能控性，也有一些學者討論非線性方程的能控性問題如文獻[5-6]，文獻[7]證明了阻尼足夠小的情況下波動方程的精確能控性，受以上成果的啟發我們討論一類帶有擾動項和阻尼項的波動方程的精確能控性。

(1)

在陳述主要結果之前，先介紹幾個與證明有關的幾個引理。

引理1[10]如果M是帶邊的緊流形,X是M上光滑的向量場,v是M邊界上指向外部的法向量,則下式成立,

(2)

引理2[10]如果M是帶邊的緊流形,u是光滑函數,X是M上光滑的向量場,v是M邊界上指向外部的法向量,則下式成立,

(3)

引理3[10]如果M是帶邊的緊流形,對于u,υ∈C∞(M),下式成立,

(4)

1 主要結果

y(T)=w0和y'(T)=w1.

(5)

記號L,P0,λ的含義將在證明中給出,為了簡化一些計算,讓w0=w1=0,這樣,將證明系統(1)是精確零控的。事實上,對于部分波動方程來說,精確能控和精確零控是等價的。

由于間接處理精確能控問題比較容易,因此考慮系統(1)的對偶系統

(6)

接下來,考慮

(7)

有解y,且(y,y')∈L2(Ω)×H-1(Ω).

(8)

〈，〉被定義為〈(f1,f2),(g1,g2)〉L2(Ω)×L2(Ω)=(f1,g1)L2(Ω)+(f2,g2)L2(Ω).

現在,為了簡化不等式(8),需定義系統(6)的能量為：

(9)

令

(10)

易證存在C>0,使得

E0(t)≤E(t)≤CE0(t) .

(11)

因為

因此E(t)≥E(0)；另一方面,

故有

E(0)≤E(t)≤e2Q tE(0),0≤t≤T.

(12)

易證存在正的常數C1,C2使得,

C1E0(0)≤E0(t)≤C2E0(0),0≤t≤T.

(13)

按照〈，〉的定義,則有

(14)

根據系統(7),y(T)=0,y'(T)=0,

(15)

(16)

通過式(10)能得到以下等式。

(17)

結合式(14)-式(17),可以把不等式轉化成以下形式：

(18)

為了證明不等式 (18),將用到以下記號：

對于固定點x0∈Rn,令

〈·〉這里表示Rn中的內積,v是邊界Γ上指向外部的法向量。

現在首先考慮不等式(18)的右邊,并且得到如下結果。

(19)

證明：用H(u)乘以u",然后在(0,T)×Ω上積分

(20)

用H(u)乘Δu-p(x)u+q(x)u',利用引理1和引理2,可以推導

(21)

接下來,在(0,T)×Ω上積分

(22)

利用u"-Δu+p(x)u-q(x)u'=0,有

(23)

用u乘u"=Δu-p(x)u+q(x)u'利用格林公式,得到如下形式,

然后在(0,T)×Ω上積分,再重新組合,有

(24)

把等式(24)插入式(23)當中,得到

〈H·v〉)dΓdt=[(u'(u',u)〗|T0+∫T0∫Ω|u|2dxdt+∫Ωn-12p(x)u2+p(x)H(u)udxdt-∫T0∫Ωn-12q(x)u'u+q(x)H(u)u'dxdt=[(u'(u',u)〗|T0+12∫T0∫Ω(u')2+'u+q(x)H(u)u'dxdt .

(25)

作為結果,則有下列等式

(26)

另一方面,縮減式(25)的左面,得到如下不等式。

(27)

結果

(28)

(29)

(30)

利用不等式(28)-(30),放大不等式(27)的右邊,能推斷如下不等式

(31)

根據式(13),讓

不等式(19)成立。

然后考慮不等式(18)的左邊,為了方便,給出如下概念,

λ0是使

(32)

成立的最大常數

令

(33)

不等式(18)的左邊被詳細地陳述如下。

當T≥T0時，系統(6)的解滿足不等式

(34)

證明：重新組合等式 (25),縮減它的右邊,擴大它的左邊,得到如下不等式

(35)

現在,首先考慮

參考式(32),當n≥2時，

(36)

當n=1時,

(37)

結合式(33),可以得到如下不等式

(38)

(39)

(40)

(41)

2 定理1的證明

〈Λ(u0,u1),(U0,U1)〉L2×H-1=0 .

(42)

(u1,y1)L2(Ω)=〈(u0,u1),J(y0,y1)〉L2(Ω)×L2(Ω).

(43)

(44)

：

[1] RUSSELL D J.Controllability and stabilizability theory for linear partial differential equations:recent progress and open questions[J].Siam Review,1978,20(4):639-739.

[2] LIONS J L.Exact controllability,stabilizability and perturbations for distributed systems[J].Siam Review,1988,30(1):1-68.

[3] KOMORNIK V.Exact controllability and stabilization:the multiplier method[J].Siam Review,1994(2):35-62.

[4] YAO P F.On the obervability inequalities for exact controliability of wave equtions with variable coeflicients[J].Siam J Control Optim,1999,37(5):1568-1599.

[5] ZUAZUA E.Exact boundary controllability for semilinear wave equation[J].Journal De Mathématiques Pures Et Appliqués,1991,69(1):357-391.

[6] LIU W.Exact distributed controllability for the semilinear wave equation[J].Portugaliae Mathimatica,2000(4):494-508.

[7] SUN B.Boundary controllability of damped wave equation[J].Journal of Hunan of Arts and Science,2008(4):1-10.

[8] PAZY A.Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations[M].New York:Springer-verlag,2011.

[9] RUTH F,ZART C H.An introduction to infinite-dimensional linear systems theroy[M].New York:Springer-verlag,1995.

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