二階層級自相似六邊形蜂窩的面內(nèi)壓縮行為

于國際，李飛鵬，李世強(qiáng),2，吳桂英

(1.太原理工大學(xué) a.應(yīng)用力學(xué)與生物醫(yī)學(xué)工程研究所，材料強(qiáng)度與結(jié)構(gòu)沖擊山西省重點實驗室，b.材料科學(xué)與工程學(xué)院，太原 030024；2.湖南大學(xué) 汽車車身先進(jìn)設(shè)計制造國家重點實驗室，長沙 410082)

在自然界不同的環(huán)境中，自然選擇和進(jìn)化產(chǎn)生了大量的多功能生物材料，由于這些材料通常都包含大量不同尺度的微孔層級結(jié)構(gòu)，使其具有了優(yōu)越的力學(xué)特性[1]，吸引了許多研究者的關(guān)注，也為現(xiàn)代工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化提供了寬廣的設(shè)計思路。人工層級材料的應(yīng)用可追溯到埃菲爾鐵塔的修建工程中[2]，其網(wǎng)狀鋼架層級結(jié)構(gòu)不僅相對密度較低而且具有很高的整體強(qiáng)度。隨著高新技術(shù)的發(fā)展及材料/結(jié)構(gòu)一體化設(shè)計新理念的日漸成熟， 兼?zhèn)漭p質(zhì)吸能和其他多種優(yōu)異性能的人工層級材料(如圖1所示)已被廣泛應(yīng)用于航空航天、高速運載(新型節(jié)能汽車、動車)、國防工程等高技術(shù)領(lǐng)域。

圖1 層級點陣多孔材料各階細(xì)觀、微觀結(jié)構(gòu)[2]Fig.1 Microstructure of hierarchical lattice porous material[2]

蜂窩鋁是以鋁合金為基體的多孔金屬材料，作為一種吸能緩沖的功能材料已獲得了廣泛的研究[3]，GIBSON et al[4]系統(tǒng)的研究了蜂窩的面內(nèi)準(zhǔn)靜態(tài)壓縮力學(xué)性能,指出蜂窩鋁在面內(nèi)壓縮時孔壁會首先出現(xiàn)彎曲，產(chǎn)生線彈性變形，并且隨著應(yīng)變的增加，彈性彎曲、塑性屈服、蠕變或脆性斷裂等現(xiàn)象會導(dǎo)致胞孔的坍塌；當(dāng)相對的胞孔壁相互接觸時，胞孔坍塌結(jié)束。影響蜂窩面內(nèi)力學(xué)性能的參數(shù)主要包括孔徑大小、壁厚以及基體材料的性質(zhì)。由于其胞孔的可設(shè)計性，其最大優(yōu)點是可根據(jù)不同需求對芯層胞孔微結(jié)構(gòu)和尺度進(jìn)行多樣化設(shè)計，改善結(jié)構(gòu)力學(xué)性能[5-7]。LAKES[8]指出相同質(zhì)量下，二階層級蜂窩的壓縮強(qiáng)度是傳統(tǒng)蜂窩的3～4倍。YIN et al[9-10]通過對兩種不同的層級角錐點陣夾芯板進(jìn)行面外壓縮試驗，分別給出了“拉-拉組合(stretch-stretch-hybrid)”和“拉-彎組合(stretch-bend-hybrid)”層級芯層的變形失效模式圖，實驗中發(fā)現(xiàn)拉-彎聯(lián)合屈服的層級芯層主要有芯層面板起皺和芯層整體剪切變形兩種模式；拉-拉聯(lián)合屈服的層級芯層主要有芯層支撐屈曲、芯層面板屈曲、芯層面板壓潰、芯層桁架歐拉屈曲以及芯層桁架剪切屈曲五種失效模式。在此基礎(chǔ)研究者根據(jù)其構(gòu)造的變形機(jī)制圖對復(fù)合角錐點陣(CPL)芯層做了進(jìn)一步優(yōu)化設(shè)計，通過研究發(fā)現(xiàn)點陣桁架細(xì)觀形狀對層級結(jié)構(gòu)力學(xué)響應(yīng)影響較小，在同樣的相對密度下，層級CPL芯層的強(qiáng)度是普通矩形截面點陣桁架芯層的5倍。CHEN et al[11]通過對傳統(tǒng)蜂窩胞孔壁進(jìn)行三角形點陣層級設(shè)計，研究二階層級蜂窩面內(nèi)壓縮力學(xué)行為，提出兩尺度方法計算二階層級蜂窩的平臺應(yīng)力，給出了面內(nèi)準(zhǔn)靜態(tài)壓潰與動態(tài)沖擊的平臺應(yīng)力表達(dá)式，指出層級結(jié)構(gòu)能夠提高蜂窩結(jié)構(gòu)的平臺應(yīng)力。

本文通過對傳統(tǒng)正六邊形蜂窩胞孔的自相似層級設(shè)計，獲得了二階層級自相似六邊形蜂窩結(jié)構(gòu)，并利用商業(yè)有限元軟件ABAQUS對其受面內(nèi)載荷時的壓縮行為進(jìn)行了研究，分析了面內(nèi)壓縮變形模式及沖擊速度對其變形模式的影響，并提出了準(zhǔn)靜態(tài)變形模式以及沖擊模式下，面內(nèi)x與y方向壓縮變形的理論模型。

1 有限元模型

1.1 層級蜂窩有限元模型

通過對傳統(tǒng)正六邊形蜂窩的胞壁進(jìn)行自相似層級設(shè)計，獲得了二階層級自相似六邊形蜂窩，其胞元如圖2(a)所示，一階胞孔孔壁由6個二階六邊形蜂窩胞孔構(gòu)成。層級蜂窩上下設(shè)置兩塊帶有集中質(zhì)量的剛性板，下端的剛性板固定，上端的剛性板以恒定的速度v沖擊蜂窩，采用四節(jié)點殼單元(S4R)對層級蜂窩進(jìn)行網(wǎng)格劃分。x方向加載時沖擊方向取16個一階胞元，另一方向取9個一階胞元，如圖2(b)所示。y方向加載時沖擊方向取15個一階胞元，另一方向取9個一階胞元，如圖2(c)所示。層級蜂窩的一階胞孔尺寸為L，二階胞孔尺寸為l，二階胞孔孔壁厚度為h，面外厚度為b.蜂窩的基體材料采用理想彈塑性模型，密度為ρs=2 700 kg/m3，彈性模量E=70 GPa，屈服強(qiáng)度σys=75 MPa，泊松比υ=0.3.

圖2 蜂窩面內(nèi)沖擊示意圖Fig.2 Schematic of SOHH under in-plane impact load

層級蜂窩的相對密度為：

(1)

式中：ρ為層級蜂窩的密度；ρs為基體材料的密度；ρ*為層級蜂窩的相對密度。

1.2 模型驗證

為了驗證有限元計算的穩(wěn)定性與可靠性，對網(wǎng)格尺寸敏感性進(jìn)行了計算對比，網(wǎng)格尺寸確定為0.5 mm×0.5 mm.圖3給出了剛性板以v=14 m/s時面內(nèi)沖擊普通蜂窩不同時刻的變形模式，并與RUAN[12]的計算結(jié)果進(jìn)行了對比。從圖中可以看到，本文的計算結(jié)果與文獻(xiàn)[12]中傳統(tǒng)正六邊形蜂窩面內(nèi)變形模式基本吻合，其結(jié)果證明了有限元模型的有效性與可靠性。

圖3 六邊形蜂窩沿面內(nèi)壓縮變形模式圖Fig.3 In-plane compression modes of hexagonal honeycomb

2 變形模式

RUAN[12]通過數(shù)值仿真的方法研究了普通蜂窩在面內(nèi)沖擊載荷下的變形模式，研究表明在不同的沖擊速度下，普通蜂窩在面內(nèi)x方向的變形模式可分為準(zhǔn)靜態(tài)模式(X Mode)、過渡模式(V Mode)以及沖擊模式(I Mode).本文對面內(nèi)x方向和y方向不同沖擊載荷下的二階層級自相似六邊形蜂窩的動力響應(yīng)進(jìn)行了研究，分析了沖擊速度對層級蜂窩材料的變形模式的影響。

2.1 x方向的變形模式

不同沖擊速度下層級蜂窩在x方向的變形模式，如圖4-圖6所示，其中層級蜂窩的二階胞孔尺寸l=1.5 mm，二階胞孔壁厚h=0.06 mm.當(dāng)v=2 m/s時，支撐端附近胞元的局部變形產(chǎn)生了一個“X”形狀的變形帶(ε=0.14)，之后，變形不僅發(fā)生在變形帶內(nèi)，同時向附近的胞元拓展。當(dāng)壓縮應(yīng)變達(dá)到0.36時，在沖擊端出現(xiàn)了第二個“X”形狀的變形帶，并逐漸向支撐端拓展，直至一階胞孔全部壓潰。

v=2 m/s，l=1.5 mm，h=0.06 mm圖4 層級蜂窩在x方向上的準(zhǔn)靜態(tài)模式(X Mode)變形Fig.4 Deformation of quasi-static mode (X Mode) of SOHH in the x direction

v=10 m/s，l=1.5 mm，h=0.06 mm圖5 層級蜂窩在x方向上的過渡模式(V Mode)變形Fig.5 Deformation of transitional mode (V Mode) of SOHH in the x direction

當(dāng)v=10 m/s時，在沖擊端附近首先出現(xiàn)“V”形變形帶(ε=0.14)，伴隨著變形帶內(nèi)胞元的變形，變形帶左右兩側(cè)各出現(xiàn)了一個由沖擊端向支撐端逐層拓展的傾斜變形帶，直至一階胞孔全部壓潰。

v=50 m/s，l=1.5 mm，h=0.06 mm圖6 層級蜂窩在x方向上的沖擊模式(I Mode)變形Fig.6 Deformation of impact mode (I Mode) of SOHH in the x direction

當(dāng)v=50 m/s時，在整個沖擊過程中變形區(qū)域完全集中在沖擊端，形成了垂直于沖擊方向的“I”形變形帶(ε=0.14)，在整個壓縮過程中沒有出現(xiàn)明顯的傾斜變形帶。

2.2 變形模式分類圖

通過以上對層級蜂窩的數(shù)值模擬結(jié)果的分析，表明沖擊速度對層級蜂窩的變形模式具有顯著影響。根據(jù)以上不同變形帶的特征可將層級蜂窩在不同沖擊速度下的變形模式相應(yīng)的分為準(zhǔn)靜態(tài)模式，過渡模式與沖擊模式。

將準(zhǔn)靜態(tài)模式轉(zhuǎn)變?yōu)檫^渡模式的臨界速度稱為第一臨界速度vc1[12]，將過渡模式轉(zhuǎn)變?yōu)闆_擊模式的臨界速度稱為第二臨界速度vc2[12]，在不同沖擊速度下，對不同h/l的層級蜂窩進(jìn)行數(shù)值模擬，對應(yīng)的變形模式如圖7.對數(shù)值模擬的結(jié)果進(jìn)行擬合，最終得到式(2)的兩個臨界速度的經(jīng)驗公式：

(2)

由數(shù)值模擬的擬合結(jié)果式(2)可知，層級蜂窩的第一臨界速度vc1和第二臨界速度vc2與(h/l)1/2呈線性關(guān)系。

圖7 層級蜂窩的變形模式分類圖Fig.7 Deformation mode map of SOHH in terms of h/l and v

2.3 y方向的變形模式

層級蜂窩在y方向的變形模式，如圖8-圖10所示。當(dāng)v=2 m/s時，最初，在支撐端處能夠觀察到一個“V”形的變形帶(ε=0.14)，但是沒有在x方向沖擊時的傾斜V變形帶明顯。隨著壓縮方向位移的增加，靠近支撐端處的一階胞孔開始發(fā)生折疊，形成垂直于加載方向的變形帶(ε=0.36)，之后，發(fā)生折疊的區(qū)域從支撐端逐步拓展至沖擊端，直至一階胞孔完全壓潰。沖擊速度提高至20 m/s時，變形集中在沖擊端附近，沒有明顯的傾斜帶出現(xiàn)，形成垂直于加載方向的變形帶(類似于x方向的沖擊模式)。隨著位移的增加，變形帶通過漸進(jìn)形式一層一層的由沖擊端向支撐端擴(kuò)展。相比沖擊速度為2 m/s時的變形模式，該模式更加規(guī)則。進(jìn)一步提高沖擊速度(v=50 m/s)，變形越來越集中在沖擊端，變形帶仍呈現(xiàn)“I”形。

v=2 m/s，l=1.5 mm，h=0.06 mm圖8 層級蜂窩在y方向上的準(zhǔn)靜態(tài)模式變形Fig.8 Deformation of quasi-static mode of SOHH in the y direction

v=20 m/s，l=1.5 mm，h=0.06 mm圖9 層級蜂窩在y方向上的沖擊模式變形Fig.9 Deformation of impact mode of SOHH in the y direction

v=50 m/s，l=1.5 mm，h=0.06 mm圖10 層級蜂窩在y方向上的沖擊模式變形Fig.10 Deformation of impact mode of SOHH in the y direction

3 層級蜂窩的理論模型

3.1 層級蜂窩在x方向準(zhǔn)靜態(tài)模式下的理論模型

通過觀察層級蜂窩準(zhǔn)靜態(tài)下的變形模式(圖4)可知，層級蜂窩一階胞孔的變形是由一階胞孔角點附近的二階胞孔的變形導(dǎo)致的。將一階胞孔的孔壁視為連續(xù)均勻的梁[11]，只考慮宏觀一階胞孔孔壁的變形情況，建立如圖11的理論模型。一階胞孔的形狀由正六邊形變成了平行四邊形，孔壁的變形為孔壁繞角點的旋轉(zhuǎn)與孔壁長度的縮短，假定在孔壁的兩端各有一個塑性鉸(如圖11綠色虛線中的黑點所示)。

圖11 層級蜂窩在x方向上準(zhǔn)靜態(tài)變形模式下的理論模型Fig.11 Analytical model of SOHH under quasi-static mode in the x direction

選取圖11中的虛線框為計算單元，作用在單元上的外力功為

(3)

其中，σx為層級蜂窩在x方向上的平臺應(yīng)力，Δx=9l為x方向計算單元壓縮的長度。

由塑性鉸耗散的能量為

WM=2Mpθ.

(4)

其中，Mp=bl2σhex[11]為一階孔壁的極限彎矩，θ=π/3為塑性鉸的旋轉(zhuǎn)角度；σhex為一階孔壁的塑性壓潰應(yīng)力。由式(5)計算

(5)

一階胞孔孔壁的縮短所耗散的能量為

(6)

通過求解Wex=WM+Ws可得平臺應(yīng)力為

(7)

3.2 層級蜂窩在y方向準(zhǔn)靜態(tài)模式下的理論模型

通過觀察層級蜂窩在y方向的準(zhǔn)靜態(tài)變形模式(圖8)，通過與3.1中同樣的方法，建立如圖12所示的理論模型。根據(jù)數(shù)值模擬結(jié)果，假定每個孔壁具有兩個塑性鉸(圖12中虛線框中的黑點)，黃色和藍(lán)色的傾斜孔壁長度縮短，紅色的豎直孔壁長度沒有縮短。

圖12 層級蜂窩在y方向上準(zhǔn)靜態(tài)變形模式下的理論模型Fig.12 Analytical model of SOHH under quasi-static mode in the y direction

選取圖12中的虛線框為計算單元，作用在單元上的外力功為

Wex=18σyblΔy.

(8)

6個塑性鉸所耗散的能量為

WM=6Mpθ.

(9)

其中，Mp=bl2σhex[11]為一階孔壁的極限彎矩，θ=π/3為塑性鉸的旋轉(zhuǎn)角度。

2個傾斜的孔壁長度縮短所耗散的能量為

Ws=2Δsblσhex.

(10)

通過求解Wex=WM+Ws可得平臺應(yīng)力為

(11)

3.3 層級蜂窩在沖擊模式下的理論模型

層級蜂窩在面內(nèi)x，y方向沖擊模式下的變形特征均為一層一層的漸進(jìn)壓潰，當(dāng)胞元壓潰并達(dá)到密實化應(yīng)變時，它的速度從0增加到?jīng)_擊速度v，外力的沖量為

(12)

其中，σd為動態(tài)壓潰應(yīng)力；σqs為準(zhǔn)靜態(tài)模式下的平臺應(yīng)力(x方向為σx，y方向為σy)，在動態(tài)沖擊時支撐端的應(yīng)力近似的等于準(zhǔn)靜態(tài)模式的平臺應(yīng)力[13]；A是胞元的橫截面積；t=εdH/v為胞元的速度從0增加到v的時間；εd為密實化應(yīng)變[14]；H為胞元在壓縮方向上壓縮的長度。

胞元的動量變化量為

ΔP=AHρ*ρsv.

(13)

由動量守恒Pi=ΔP，可得動態(tài)平臺應(yīng)力為

(14)

此處獲得的動態(tài)平臺應(yīng)力的表達(dá)式與REID[15]的沖擊波模型具有一樣的形式。層級蜂窩在沖擊模式下所表現(xiàn)出來一層一層的漸進(jìn)壓潰，所反映出的物理現(xiàn)象正是“沖擊波效應(yīng)”。

準(zhǔn)靜態(tài)變形模式下，不同相對密度的層級蜂窩在x，y方向的數(shù)值模擬得到的平臺應(yīng)力與理論平臺應(yīng)力如圖13所示，從圖中可知，在較大的相對密度范圍內(nèi)，理論模型與數(shù)值模擬的吻合程度較好。相對密度為1.15%的層級蜂窩在不同的沖擊速度下平臺應(yīng)力如圖14所示，從圖中可以看出，在沖擊速度較低時，由于層級結(jié)構(gòu)的效應(yīng)，面內(nèi)x，y方向?qū)蛹壏涓C的平臺應(yīng)力差別較大，但隨著沖擊速度的提高，兩者之間的差別越來越小，這是因為沖擊速度越高，慣性的影響越大，而慣性效應(yīng)主要與密度和速度相關(guān)[16]。由式(14)可知，層級蜂窩的動態(tài)平臺應(yīng)力可分為準(zhǔn)靜態(tài)項σqs和慣性項ρ*ρsv2/εd，在本文中，由于層級蜂窩的相對密度是保持不變的，沖擊速度變化時，對于準(zhǔn)靜態(tài)項沒有影響，具有較大變化的為沖擊速度的平方項v2，隨著沖擊速度的提高，慣性項所占的比重越來越大，因而隨著沖擊速度的提高，慣性的影響越來越大。

圖13 不同相對密度的層級蜂窩在準(zhǔn)靜態(tài)模式下的平臺應(yīng)力Fig.13 Plateau stress of SOHH with different relative density under quasi-static mode

圖14 相對密度為1.15%的層級蜂窩在不同沖擊速度下的平臺應(yīng)力Fig.14 Plateau stress of SOHH with relative density 1.15% under different impact velocity

4 結(jié)論

本文提出了一種二階層級自相似六邊形蜂窩，并應(yīng)用ABAQUS對其在面內(nèi)沖擊載荷下的響應(yīng)進(jìn)行了研究,并建立了x方向與y方向面內(nèi)壓縮理論模型。通過以上數(shù)值模擬與理論分析，得出以下結(jié)論：

1) 受到面內(nèi)x方向沖擊載荷時，層級蜂窩的變形模式表現(xiàn)為3種模式：準(zhǔn)靜態(tài)模式、過渡模式以及沖擊模式。受到面內(nèi)y方向沖擊載荷時，層級蜂窩的變形模式表現(xiàn)為2種模式：準(zhǔn)靜態(tài)模式與沖擊模式。

3) 將層級結(jié)構(gòu)引入到普通蜂窩中形成層級蜂窩，面內(nèi)壓縮變形時，一階胞孔的孔壁變形是孔壁繞角點的旋轉(zhuǎn)與孔壁長度縮短兩種變形機(jī)制的組合。通過能量平衡的方法建立的層級蜂窩面內(nèi)壓縮平臺應(yīng)力理論模型與數(shù)值模擬結(jié)果吻合較好。

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