一種考慮恢復的鹽巖流變-損傷本構模型

王貴君，蔡晟鑫，劉熙媛，李 東，張 嶺

(河北工業大學 土木與交通學院，天津 300401)

鹽巖具有結構致密、滲透性低、流變性強、可恢復等特性，適合用于建造石油、天然氣儲庫、高放射性核廢料處置庫[1]。鹽巖油氣儲庫已在歐美國家得到了廣泛應用，我國也加大了對鹽巖儲庫的研究與建設的投入。

在鹽巖儲庫設計時，采用考慮恢復的本構模型與不考慮恢復的模型相比，可以降低鹽穴最小存儲壓力，增大儲庫工作壓力區間，進而提高鹽穴儲庫存儲油氣的能力，降低造價。因此，開展鹽巖流變-損傷恢復特性的研究具有重要科學意義和工程價值。

針對鹽巖的恢復特性，人們已經做了一些機理方面的研究。HOUBEN et al[2]提出將鹽巖裂隙愈合機理分為3種類型：a.鹽巖受壓縮彈性變形或者塑性流動，使裂隙閉合；b.鹽巖晶粒表面能降低，引起介質擴散或化學愈合，使裂隙縮小甚至完全彌合，減小鹽巖滲透性，提高鹽巖強度；c.鹽巖的再結晶作用使得外部熱能驅動晶粒界面上的物質遷移至裂隙表面，逐步增大裂隙接觸面積，使裂隙最終完全愈合。PFEIFLE et al[3]在WIPP鹽巖三軸流變試驗中通過監測損傷發展和巖樣滲透系數變化研究鹽巖的恢復，采用一階動力方程描述恢復規律。梁衛國等[4]對無水芒硝鹽巖試件進行了完全剪切試驗，發現高溫條件對鹽巖內摩擦角恢復效果明顯，對內聚力恢復作用不大。陳結等[5]通過對鹽巖試樣進行不完全剪切試驗，發現鹽巖的損傷特征對剪切方向敏感度較高。姜德義等[6]通過對損傷鹽巖進行自恢復試驗，發現鹽巖損傷恢復并不是簡單的力學性質的增強，而是綜合性質的改善。

在試驗研究基礎上，不少學者提出了適于鹽巖的本構模型。CHAN et al[7]在MUNSON et al[8]提出的MD模型的基礎上，提出了一種可以同時考慮位錯流變、剪切損傷、張拉損傷和損傷恢復的多機制耦合模型——MDCF(multimechanism deformation coupled fracture)模型。DEVRIES et al[9-11]在有限元法中采用損傷勢理論和MDCF模型，求得不產生擴容條件下的鹽巖儲庫最小運行壓力，研究了增大運行壓力后的損傷恢復發展過程；應用于鹽巖儲庫后成功降低了儲庫的最小運行壓力，提高了儲庫存儲能力。HOU et al[12]和LUX et al[13]運用連續介質力學，在Lubby2流變模型基礎上，提出了一個可以考慮損傷恢復的流變模型，并將其應用于放射性核廢料處置庫工程中。然而，由于參數過多且確定參數的過程復雜，MDCF模型和Hou/Lux模型很難得到推廣應用。筆者在Cater模型基礎上提出了一種可以定量描述鹽巖損傷發展的流變-損傷模型，并通過試驗驗證了該模型的正確性[14](以下簡稱此模型為“原模型”)。

本文以流變試驗數據為基礎，在原模型基礎上，考慮鹽巖的流變-損傷恢復，建立一個同時考慮流變-損傷、損傷破壞、恢復的鹽巖流變-損傷模型，分析在不同卸載狀態下鹽巖流變-損傷恢復的規律，并分析鹽巖流變-損傷和恢復的影響因素。

1 考慮恢復的流變-損傷本構模型

由基本原件組合而成的流變模型可以很好描述巖石的過渡、穩態流變階段，但無法描述加速流變階段。解決的辦法可以大致分為兩類：一種是按照Lemaitre的應變等效原理，將理論流變模型中的表觀應力(Cauchy應力)替換為有效應力，材料性能在有效應力作用下隨損傷變量的增大而不斷劣化，采用適當的損傷演化方程，就可以描述巖石的加速流變階段；另一種是在總流變變形中添加一項由應力應變狀態控制、由損傷引起的流變(流變率)，從而獲得加速流變階段。

依照唯象理論的思路，在原模型中增加一項恢復流變，考慮恢復的流變-損傷模型擴展為

ε=εt+εs+εd+εh.

(1)

式中：ε為總流變變形；εt為過渡流變分量；εs為穩態流變分量；εd為由損傷引起的流變分量；εh為由恢復作用引起的流變分量。

(2)

(3)

(4)

(5)

σh=-Δσi,

(6)

(7)

參照文獻[14]，仍然采用“損傷增速界限”的概念?？紤]由卸載引起的損傷恢復，損傷演化方程變為

(8)

(9)

σm=(σ1+σ2+σ3)/3 .

(10)

式中：G,Gh,Gdh分別為彈性、流變和損傷恢復剪切模量；η，ηh，ηdh分別為黏滯系數、流變黏滯系數和損傷恢復黏滯系數；A1，A2，n，B，r為材料參數；Q1，Q2為材料的激活能；R為氣體熱力學常數，T為絕對溫度；D為損傷變量，0

如果鹽巖始終處于加載或恒載狀態，沒有卸載，σh為0，本模型退化為流變-損傷模型。

2 模型的比較與驗證

2.1 MDCF模型與試驗數據擬合結果

DEVRIES et al對取自美國海灣2號井(Bay Gas Well No.2，McIntosh Dome，Mobile,Alabama)鹽巖試樣開展了有卸載過程的三軸壓縮流變試驗，得到了3個鹽巖試樣的應變-時間變化曲線。采用MDCF模型對試驗數據進行擬合分析，得到的擬合曲線如圖1所示[9]。圖1只給出了鹽巖加載階段流變變形的擬合曲線，沒有給出卸載階段流變恢復的擬合結果。

圖1 MDCF模型計算流變曲線與試驗數據的比較[9]Fig.1 Comparison between MDCF calculation and the experimental results[9]

2.2 本模型的擬合結果

作為對比，按照本文模型式(1)-式(10)，采用最小二乘法對DEVRIES et al的試驗數據進行擬合分析，得到的擬合曲線如圖2中實線所示。可以看出，我們的模型可以很好地描述鹽巖流變和恢復過程。擬合模型材料參數如表1所示。

圖2 試驗數據[9]與本模型擬合結果對比Fig.2 Comparison between model predictions and experimental results[9]

由表1可知，盡管3個試樣所受荷載、歷時與流變變形大小均不同，表征穩態流變及損傷恢復的參數離散性并不大，而表征彈性、過渡流變和損傷演化的參數離散性較大。產生這種現象的原因是：試樣個體差異以及試驗過程中產生的誤差；試件從深部地層取出后產生應力卸除效應，而在穩態流變-損傷和恢復階段已經消除了這種效應。作者在鹽巖流變-損傷-破壞試驗中也發現過這種效應[15]。

表1 擬合參數Table 1 Regression parameters

根據本文模型及實驗擬合參數，得到上述3個鹽巖試樣的損傷發展曲線，如圖3所示。

在試驗的第二階段即卸載段，鹽巖產生了由卸載引起的流變-損傷恢復。從流變曲線(圖2)和損傷曲線(圖3)可以看出，鹽巖流變-損傷恢復也具有明顯的“過渡”(“衰減”)特點，流變恢復和損傷恢復速率逐漸減小，直至本級卸載效應消失，流變變形和損傷發展速率又變為正值，流變曲線與損傷曲線均呈上凹形狀。這個階段的流變-損傷“過渡”恢復現象消失后，試件流變變形速率和損傷發展速率比恢復前的速率均有所降低。顯然，3個試樣的損傷均未達到損傷增速界限，因此，損傷變量和流變變形發展緩慢。

圖3 損傷變量D全程變化曲線Fig.3 Curves of damage evolution D vs. time

需要說明的是，在加載階段，3個試件承受的應力差(相當于流變-損傷等效應力)Δσ依次分別為13.79，17.24，20.68 MPa；穩態流變速率分別為4.06×10-4，1.29×10-3，5.04×10-3d-1；穩態損傷速率分別為1.27×10-4，9.70×10-4，1.42×10-3d-1.在卸載階段，3個試件等效應力卸載量分別為3.45，3.45，6.89 MPa；試樣3的卸載量為試樣1和試樣2的2倍，試樣3的損傷恢復程度比試樣1和試樣2的大，導致圖3中曲線2在第二階段位于曲線3上方。3個試樣第二階段穩態損傷速率分別為8.93×10-5，8.47×10-4，5.19×10-4d-1.

在第二階段，試樣2和試樣3承受的等效應力相同，均為13.79 MPa；卸載效應消失后的穩態損傷速率值接近，但因加載和流變歷史不同，損傷變量絕對值不同。

3 材料流變-損傷的影響因素分析

本節根據試樣3的試驗條件，研究本模型在卸載條件下恢復等效應力σh、參數r、B和n對鹽巖流變-損傷及其恢復的影響。

3.1 恢復等效應力σh和恢復延遲時間ηdh/Gdh

在三軸壓縮試驗中，軸向荷載的卸載大小對鹽巖試件的流變-損傷恢復是控制性的，即σh與Gdh的比值控制鹽巖損傷恢復大小。卸載(即恢復等效應力大于零)后，損傷變量演化速率快速降低，其影響隨時間逐漸減弱，最終消失，恢復量呈現衰減的特征，恢復后的損傷演化速率較恢復前有所降低。

如圖4所示，試驗時間t=12 d時發生軸向卸載；當σh= 6，8，10 MPa時，損傷恢復極限值分別為0.010，0.013，0.017；損傷恢復時間等于損傷恢復延遲時間(ηdh/Gdh=1.25 d)時，損傷恢復達到最終值的63%. 這里的損傷恢復延遲時間僅影響損傷恢復的快慢程度，不影響其恢復大小。

圖4 損傷變量D與時間t及恢復等效應力σh關系曲線Fig.4 Damage evolution D vs. time t with different equivalent recovery stresses

3.2 參數r和B

參數r對鹽巖損傷演化速率影響較大，如圖5所示。三軸壓縮試驗中軸向卸載(t=12 d)導致鹽巖試樣損傷演化速率顯著降低，損傷恢復(損傷變量的減小)量隨r值的增加而增加。此外，鹽巖在穩態流變階段的損傷演化速率隨r值的增大而減小。

需要注意的是，取r=4.2，荷載持續到第18天時，損傷變量超過損傷增速界限Da(Da=0.12)；之后損傷變量迅速增大，到第33天，損傷演化速率已接近無窮大，試件將發生破壞(圖5).

圖5 損傷變量D與時間t及參數r關系曲線Fig.5 Damage evolution D vs. time t with different values of r

參數B對損傷變量的影響與參數r的影響類似(圖6).到試驗的第33天為止，當B=125，135 MPa時，損傷發展極為緩慢，損傷變量值均小于0.04.然而，當B=105 MPa時，在第33天，損傷變量已達0.19，超過損傷增速界限，試樣將發生破壞。

圖6 損傷變量D與時間t及參數B關系曲線Fig.6 Damage evolution D vs. time t with different values of B

3.3 參數n

參數n為穩態和損傷流變速率的應力指數，對鹽巖的流變速率影響極大。在其他模型參數恒定的條件下，過渡階段和恢復階段鹽巖流變速率隨參數n的增大而增大；n分別為6.2，5.8，5.4時對應的穩態流變速率分別為0.030，0.009，0.003 d-1；而恢復后再達到穩態流變階段的時間與參數n無關，本組試驗達到穩態流變的時間約為7 d左右，如圖7所示。

圖7 總蠕變率與時間t及參數n關系曲線Fig.7 Curves of creep rate vs. time t with different values of n

4 結論

1) 在過渡流變和穩態流變階段，鹽巖流變和損傷速率均較小，損傷變量值也很小。

2) 在三軸壓縮試驗中，保持圍壓不變，減小軸向壓力，使鹽巖試件的流變和損傷產生恢復。

3) 鹽巖的流變-損傷恢復具有明顯的“過渡”特點。流變變形恢復和損傷恢復效應是一個衰減過程，恢復速率逐漸減小，直至本級卸載效應消失，流變變形和損傷發展速率又變為正值。達穩態后試件流變變形速率和損傷發展速率比恢復前的速率均有所降低。

本文提出的鹽巖流變-損傷-恢復模型不但繼承了原模型描述鹽巖流變-損傷-破壞全過程的特性，也能真實地反映卸載后鹽巖流變-損傷恢復。表征鹽巖穩態流變-損傷和恢復的模型參數離散性不大。

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