讓學生經歷數學模型的建構過程

羅曉芳

【摘要】本文論述在小學數學教學中，通過內容重組、新舊同化、有序拓展、難點突破等方面滲透模型思想，讓學生經歷模型構建的過程，培養學生的建模思維，幫助學生提升數學素養。

【關鍵詞】小學數學 建模思維 數學模型

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2018）03A-0063-02

什么是數學模型？張奠宙教授認為，數學模型就是利用數學語言來模擬現實的模型。從廣義上來說，一切概念、方程式函數以及相應的運算系統，都是數學模型。什么是數學建模呢？就是運用數學模型來解決現實生活中的實際問題的一種方法。這種方法是對實際問題進行抽象、簡化，并建立起數學模型，然后根據數學模型求解，最終獲得解決問題的方法和策略。在小學數學教學中，學生對數學模型的學習并不是一張白紙，大部分學生已經具備了探究新知的相關技能，對問題情境中的各種信息能夠準確感知，并做出判斷和選擇。因此，教師要在教學活動中滲透模型思維，引導學生全程參與模型構建的過程，感受數學模型的形成，由此對模型進行簡單的解讀和運用，從而提升數學建模思維。

一、重組教材內容，經歷意義構建過程

在小學數學教學中，學生由于生活經歷有限，對一些實際問題了解不深，這就需要教師根據教材內容，結合學生的已有知識和已有經驗，對實際問題進行簡化和數學抽象，重組教材內容，設計出學生更容易理解，更能夠直觀感知的教學素材，帶領學生經歷建模意義的構建過程，幫助學生接近問題的本質，提高學生的數學應用意識。

在教學人教版三年級下冊《認識小數》時，教材以學生測量長度引入，發現課桌的長和寬分別不到一米，可以用什么來做單位呢？用分米是用整數表示，用米是用分數表示。在此基礎上引入用小數表示，從而導入“認識小數”的課題。但在教學實踐中，筆者發現學生對用分數來表示有難度，從用分數表示引入用小數表示更要花大力氣，最關鍵的是因為過分在意分數，就淡化了分數和小數的關聯，因此也就不能將精力放在小數的意義這個教學難點上了。基于此，筆者對教材內容進行了重組，嘗試用直觀圖引入（如圖1），引導學生思考：這兩幅圖中陰影部分能夠用整數表示嗎？為什么？應該怎么表示呢？

學生很快就能夠根據所學的分數知識，得出答案：一個是[210]，另一個是[710]。此時筆者繼續讓學生思考：分數[210]，還有沒有其他的寫法？筆者板書[210]=0.2，引出小數的課題。緊接著引導學生分析探究：請你想一想，0.2是怎么得來的呢？學生根據直觀圖，認為是將一個正方形等分成十份，表示這樣的兩份就是0.2。0.2還可以用分數[210]來表示。筆者繼續追問：“0.2表示[210]，[210]可以寫成0.2，那[710]能寫成什么？我們今天學習了零點幾的小數，零點幾的小數可以什么分數來表示呢？你發現了什么規律？”學生發現，零點幾就表示十分之幾，十分之幾就是零點幾。最后，筆者設計了鞏固練習（如圖2），讓學生將分數和小數靈活地轉換，打通了分數和小數之間的意義構建。

通過對教材內容的重組，教師把握了學生的認知起點，運用直觀圖形讓學生更加形象地體會小數和分數的聯系，直觀地理解了小數的模型：十分之幾就是零點幾，零點幾就是十分之幾，從而幫助學生實現了小數意義的構建。

二、新舊知識同化，經歷結構建模過程

學生的學習是將已經掌握的數學知識，通過新舊知識的同化，轉變為自己經驗的過程。教師可以借助學生已有的知識，將新知放置在學生已有的認知體系結構中，加強對數學建模思想的滲透，讓學生經歷結構建模的過程，形成良好的認知體系。

在教學三年級上冊《認識幾分之一》時，筆者設計了三個層次的教學環節，層層推進。

1.讓學生“構建一個物體的幾分之一”的數學模型。筆者讓學生思考：如何才能找到一個圓的[14]？（如圖3）學生認為，只要將一個圓等分成四份，其中的一份就表示一個圓的[14]。

2.讓學生構建“一些物體組成的一個整體的幾分之一”的數學模型。筆者出示圖4和圖5，讓學生思考：如何找出圖中這幾個圓的[14]？學生通過分一分、涂一涂，再進行交流討論，對幾分之一有了更進一步的感知和體驗。

3.引導學生構建“一個整體平均分”的思維模型。筆者讓學生思考：我們剛才找到的一個圓的[14]，8個圓的[14]，還有12個圓的[14]，這三個[14]有什么不同？有什么相同？學生發現，同樣都是[14]，都是等分成四份表示其中的一份。不同在于，他們等分的個數不同。也就是說，可以將它們看作一個整體來等分成四份，表示其中一份就是[14]。筆者引導學生繼續深入：即使有20個圓、120個圓，或者更多的圓，只要將它平均等分成四份，找到它的其中一份，就可以用分數[14]來表示。

教師利用學生的已有知識，引導學生將已有經驗轉化成新的經驗，從“把一個物體平均分”到“把一個整體平均分”，順利實現了認知突破，通過新舊知識的同化，構建新的認知結構，完成了數學模型結構體系的構建。

三、有序拓展素材，經歷變式建模的過程

對學生來說，學習數學不僅要學習知識和技能，更要掌握舉一反三、抽象概括的能力。數學思維具有擴張性，教師可以從教材出發，但不能止于教材，針對教學素材進行有序地延伸，引導學生借助變式進行內化和強化，讓學生對概念的表征達到一個較高水平的概括，通過思維發散和聯想，經歷變式建模的過程。

在教學三年級上冊《倍的認識》一課時，筆者將教學重點放在素材的變式練習上，讓學生通過變化，理解一個數是另一個數的幾倍這一本質。原有2朵黃花，8朵紅花，又添上了4朵紅花，追問學生：紅花是黃花的幾倍？為什么？學生認為，紅花是黃花的6倍，因為現在紅花有6個2朵。筆者繼續進行變式訓練：如果去掉8朵紅花，現在紅花是黃花的幾倍？為什么？如果去掉2朵紅花呢？學生很快得到了答案。在學生順利完成之后，筆者又設計了稍微復雜的變式練習：如果老師要添加上1朵黃花，變成3朵黃花，6朵紅花，現在紅花是黃花的幾倍？學生回答兩倍。筆者追問：紅花的朵數沒變，為什么倍數變了呢？學生說黃花現在有3朵，紅花有兩個3朵，所以紅花是黃花的兩倍。也就是說，黃花是3朵了，那么紅花就不能再兩朵兩朵地分了，而是要按照三朵一份來分，這樣就分到了兩個3朵，就表示紅花是黃花的兩倍。筆者繼續深入：如果變成1朵黃花，6朵紅花，紅花是黃花的幾倍呢？學生很自然地給出答案，紅花是黃花的6倍。此時，筆者引導學生審視整個過程并思考：不管紅花和黃花的朵數怎么變化，想要知道紅花是黃花的幾倍，應該怎么想呢？學生經過討論后認為，要想確定紅花是黃花的幾倍，就要先看黃花有幾朵，根據黃花的朵數，把紅花幾朵幾朵地分，紅花中有幾個黃花的朵數，那就表示紅花是黃花的幾倍。

教師充分利用例題，精心設計變式練習，通過不同角度組織感知素材，改變數學概念的非本質屬性，讓學生深入理解本質屬性，出現了不同角度的“幾個幾”，進而讓學生真正理解“倍”的內涵。

總之，小學數學建模的過程，實際上就是學生經歷數學化的過程。在讓學生經歷數學知識體系建構的過程中，教師緊緊抓住問題的本質，引導學生利用已有經驗，將生活問題抽象成數學問題，逐步感知和深入理解數學模型的價值和意義，從而讓學生學會分析問題，進而解決問題，有效提升學生的數學素養。

（責編 林 劍）