感知·理解·升華

鄭建

[摘 要]數學概念的學習毫無疑問是數學學習中的重中之重，如果概念不清，一切學習將無從談起。在概念教學中，要使學生深刻理解概念，真正把知識內化為能力，就要讓學生經歷“感知、理解、升華”三個階段，進而有效地應用概念解決問題。

[關鍵詞]數學概念；教學策略；感知；理解；升華

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2018）11-0050-02

小學數學中包含著大量的數學概念，它們是構成數學知識的基礎，是數學思想與方法的載體。數學概念的學習毫無疑問是小學數學學習中的重中之重。下面筆者結合實際教學，談談如何在概念教學中引領學生經歷“感知、理解、升華”三個階段，從而深化對概念的理解與應用。

一、感知——經歷概念的發生

根據奧蘇泊爾“有意義學習”理論的研究，小學生主要是通過“概念形成”和“概念同化”兩種認知方式來學習和掌握數學概念的。而不論小學生采用哪種認知方式，都是建立在已有知識經驗的基礎之上的，他們總是從已有認知的角度出發去認識和理解新的概念。從這個角度講，學生已有的生活、知識、經驗越豐富，他們掌握數學概念就越容易。

1.提供素材，豐富直觀感性認知

概念的形成過程，對小學生來說是一種發展的過程。由于受年齡和認知水平的限制，他們還不具備從具體實例中抽象概括出事物本質特性的能力。因而在概念教學中，我們有必要為學生提供大量的學習素材，讓學生在充分感知事物的基礎上形成事物的表象，為學習理解新知奠定基礎。如在三角形、平行四邊形和梯形等平面圖形的學習中，就應引導學生深入觀察物體的不同形狀，讓學生在頭腦中建立起相應的表象，并利用這些表象去更好地理解和掌握圖形的特征。

2.巧設情境，經歷概念發生過程

概念引入的關鍵是建立感性經驗與抽象概念之間的關系，建立這種關系是概念學習的起點。因此在概念的引入教學中，教師需要思考的是創設怎樣的情境，呈現怎樣的學習材料，讓學生經歷怎樣的概念發生過程。以“方程的認識”為例，一般教師都是從天平的平衡與不平衡引出等式與不等式。學生根據教師的引導，再對這些式子進行分類，從分類中得出方程的意義。這樣的設計倒也簡潔，但還是停留在抽象的數學符號（式子）上。概念的學習應當包括理解概念的實際意義和形式（符號）意義，從這樣的角度出發會發現，有無具體的問題情境對概念的學習影響至深。下面的教學片段值得借鑒。

師（出示商品圖）：請看圖（圖1），如果要買若干個機器人模型，需要的錢與20元錢比較可能會出現哪些情況？

生：2×8+4=20；2×6<20；2x+8=20；3y+6>20……

師：你能把這些式子于分類嗎？

生：可以按是否含有未知數來分。

師：在含有未知數的式子中還可以分成兩類嗎？

（學生仔細觀察后進行二次分類，得出方程的意義）

從上面的教學過程中，我們可以看到，問題情境有利于學生理解概念的實際意義。學生經歷的這個過程，本質上就是方程概念形成的原始過程，是方程新定義的發生過程。

二、理解——經歷概念的形成

概念探究是學生理解概念的中心環節，學生形成概念的關鍵是主動發現概念的本質屬性或規律，即經歷概念的形成過程。

1.在“具體”與“抽象”的轉化中掌握概念的本質屬性

在教學中，對于一些相對抽象的內容，要盡可能地利用恰當的演示或操作使其轉化為具體內容，然后在此基礎上抽象出概念的本質屬性。例如，“圓周率”這一概念非常抽象，上課時可先讓每個學生經歷以下學習活動：寫出圓的直徑；用適合的方法測量圓的周長（如用細繩圍圓周長后測量繩長）；計算周長與直徑的比值。然后讓學生將結果整理成表格：

接著引導學生發現：不管圓的大小如何，它的周長總是直徑的3倍多一點。這時教師再揭示：這個倍數是個固定的數，數學上叫作圓周率。認識圓周率后，再讓學生畫一個圓，量出直徑和周長加以驗證。這樣，引導學生分析大量的感性材料，然后拋棄事物的非本質屬性（如圓的大小、測量時用的單位等），抓住事物的本質特征（圓的周長總是直徑的3倍多一點），加以概括，形成概念。

2.在“靜”與“動”的轉換中加深概念間的橫向理解

有些概念具有關聯性，反映了對象之間的不同關系。如垂直、平行等，都反映了兩個對象的相互關系——具有關聯性、對稱性。這些概念，從靜態的角度看是一種結構關系，用變化的觀點看則是運動過程中的某種特殊狀態。以“垂直與平行”的學習為例，學生可以采用靜態觀察與動態轉換相結合來加深對這兩個概念的橫向理解。

首先，在分類中靜態觀察。教師在明確平面的特征后拋出任務：把一張紙看作一個平面，在上面任意畫兩條直線，引導學生對同一平面內兩直線的不同位置關系進行靜態觀察與分類。

然后，創設兩個活動，引導學生在直線的動態變換中理解平行與垂直這兩個概念。（1）平移小棒的活動。將小棒與直線a重合，再平移這根小棒，說說小棒與直線的位置關系；最后改變直線a的位置，在頭腦中想象平移小棒的過程，說說結果會怎樣。（2）觀察一根小棒以交點為中心動態旋轉后與原直線相交角度的變化。這兩個活動使學生在動態的轉換中深刻感悟到直線的運動方式（平移和旋轉）和最后的運動結果（平行和垂直）之間的因果關系，使概念知識體系中的前后縱向構建更為有力；同時借助“旋轉”的動態變換來讓學生深刻體會“互相垂直”是“相交”位置關系中特殊的一類，加強概念之間的橫向溝通。

最后，上升到數學化的靜態。以師生共同整理集合圖的活動來進一步明確“在同一平面內兩條直線的位置關系”之間的概念關系，并以數學化的集合圖來靜態呈現。此時的集合圖已經經歷了直線動態變化的過程，學生的理解遠比直接呈現來得深刻。

3.在“數”與“形”的結合中突出對數概念的理解

如何讓學生更好地把握數的結構，數形結合教學是不錯的途徑。以“質數與合數”的教學為例，教學中教師引導學生列出數的乘積式和相應的矩陣。

通過觀察乘積式可以發現：任何大于1的整數都可以表示成乘積式，許多數可以寫出兩個以上的乘積式。此時再根據因數個數或數的幾何式進行分類，最后引出質數、合數概念就水到渠成了。

4.在“同”與“異”的對比中凸顯概念本質

對同類概念作對比，可概括共同屬性；對具有從屬關系的概念作類比，可突出被定義概念的特有屬性；對容易混淆的概念作對比，可澄清模糊認識，減少直觀理解的錯誤。例如，教學“統計量的認識”時，可以在“同”與“異”的對比中凸顯概念的本質。下面是相關教學片段。

教師出示四（2）班第一小組同學一次性踢毽子的個數情況：19、20、21、21、21、24。問：用什么數可以較好地反映這組同學踢毽子的整體水平？

生1：平均數、中位數、眾數都行。

師：如果將24變成54，中位數、眾數、平均數有什么變化？

生2：中位數、眾數沒有發生變化，但是平均數變大了。

師：用什么統計量來表示比較好？

生3：用中位數或者眾數來表示比較好。

……

師生達成共識：每個數據的變化都會影響到平均數。

在對比中，學生充分體會到當出現極端值時，可以運用其他統計量幫助分析，如中位數，因為中位數比較穩定。通過對比，學生比較深入地認識了平均數、中位數和眾數之間的本質差異。

5.在“是”與“非”的例證辨析中明晰概念本質

所謂例證是指能反映一類數學對象本質屬性的具體事物。一切包含有概念的共同關鍵特征的事物叫作概念的肯定例證（即正例），反之就是概念的否定例證（即反例）。在揭示概念定義后，為進一步突出概念的本質特征，可利用概念的正例或反例幫助我們厘清概念的外延。例如，在學生初步建立“由三條線段圍成的圖形叫三角形”的概念后，讓學生運用三角形概念對圖示進行判斷：

學生通過判斷加深了對三角形概念中的關鍵詞“線段”“圍成”的理解，更精確地掌握了三角形的概念。

三、升華——經歷概念的運用

在經歷了概念的發生和形成后，還要讓學生對概念有更深刻的體驗和理解，使學生能夠將學到的數學概念融入到問題解決中，這樣才能夠讓這些數學概念在課堂上變得生動活潑起來。

1.在情境變換中運用新概念解決問題

通過變換情境，增加非本質干擾因素，有利于學生在運用新概念解決問題的過程中把握概念本質。例如，教學“平均數”時，除了讓學生知道平均數的算法和初步了解平均數可以用來代表一組數據的平均水平外，還可以通過變換情境的練習，讓學生深刻理解平均數的統計意義。如：

A.小明所在班級學生的平均身高是140厘米，小強所在班級學生的平均身高是137厘米，可以說小明一定比小強高嗎？為什么？

B.一條小河平均水深1.2米，小強身高1.55米，他不會游泳，但下河玩耍肯定安全。對嗎？

2.在逆向問題解決中深化對概念的理解

瑞士心理學家皮亞杰認為，思維的可逆性是兒童數學概念形成的基礎，也是智力高的重要標志。凡是數學能力強的孩子，在一個方向上形成了聯系，就意味著在相反方向上建立了聯系，因此他們能夠迅速地辨認或理解逆向問題。因此在概念運用中，要重視逆向問題的解決。例如，學習乘法后，學生知道了相同數連加可以寫成乘法的形式，那么可以寫一個乘法算式，讓學生寫出相應的加法式子或用圖示來表示，這樣學生才算是正真理解了乘法的意義。

3.在綜合練習中尋求對概念理解的升華

能運用基本概念解決一些綜合性強的題，無疑是學習能力強的表現。如一道關于“平均數”的題：商場服裝店前3天平均每天售出衣服86件，第4天售出的衣服比4天平均售出的衣服少9件。求第4天售出衣服（ ）件。

首先，通過練習要讓學生明白求平均數的方法本質上就是“移多補少”，明確超過平均數部分之和等于未到平均數部分之和。

其次，引導學生通過圖示分析理解“9件”對應的就是前3天平均每天多于4天平均件數的數量之和（如圖2），從而得出第4天的件數：83-9=74（件）。

如此，從平均數的意義出發分析解決問題，學生對平均數的理解也就更為深刻了。

值得注意的是，概念變式的運用應服務于概念理解，并要掌握好時機，只有在概念理解的深化階段運用概念變式才能收到理想的效果。否則，學生不僅不能理解變式的目的，變式的復雜性反而還會干擾學生對概念的理解，甚至產生混亂。

綜上所述，我們在概念教學中，首先要選擇適當的素材，設計恰當的問題情境，使學生在經歷概念發生、形成的過程中，認識概念的不同特征；然后通過概念的運用訓練，使學生掌握根據具體問題的需要改變認識角度、反映概念不同特征的方法，進而深化對概念的理解，有效地應用概念去解決問題。

（責編 羅 艷）