例談高中數(shù)學知識點交匯的解題研究

摘要：隨著新課程標準的發(fā)布，單元教學提上日程，數(shù)學知識教學更加注重整體把握，高考題型不再專注于某一知識板塊的考察，更傾向于對各個板塊的靈活運用。本文就解析幾何這一板塊的例題進行解題分析，來探討數(shù)學知識點交匯解題的作用與重要性。希望能夠為廣大一線教師提供一些可行的解題經(jīng)驗。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學；解析幾何；知識點交匯

1、前言

高考試題中，解析幾何一般出一道選擇題，一道大題，有時也出一道填空題，分值大概是17分到22分之間，在高考卷中占有重要地位。在解析幾何試題研究中，發(fā)現(xiàn)僅有的圓錐曲線知識概念很多時候并不能順利解出問題，或者步驟煩雜，但是如果從函數(shù)角度或者勾股幾何角度去考慮問題，反而簡便快捷。

2、例談利用高中數(shù)學知識交匯來解題

2.1導數(shù)與不等式知識點交匯

例1證明： .

分析：左邊是多項式，右邊是三角函數(shù)，可以考慮利用三角函數(shù)的有界性，證明左邊的最小值恒大于右邊即可。

證明：構(gòu)造 ，則 .該二次式的判別式 ， ， 是 上的增函數(shù). ， ，而 ， .

點評：本題并沒有千篇一律的將不等式右邊也納入到所構(gòu)造函數(shù)中，而是具體問題具體分析，考慮三角函數(shù)的有界性，用 架橋鋪路，使問題得解.

2.2解析幾何與導數(shù)知識點交匯

例2設(shè) 是拋物線 的焦點.（I）過點 作拋物線 的切線，求切線方程.

分析：借助導數(shù)的幾何意義解決本題的切線問題，先設(shè)出切點然后寫出切線方程，代入點即可解決。

解析：設(shè)切點 .由 ，知拋物線在 點處的切線斜率為 ，故所求切線方程為 .即 因為點 在切線上.所以 ， ， .所求切線方程為 .

點評：導數(shù)的幾何意義為導數(shù)與解析幾何的結(jié)合奠定了堅實的基礎(chǔ)，從這個意義上講，導數(shù)也是數(shù)形結(jié)合的橋梁。

2.3數(shù)列與線性規(guī)劃知識點的交匯

例3設(shè)等差數(shù)列 的前 項和為 ，若 ，則 的取值范圍是 .

分析：此題將 看成兩個變量，畫出可行域，再將 看成在縱軸上的截距，利用線性規(guī)劃知識解決。

解析：設(shè) 的首項和公差分別為 ，

得 ，而 ，

做出圖像如下，可得： .

2.4平面向量與函數(shù)知識點的交匯

例4設(shè) 是非零向量，若函數(shù) 的圖象是一條直線，則必有（ ）

A. B.

C. D.

分析：將函數(shù)的解析式按x的降冪整理即可尋得解題思路。

解析：將函數(shù)解析式整理得：

，由題意該函數(shù)的圖象是一條直線，則其解析式是關(guān)于x的一次函數(shù)，所以 ，即 ，所以 。

點評：本題是利用“平面向量的數(shù)量積是一個實數(shù)”這一結(jié)論將函數(shù)和平面向量有機結(jié)合。除此之外，平面向量的坐標運算也是代數(shù)式的運算。設(shè) 則可利用下列幾個公式來建立函數(shù)關(guān)系式：

（1） ；

（2） ∥

（3）向量內(nèi)積公式 = ；

（4）兩向量的夾角公式 等。

3、運用知識點交匯解題需要注意的問題及教學啟示

根據(jù)以上幾道解析幾何題型分析我們發(fā)現(xiàn)，圓錐曲線經(jīng)常涉及其他數(shù)學板塊知識點，雖然所占內(nèi)容不多，只是某個環(huán)節(jié)需要用到，但是這也算是得分不可或缺的重要部分。高考題型考察的知識點越來越全面整體化，這要求教師平常備課講習題時注意一些新題型，在講題時注重知識點的交叉串聯(lián)。讓學生在學習解題的過程中發(fā)散思維，打破思維定式，尋求多角度多方面看待問題，提高學生的創(chuàng)新能力，靈活運用知識的能力，真正做到把書學活。

參考文獻：

[1]黃潤福.例談高中數(shù)學“換個角度”解題策略[J].數(shù)學教學通訊，2011（30）：45+47.

[2]朱允洲.新課程背景下高中數(shù)學解題策略研究[J].理科考試研究，2015，22（11）：20.

作者簡介：鄭進，女，河南洛陽人河南師范大學2017級學科教學（數(shù)學）教育碩士，主要研究方向：中學數(shù)學教育與教學。