高中數學創新題的解題策略

張麗秋

摘要：創新題綜合考查了考生的閱讀理解、數據處理、分析推理、文字概括和書面表達及知識遷移等方面的能力。解題教學中需要一定的方法。筆者探索出幾種常用的策略。

關鍵詞：高中數學；創新題；解題策略

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2018）02-0110

近年來，創新題在考卷中頻頻出現。這類根據材料提供的信息現場閱讀、理解和運用的新題型，知識背景較為寬廣，知識跨度大，包含的信息也較多，它綜合考查了考生的閱讀理解、數據處理、分析推理、文字概括和書面表達及知識遷移等諸多方面的能力。但學生創新題得分率普遍較低，其主要原因有：1. 學生無閱讀習慣，不能從閱讀中發現信息；2. 歸納、抽象、概括能力差；3. 不會大擔地猜測、假設；4. 不會構建數學模型。基于這些現狀，筆者通過演練這類創新題，發現只有理清幾種關系，那么，難題也都會迎刃而解！

一、特殊與一般關系

一般性寓于特殊之中，反之，通過對特殊規律的觀察又可發現發現一般規律，從而使特殊與一般達到和諧統一。

例1. 求證：2n>n2（n>4）.

這一規律的探索、發現可通過特殊發現一般的策略：

這是先猜想，后證明。先猜后證的數學思想應該是探索性學習的主要指導思想。

二、反面與正面關系

正如方程與函數、常量與變量、相等與不等、直與曲、有限與無限，都是正面與反面，既互相對立，又可相互轉化，有時可出奇制勝地解決問題。如解方程cos2x+3|cosx|+2=0，要去絕對值符號、顯得繁瑣，若從其反面——添絕對值符號，使其方程轉化為|cosx|2+3|cosx|+2=0，它絲毫無損于原方程的同解性，但從（|cosx|+2）（|cosx|+1）=0，分解因式，卻巧妙地解出了三角方程，這是典型的反面與正面達到和諧境界的體現。

例2. 設△ABC 的三邊a 、b、c 成等差數列，則它的三內角中至少有兩個角不超過■

分析：滿足以上條件的三角形三內角中至少有兩個角不超過■，換句話說，至多只有一個角能超過■，正面證明此論斷無從下手，采取反面切入求解——“有兩個角超過■”，因為題設有a、b、c 成等差數列，b=■（a+c），不妨設a≤b≤c推出A≤B≤C， 要使結論成立，只要證明B≤■，這時用反證法，假設B>■推出cosB<■用余弦定理■<■ a2+c2-b2a2+c2-ac，代入b=■（a+c）得出（■）2>a2+c2-ac a2+c2+2ac>4a2+4c2-4ac，得出3a2+3c2-6ac<0 ，即3（a-c）2<0矛盾，故B>■不可能，所以B≤■，得出△ABC 至少有兩個角不超于■

三、具體與抽象關系

抽象是數學的一大特點，抽象又是具體的一面鏡子，愈抽象的數學材料———空間形式、數量關系，愈有可能運用到更廣泛的領域中去，這就是具體激活抽象的理論基礎。

例4. 已知一元二次方程ax2+bx+c=0

（a≠0且a≠c）的兩個根為tanα、tanβ，求tan（α+β）的值。

分析：用韋達定理的根與系數的關系容易得出tan（α+β）=■=■=-■=■

這是相對具體的數學問題，是教材上的原型題，在和角的正切公式中，分子中有兩根之和，分母中有兩根之積，這是下面的抽象的變式題的構造特征，讀者可看出具體可以激活抽象的變式題。

例3變式：tanθ與tan（■-θ）為二次方程x2+px+q=0的兩根，且tanθ：tan（■-θ）=3∶2，求p、q的值。

解：∵θ+■-θ=■。則tan■=■=■

∴q-p=1. ①

又∵tan（■-θ）=■tanθ=■，推出關于tanθ的一元二次方程2tan2θ+ 5tanθ-3=0 tanθ=■或tanθ=-3，得tan（■-θ）=■或tan（■-θ）=-2與①結合.聯立解出p=-■p=■或p=-6p=5具體的原型題與抽象的變式題相比較，具體激活了抽象.

四、簡單與復雜關系

復雜是由簡單構造而成的，只要找到與復雜問題在結構、性質、關系等方面相似的簡單問題，再對這些簡單的類比問題看透徹了，鉆研深刻了，則簡單數學類比題可以激活復雜的數學題，復雜數學題可以迎刃而解。

例4. 設x，y，z∈（0，1），求證：x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1.

如果讀者對此題難以下手，那么可構造簡單類比題：設x，y ∈（0，1）求證：x（1-y）+y（1-x）<1.

用比差法構造函數f（x）=1-[x（1-y）+y（1-x）]將x視為變量，而將y 視為常量，可借助一次函數的圖像特征給予解決。f（x）=1-[x-xy+y-yx]=x（2y-1）+（1-y），f（0）=1-y>0，f（1）=2y-1+（1-y）=y>0.由于一次函數f（x）的圖像是一條直線，所以當00成立，故原不等式成立。

例5的證明：設f（x）=1-[x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）]=（y+z-1）x+（yz +1-y-z），由于00，f（1）=yz>0，f（x）是將y、z視為常量，而將x視為變量，故f（x）這個一次函數圖像是一條直線，當00成立，故原不等式成立。

簡單類比題的確可以激活復雜問題，華羅庚教授說：“要善于退，足夠地退，退到最原始而又不失去重要性的地方，是學好數學的一個訣竅”。其原因也是簡單類比題可激活復雜數學題。

總之，激活既有微觀激活———概念激活，又有宏觀激活———方法與策略激活，更有解題原則的激活，激活策略應該是數學解題的一大訣竅。考生在考試過程中遇到這類試題時，要沉著冷靜地仔細研讀試題提供的材料，找準突破口，和自己已有的知識建立起實質性的聯系，和諧地運用所學的數學知識和數學思想方法解決新問題。

（作者單位：浙江省蒼南縣橋墩高級中學 325800）