三角函數模型的簡單應用

肖業紅

普通高中課程標準實驗教科書必修4（人民教育出版社A版）專門設置“三角函數模型的簡單應用”一節，目的是加強用三角函數模型刻畫周期變化現象的學習，引導學生從實際問題中發現周期變化規律，并將所發現的規律抽象為恰當的三角函數模型，利用三角函數的周期性、單調性、最值、對稱性等性質解決實際問題。在教材中，共用了4個例題來介紹三角函數模型的應用。

例1的題型是根據圖像求解析式，研究溫度隨時間變化呈周期性的變化的問題。例題給出了正弦類型函數模型 ，以及部分圖像和相關數據，要求求出一天的最大溫差和函數解析式。第一問最大溫差可以直接通過圖像看出，第二問求函數解析式，通過觀察圖像確定函數解析式中的 、 ；利用單調性確定函數的周期 ，確定 ；利用特殊點，通過化歸思想求出 。此題所求出的函數模型只能近似刻畫這天某個時間段的溫度變化情況，因此要注重自變量的變化范圍。

例2的題型是根據解析式作出圖像，研究與正弦函數有關的函數 的圖像及其周期性。本質是根據解析式模型建立圖像模型，并根據圖像認識性質。

例3的題型是將實際問題抽象為與三角函數有關的簡單函數模型，研究樓高與樓在地面的投影長的關系問題。將實際問題直接抽象為與三角函數有關的簡單函數模型，然后根據所得的函數模型解決問題。

例4的題型是利用收集到的數據作出散點圖，并根據散點圖進行函數擬合得到函數模型，研究港口海水深度隨時間變化呈周期變化的問題。題目中給出了時間與水深的相關數據表，這些數據帶有現實性，學生直接利用這些數據計算函數模型是非常困難的。引導學生將表中的數據輸入計算機，畫出散點圖，通過觀察確定適當的三角函數模型。此題要根據實際背景對問題的進行具體分析，考慮實際意義。

以上四個例題循序漸進地分四個層次介紹了三角函數模型的應用，總結出解三角函數型實際問題的步驟：

（一）讀懂題，進行語言轉化，審清題意。三角函數型實際問題的語言形式多為文字語言和圖形語言并用，應根據題目背景分析實際問題，尋找數學本質因素。

（二）收集整理數據，建立數學模型。根據收集到的數據，尋找變化規律，結合三角函數、物理、生物等相關知識，將實際問題進行轉化成數學問題，確定數學模型，實現問題數學化?；具^程是：收集數據 畫散點圖 選擇函數模型 求函數模型

（三）檢驗。不符合實際要調整，重新建立函數模型。

（四）作出結論。用函數模型解決實際問題。

三角函數模型的簡單應用，貫穿于我們物理、生物等自然現象中，在現實生活中也有很多實際應用。下面通過以下例題具體實踐。

一、在物理學中的應用

例1 一個懸掛在彈簧上的小球，靜止，現從它的靜止位置鄉下拉0.2m的距離，在t=0時小球被放開并開始振動，1秒后回到原位。（1）求出描述此小球運動的一個函數解析式（2）求當 時小球所在的位置。

分析：物理學中的單擺、光波、機械波、電流等都具有周期性，且符合三角函數的相關知識，因此可以借助三角函數模型來研究物理學中的相關現象。設函數的解析式為 ，由題意可知最低點距離平衡位置0.2m，在 和 時小球都在最低點的位置，由此可以確定 ，然后代入計算。

解：（1）取向上的位移為正，設在 秒時小球相對于靜止位置的位移為 ， ，由題意，可知

。又當 時， ，所以 ，所以 ，故 。

（2）令 ，則 。故 時，小球在靜止位置的上方0.2m處。

例2 交流電的電壓 （單位： ）與時間 （單位： ）的關系可用 來表示。求（1）開始時的電壓；（2）電壓值重復出現一次的時間間隔；（3）電壓的最大值和第一次獲得這個最大值的時間。

分析：（1）開始時的電壓即 時電壓 的值；（2）電壓每周期重復一次；（3）電壓的最大值可由關系式求出。

解：（1）當 時， （V），即開始時的電壓為 。 ，即電壓重復出現一次的時間間隔為 。電壓的最大值為 ，令 ，解得 ，即 時第一次取得這個最大值。

二、在生活中的應用

例4 心臟跳動時，血壓在增加或者減少，血壓的最大值、最小值分別稱為收縮壓、舒張壓，血壓計上的讀數就是收縮壓和舒張壓，讀數 為標準值。設某人的血壓滿足函數式 ，其中 為血壓（單位為 ）， 為時間（單位： ），回答下面問題。（1）求函數 的周期；（2）求此人每分鐘心跳的次數；（3）畫出函數 的草圖；（4）求出此人的血壓在血壓計上的讀書，并與標準值比較。

分析：函數 的實際應用問題，常常涉及到函數周期、頻率、最值等，解題時將實際問題轉化成三角函數的有關問題是關鍵。本題（1）直接利用周期公式可以求出函數的周期；（2）每分鐘心跳的次數即頻率；（3）考慮用“五點法”作圖；（4）此人的收縮壓和舒張壓分別是函數的最大值和最小值，故可以求出此人血壓計上的讀數。

解：（1）因為 ，帶入周期公式 ，可得 ，所以函數 的周期為 。

（2）每分鐘心跳的次數即為函數的頻率 次。

（3）列表

0

115 140 115 90 115

描點，連線并左右擴展得到函數的簡圖（略）。

（4）此人的收縮壓為 （ ），舒張壓為 （ ）。與標準值 相比較，此人血壓偏高。

總之，用三角函數模型解決問題的關鍵是選擇恰當的函數模型，對問題作出合理的數學解釋，進而把實際問題轉化成數學問題。在解答過程中可能利用信息技術處理畫圖、求函數值、利用計算機的動態演示功能觀察函數變化情況等，方便學生有更多的時間用于對問題本質的理解。