基于計算協(xié)同學(xué)思想探究一個雙振子彈簧系統(tǒng)

曹 盼

(1. 延安大學(xué)物理與電子信息學(xué)院，陜西 延安 716000； 2. 延安市安塞區(qū)高級中學(xué)，陜西 延安 717400)

隨著個人計算機(jī)性能不斷提高和各種實(shí)用應(yīng)用軟件的開發(fā),在高中階段就可以利用計算機(jī)對復(fù)雜的物理競賽和高考題做一些有趣的探究.20世紀(jì)60年代,科學(xué)家在研究“費(fèi)米-巴斯塔-烏勒姆實(shí)驗(yàn)”時發(fā)展了一套數(shù)值和解析相結(jié)合的研究方法,從數(shù)值結(jié)果和圖形顯示中獲得定性啟示,再試圖用解析方法給予證明,然后又回來用數(shù)值分析檢驗(yàn)解析的推論,如此循環(huán)往復(fù),步步深入.烏勒姆稱之為“計算協(xié)同學(xué)”[1].

易化物理(ePhysics)是筆者自主開發(fā)的一款輕型實(shí)用的中學(xué)數(shù)學(xué)物理問題解決工具,具有計算、繪制幾何元素和參數(shù)曲線、坐標(biāo)拾取和簡單測量標(biāo)記等功能,支持的4個可變參數(shù)可實(shí)現(xiàn)動態(tài)分析.該軟件支持界面交互、命令行交互和腳本批處理3種操作方式,由于腳本是純文本文件,結(jié)合Windows默認(rèn)的腳本語言VBScript可以作為一個計算物理算法實(shí)現(xiàn)工具.

1 問題提出與數(shù)值計算設(shè)計

雙振子彈簧系統(tǒng)是高中物理競賽和中學(xué)物理雜志常討論的一個模型.文獻(xiàn)[2](簡稱郭文)利用Matlab直接給出兩振子位移和速度的解析表達(dá)式,然后繪制曲線進(jìn)行分析討論,這實(shí)際上屬于計算機(jī)“代數(shù)”[1];文獻(xiàn)[3](簡稱于文)采用數(shù)值分析的方法,利用運(yùn)動仿真模擬(可參見文獻(xiàn)[4])得到振子的速度圖像,并做簡要分析.筆者讀后深受啟發(fā),一是感到郭文在高中有些突然,二是感到于文意猶未盡,恰逢讀到“計算協(xié)同學(xué)”的思想,于是從計算物理實(shí)驗(yàn)的角度做了如下研究.

在圖1中,物塊A、B的質(zhì)量相等,在物塊A上施加一水平恒力F作用,物塊B足夠長,放置在水平地面上,所有接觸面都是光滑的.輕彈簧開始處于原長,運(yùn)動過程中始終處于彈性限度內(nèi),開始時物塊A、B是靜止的.求物塊A、B運(yùn)動的速度隨時間的變化規(guī)律.

圖1 一個雙振子彈簧系統(tǒng)示意圖

設(shè)A和B的質(zhì)量分別為m1和m2,本題中m1=m2=m.分別對物塊A和B應(yīng)用牛頓第二定律得

F-k(x1-x2-l0)=m1a1.

(1)

k(x1-x2-l0)=m2a2.

(2)

以上方程組中有交叉項(xiàng)且很復(fù)雜,下面用數(shù)值仿真的方法計算.算法設(shè)計如下:先給定相關(guān)參數(shù)(質(zhì)量、彈簧原長、外力和勁度系數(shù)等),根據(jù)(1)、(2)兩式計算兩物塊的加速度,在“足夠短”時間dt內(nèi)分別計算末速度,用對應(yīng)的新速度按勻速直線運(yùn)動計算位移,并計算兩物塊的位置坐標(biāo),畫線連接每一小段的速度,最后更新速度進(jìn)入循環(huán)直到條件滿足時退出,VBScript操作易化物理的實(shí)現(xiàn)程序見表1.

表1 VBScirpt操作易化物理的實(shí)現(xiàn)程序

程序采用VBScript有兩個優(yōu)勢,一是VB語法(高中數(shù)學(xué)必修課作為算法實(shí)現(xiàn)語言)有廣泛的學(xué)生基礎(chǔ),二是無需用戶安裝解釋器,文本文件另存為*.vbs雙擊打開就可運(yùn)行.經(jīng)過筆者封裝優(yōu)化后,調(diào)用易化物理的只有設(shè)置線段wlSetL和畫線wlLine兩個語句,從以上程序可以看出VBScript和易化物理的結(jié)合是很緊湊的.注意VBScript程序不要求先定義,但作為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)某绦蚬P者還是傾向于先定義.

2 計算結(jié)果數(shù)據(jù)的深入分析

2.1 計算結(jié)果的直觀分析

上述程序運(yùn)行結(jié)果如圖2,速度圖像與文獻(xiàn)[3]給出的結(jié)果相同.由圖2可以看出兩條速度曲線周期性相交,交點(diǎn)表明彈簧伸長或壓縮到最大,此時兩者速度相等可看成整體.觀察這些交點(diǎn)落在一條直線上,表明整體總的來講有一個勻變速直線運(yùn)動的大趨勢,這與質(zhì)心運(yùn)動定理的結(jié)果是一致的.

圖2 兩物塊的速度圖像

圖3

周期性容易使人聯(lián)想到一個彈簧振子,按正弦或余弦規(guī)律變化,因此雙振子的運(yùn)動可以看成質(zhì)心的勻加速直線運(yùn)動和彈簧引起的正余弦運(yùn)動的疊加,即v=act+vmsin(ωt+φ0).下面根據(jù)易化物理提供的動態(tài)參數(shù)曲線功能對圖像(數(shù)值計算結(jié)果)進(jìn)行擬合,得到相關(guān)的“實(shí)驗(yàn)參數(shù)”,這里的實(shí)驗(yàn)是計算物理實(shí)驗(yàn),其研究對象是數(shù)學(xué)模型而不是客觀實(shí)體,但兩者的基本思想是一致的.擬合通常采用的最小二乘法，對很難求解的復(fù)雜問題,人們可以根據(jù)圖像快速判斷兩條曲線是否重合,這利用了人類知覺具有的結(jié)構(gòu)優(yōu)勢效應(yīng),研究表明人在識別外界事物時,物體的整體結(jié)構(gòu)對識別物體本身起到有利的作用[5].

2.2 計算實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的獲取

在表1VBScript程序中添加繪制動態(tài)曲線的代碼見表2.

表2

F/(m1+m2) 表示質(zhì)心加速度(直接利用2.1的結(jié)論),k和m是由工具欄兩個滑竿直接控制的可變參數(shù)(進(jìn)一步可由方向鍵微調(diào)),b由鍵盤W/S控制,為了獲得參數(shù)只需輸入顯示代碼見表3,其中yB控制文本位置,參數(shù)k和m分別對應(yīng)最大速度vm和角速度ω.

表3

先取b=0,保持k(vm)不變，調(diào)整好m(ω)使周期一致,然后再調(diào)整k(vm)使大小與v1重合,運(yùn)行結(jié)果分別見圖4和圖5,得符合條件的參數(shù)為vm=0.5 m/s,ω=10 rad/s.調(diào)整b可知,v2和v1相差相位π.

圖4 保持k(vm)不變調(diào)整m(ω)

圖5 進(jìn)一步調(diào)整k(vm)使重合

為了探究vm和ω的物理意義,利用控制變量的方法分別實(shí)驗(yàn),實(shí)驗(yàn)結(jié)果見表4、表5和表6.

表4 F=10 N,k=50 N/m,改變m(kg)

表5 F=10 N,m=1 kg,改變k(N/m)

表6 k=50 N/m,m=1 kg,改變F(N)

2.3 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的作圖分析

圖6

圖7

圖8

圖9

圖10

3 代入方程驗(yàn)證猜想解析式

將比例系數(shù)和組合物理量代入擬合曲線得

(3)

(4)

兩式積分并將初始條件代入得

(5)

(6)

將(3)、(4)式微分得

(7)

(8)

不難證明(5)～(8)式和(1)、(2)兩式是等價的.

結(jié)論:本文在“計算協(xié)同學(xué)”的基本思想下利用新型計算軟件,以一個雙振子彈簧系統(tǒng)為例,從計算物理實(shí)驗(yàn)出發(fā),通過數(shù)據(jù)分析、猜想和證明給出了一種在高中階段應(yīng)用計算機(jī)探究復(fù)雜物理問題的方法.

參考文獻(xiàn)：

1 郝柏林,張淑譽(yù). 數(shù)字文明:物理學(xué)和計算機(jī)(第2版)[M]. 北京:科學(xué)出版社,2017：142-147,137-138.

2 郭學(xué)鵬,姜愛偉. 剪斷細(xì)線后如何運(yùn)動——MATLAB數(shù)值求解[J]. 物理教學(xué),2017(5)：54-56.

3 于志明. 用數(shù)值方法分析兩例力學(xué)問題[J]. 物理教師,2017(5)：60-62.

4 曹盼. C/C++在分析小氣球運(yùn)動中的應(yīng)用[J]. 物理教師,2013(12)：68-69.

5 全國十二所重點(diǎn)師范大學(xué)編寫. 心理學(xué)基礎(chǔ)(第2版)[M]. 北京:教育科學(xué)出版社,2008：119-120.