一道物理競賽題的新解法

劉 紅

(重慶市第一中學校，重慶 400030)

亞里士多德說，誰不了解運動,誰就不了解自然．運動學問題一直是各級各類物理競賽的熱點,而相對運動又是運動學的精髓．縱觀歷年來的競賽試題,相對運動都是賽題的考察重點．那么如何在平時的教學中對相關的思維方法進行有效的訓練和滲透呢?筆者結合自己多年的教學實踐,通過一道競賽題目的兩種新解法來談談這方面的看法,以期起到對相關競賽專題輔導的拋磚引玉作用．

圖1

題目.如圖1所示,河水流速為ω,流向與河岸平行,河岸上A處站著一個男孩,他沿河岸以速度v跑動,而在水中游泳的速度為u(相對于水),且u<ω．試問:為能在最短時間內到達河中的浮標B處,該男孩從河岸下水的C點與A點之間的距離x應該為多少?已知浮標到岸的距離BD為h,A、D兩點間的距離AD=l．

分析:浮標B相對地是靜止的,河水相對于地以ω的速度向下游流去,也就是河水相對于浮標B以ω的速度向下游流去．根據運動是相對的,如果我們選河水為參考系,這樣浮標B就以ω的速度向河的上游運動．男孩在岸上相對于地以v的速度向上游跑,地相對于河水也以ω的速度向上游運動,據速度疊加原理v人→水=v人→地+v地→水知，男孩在岸上奔跑時相對水的運動速度就是v+ω．男孩下水后在水中相對于水的速度據題意知是u．這就變為男孩在岸上以v+ω的速度,在水中以u的速度去追以速度ω運動的浮標B,如圖2所示．

假設男孩在E點下水,他最終在F點追上了B,男孩在岸上從A運動至E,在水中從E運動至F．男孩在岸上的運動可以用水中的運動來等效,因為題目求的是時間最短的條件下的運動距離,只要時間等效即可．AE段的運動用GE段的運動來等效,有

圖2

(v+ω)t1sinα=ut1.

(1)

圖3

這樣出發點A就可以等效到AG連線上的G點,就變為了男孩以同一速率u從G點出發經E到F．也就是A→E→F的時間與G→E→F的時間相同．但G→E→F并不是從G→F的最短路程,當然就不是男孩追上浮標的最短時間．據幾何關系和做勻速率運動物體的路程與時間成正比,可知男孩追上浮標的最短時間應該是GE與EF在一條直線上且垂直AG的路徑(圖3中的G′F),如圖3所示．

圖4

男孩從A點出發,浮標同時從B點出發,只要男孩的下水點選擇適當,就可以在浮標的運動方向上與浮標相遇于F(F′)點,如圖4．

解法1: (1) 以水為參考系.在男孩運動至浮標用時最短的條件下,據運動距離的關系，設男孩由A運動到F(等效從G運動至F)所用最短時間為t．浮標相對水運動的距離為

ωt=y+htanα.

(2)

(3)

聯立(2)、(3)式解得

圖6

解法2:據分析可知,男孩在水中相對水的運動方向與垂直河岸方向成α角時,用時最短．男孩在水中相對岸的速度,據相對運動的關系有v人→岸=v人→水+v水→岸,如圖7所示．據題意u<ω,一定有usinα<ω,所以男孩下水后在河岸的方向上相對岸向河的下游運動,所以男孩的下水點應該在D點的上游C點．設男孩由A運動到B所用最短時間的情況下,男孩在水中運動的時間為t,AD=l, 據運動的分解有

utcosα=h.

(4)

x-l=(ω-usinα)t.

(5)

圖7

聯立(1)、(4)、(5)式解得

相對于一些競賽資料上給出的“構建波的攝動傳播的前面”方法來研究這個問題,本文中的兩種方法更突出運動的本質——相對運動這個運動學的精髓,而且高中生也更好理解．

在這類競賽題中,常見的情況有以下兩種: (1) 水不動(湖水),人離岸有一段距離,人在岸上的速度比人在水中游的速度大時,可求人到達水中某一定點的最短時間,或者判斷人能否追上水中一做勻速運動的物體．(2) 就如本題,人在岸邊,水運動(河水)的情況．都可以用類似方法求解．但人從離河岸有一段距離的位置出發,水又在動的情況較為復雜,有興趣的人可以去思考．

參考文獻：

1 曹曉彬主編.高中物理奧賽講義(第1分冊)[M].杭州： 浙江大學出版社，2013：33-34.

2 彭大斌編著.物理競賽教程(第3版)高一年級[M].上海： 華東師范大學出版社，23-31.