一道經典電磁感應題目的深入分析

董靜雨

(石家莊市第二中學,河北 石家莊 050000)

在中學“電磁感應”教學中,有一些電磁感應過程,在中學階段是難解釋清楚的．如有這樣一道經典題目,題目主要考察學生利用楞次定律判斷閉合回路中的感應電流方向．筆者在通過對學生的錯誤解答的深入分析后,又從理論角度進行推導,發現本題中的另一番風味．

1 一道經典題目

圖1

AOC是光滑的直角金屬導軌,AO沿豎直方向,OC沿水平方向,ab是一根靠立在導軌上的金屬直棒(開始時b離O點很近),如圖1所示．它從靜止開始在重力作用下運動,運動過程中a端始終在AO上,b端始終在OC上,直到ab完全落在OC上,整個裝置放在一勻強磁場B中,磁場方向垂直紙面向里,則ab棒在運動過程中

(A) 感應電流方向始終是b→a.

(B) 感應電流方向先是b→a,后變為a→b.

(C) 所受安培力方向垂直于ab向上.

(D) 所受安培力方向先垂直于ab向下,后垂直于ab向上.

本題的正確選項是(B)、(D)．幾乎所有可查到的分析均如下:初始,ab與直角形金屬導軌圍成的三角形面積趨于0,末狀態ab與直角形金屬導軌圍成的三角形面積也是趨于0,所以整個運動過程中,閉合回路的面積是先增大后減小．根據楞次定律的增反減同,判斷電流方向先是逆時針后是順時針,選項(A)錯(B)對．根據左手定則判斷安培力可得安培力先是垂直于ab向下,后垂直于ab向上,選項(C)錯(D)對．

2 錯因分析

學生的錯誤答案是選項(A)、(C)．其原因是因為學生在分析此題時,認為金屬棒ab在運動過程中切割磁感線產生電動勢,b點的速度始終水平向右且有垂直于棒向上的分速度,故利用右手定則判斷出感應電流方向始終是b→a,再利用左手定則判斷出所受安培力方向垂直于ab向上,從而得出錯誤的答案選項(A)、(C)．

學生認識到回路中產生的電動勢實質是動生電動勢,這一點是正確的．這一電動勢是金屬棒ab在運動中切割磁感線產生的．然而,由于學生知識所限,在分析金屬棒切割方向時出現錯誤,導致得到錯誤答案．

在切割類電動勢中,動生電動勢的大小為Blv．在磁感應強度B、導體棒切割長度l和切割速度v3個參量中,若其中任意兩者平行,則不會產生動生電動勢．

圖2

金屬棒ab的運動,在題給圖示位置時,b端有水平向右的速度vb,同時a端有豎直向下的速度va,如圖2所示．

兩速度在沿棒方向的分速度v∥相等,這一分速度并不切割磁感線,對電動勢沒有貢獻．但是,b端垂直棒向上的分速度vb⊥與a端垂直棒向下的分速度va⊥均切割磁感線,對回路電動勢有貢獻．這種切割可以等效為金屬棒ab在繞著棒上某點O2逆時針旋轉切割磁感線．O2點是金屬棒中僅有沿棒的分速度而沒有垂直棒的分速度的一點．因此O2b端切割產生的電動勢方向為b→a,O2a端切割產生的電動勢方向為a→b,整個金屬棒ab中的電動勢為兩者之和．在初始瞬間,a點速度沿棒方向,垂直棒方向分速度為0,b點速度垂直棒方向,沿棒速度為0,故O2點在a點;在末態瞬間,a點速度垂直棒方向,沿棒速度為0,b點速度沿棒方向,垂直棒速度為0,故O2點在b點．在運動過程中,O2點從a點逐漸移動到b點,前一段時間內O2b長度大于O2a長度,O2b段產生電動勢大于O2a段電動勢,故金屬棒ab中電動勢方向為b→a;當O2點位于棒中點時,金屬棒中電動勢為0,此后過程中由于O2a長度大于O2b長度,O2a段產生電動勢大于O2b段電動勢,故金屬棒ab中電動勢方向為a→b．結合左手定則可得到本題正確選項為(B)、(D)．

上面是從定性角度對題目進行分析,下面從定量角度再次對題目做更深入詳盡的討論．

3 理論分析

根據感應電流與感應電動勢的關系,我們可以通過定量計算金屬棒滑動過程中任意時刻ab兩端的動生電動勢,進而分析回路中感應電流．

為了簡化金屬棒中感應電動勢的計算,我們假設金屬棒與直角金屬導軌絕緣接觸,即電路開路,僅有感應電動勢,沒有感應電流．在這種情況下,金屬棒由靜止狀態在重力作用下順著墻壁滑下,金屬棒減少的重力勢能轉化為其增加的動能.

ΔEp=-ΔEk.

(1)

在某一時刻t,金屬棒到達圖2所示狀態,設金屬棒質量為m,棒長為L,a端縱坐標為y,金屬棒的動能為Ek．從初始狀態到此時刻,根據能量守恒有

(2)

在此時刻,選取金屬棒的速度瞬心O1為參考點,此時金屬棒僅有轉動動能,故Ek可以表示為

(3)

式中I為金屬棒繞速度瞬心的轉動慣量．在不同時刻時,金屬棒的速度瞬心不同,根據圖中幾何關系及平行軸定理[1],能夠證明任意時刻時金屬棒繞速度瞬心的轉動慣量均為

(4)

(5)

過金屬棒的速度瞬心作金屬棒的垂線交金屬棒O2點,此O2點只有沿金屬棒的速度,沒有垂直金屬棒的速度分量．因此,金屬棒ab中的電動勢可以認為是金屬棒aO2和金屬棒bO2分別繞O2點旋轉切割磁感線產生的電動勢的和，即

(6)

式中rb和ra分別表示金屬棒bO2和金屬棒aO2的長度．根據幾何關系得

(7)

由(5)～(7)式解得金屬棒ab的電動勢為

(8)

利用MATLAB軟件模擬出在B=0.5 T,L=1.0 m,g=9.8 m/s2的情況下,金屬棒中的電動勢變化規律如圖3所示．

圖3

圖4

4 拓展

若將直角形金屬導軌換成固定的圓形導軌,如圖4所示．根據上述分析可知金屬棒ab在轉動過程中速度瞬心O1一直保持在圓形導軌圓心處不變,故棒上只有沿棒速度的點O2始終固定在棒的中點,此時切割可等效為棒繞中點的旋轉切割,且兩端的電動勢始終等大反向,總和為0．

5 小結

中學階段對于電磁感應現象中感應電動勢的討論,由于所學知識的限制,在很多情況下,如本題所給情景,是沒有辦法給出詳細解釋的．以上對本題目的討論中,不僅對學生的能力提出了更高的要求,同時也對教師的能力提出了更高的要求．對于學生的錯解,歸根結底在于學生的“想當然”,沒有嚴謹深入地吃透物理模型．在高中物理題目中偶有相似的題目出現,其中的錯誤具有很強的迷惑性．作為高中物理教師,應該從普通物理的高度去理解知識,準確地把握物理模型的內涵,才能在高中物理知識的講解中做到清晰透徹,不被此類的錯誤所迷惑．

以上是筆者的一孔之見,不妥之處,請各位同仁賜教．

參考文獻：

1 漆安慎，杜嬋英. 普通物理學教程·力學[M]. 北京:高等教育出版社,2011(9)： 225-226.