如何提高中等學生第一輪復習效率

王富美

[摘要]中等學生人數占優，研究如何提高中等學生第一輪復習效率具有實際意義.

[關鍵詞]高中數學；中等學生；復習；效率

[中圖分類號]G633.6[文獻標識碼]A[文章編號]16746058（2018）08003102

從2016年開始，廣東省高考試卷由自主命題轉為參加全國一卷，廣大高三教師通過一年的高三復習備考積累了一定的經驗，各地方都舉行各種的經驗交流活動.

本人于2016年9月14日參加了由惠州市教研室組織在惠東高級中學舉行的高三教師教研會，聽了一節王老師執教《同角三角函數基本關系及誘導公式》的公開課，王老師采用了高三復習課“知識梳理、基礎自測、核心考點、鞏固練習”的常規模式，根據學生的實際情況，成功完成了大題量的練習，學生反應較好.通過本堂課，本人覺得，面對廣東省普通高中學習成績和學習能力一般的中等學生，我們教師在高三第一輪復習課中可以做如下的改進.

一、知識考點探究，抓住“源”和“本”

縱觀2016年的全國卷可以發現，有很大一部分試題是課本上的例題和練習的改編.因此，教師應該要重視課本的例題和練習.

【例1】（教材改編）已知α是第二象限角，sinα=5/13，則cosα=（）.

A.-5/13B.-12/13C.5/13D.12/13

點評：該題重點在于同角三角函數基本關系（sinx）2+（cosx）2=1的應用.筆者認為通過該題的解答還應當幫助學生進行小結：

（1）提醒學生該題的核心知識點是（sinx）2+（cosx）2=1.

（2）上知識點出現有哪些題型或變形，核心的東西是什么？

可變題型①：已知sinα，求cosα和tanα或者已知cosα，求sinα和tanα（核心是同角關系和角度α所在象限的討論）.本題屬于簡單題，直接利用公式即可.

可變題型②：已知tanθ=2，則sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=（）.

A.-4/3B.5/4C.-3/4D.4/5

本題難度有所提高，方法比較多.

解法一：分θ為第一、第三象限角兩種情況分別求出sinθ和cosθ，代入所求式子可得（核心內容考察同角關系和分類討論）.

解法二：將tanθ=2和sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ分別將條件和所求轉化為sinθ=2cosθ和

（sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ）/（sin2θ+cos2θ），再將sinθ=2cosθ代入（sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ）/（sin2θ+cos2θ）化簡可得.核心內容為同角基本關系、“1”的靈活運用、轉化思想的運用.

解法三：將sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ分別轉化為（sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ）/（sin2θ+cos2θ）后分子和分母同時除以cos2θ，將正弦和余弦轉化為正切再進行計算可得.核心內容增加了“切弦互化”的思想方法.

（3）針對該題型采取什么樣的辦法去解決？

該類題型和知識點往往出現在選擇題或填空題當中，考生應當要避免小題大做，盡量節省時間.教師在平時就要提醒學生有這種意識并適當訓練.

二、題型探究，抓住“變”和“歸一”

高三學生已經有了基本的知識和技能，這就要求高三的第一輪復習課應該讓學生在梳理知識、總結題型的規律方法、構建各知識點間的聯系等方面得到提高，對于典型題要讓學生盡量反思，做到一題多解，一題多變，多題歸一.

【例2】已知tanθ=2，則sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=（）.

A.-4/3B.5/4C.-3/4D.4/5

解題結束后應該對該題進行小結，培養學生“就題論題→就題論法→就題論道”的分析、解決一類問題的能力，從而提升他們的數學素養.

小結（1）.例2中的條件tanθ=2，還可以做一些變形.如，變為tanθ/2=2，3sinθ+cosθ=0，tan（π/4+θ）=2，tanθ=a，sin（3π+θ）=2sin（3π/2+θ）分別如何去解答例2.

小結（2）.例2中的問題又可以做哪些變形呢？變形如下：（2sinθ-cosθ）/（sinθ+2cosθ）；1/（cos2θ+sin2θ）；（sin2θ-cos2θ）/（1+cos2θ）.變形之后分別該怎樣解決？

小結（3）.該類型題考察的核心內容是（sinx）2+（cosx）2=1、tanx=sinx/cosx、“1”的靈活運用，重在掌握他們間的相互轉化.

【例3】已知sinαcosα=1/8，且5π/4<α<3π/2，則cosα-sinα的值為（）.

A.-3/2B.3/2C.-3/4D.3/4

本例在講解基本解法后應幫助學生進行總結和歸納：

小結（1）.本題考查的主要知識是同角三角函數基本關系中sinx+cosx，sinx-cosx，

sinxcosx間的基本關系和象限角、三者正負的判斷.

小結（2）.解決該類型題的基本方法是抓住sinx+cosx，sinx-cosx的平方與sinxcosx及“1”間的加減平方運算，任意知道其中的一個可以求出另外的兩個.

小結（3）.條件和問題可以進行各種的變形.如：sinαcosα可以變形為sin2α；sinα+cosα、sinα-cosα可變形為cos2α、sin3α+cos3α，sin3α-cos3α，sin（π-α）±2sin（π/2+α）等.角度范圍可以變形為“在三角形中”.

【例4】已知sin（α+π/12）=1/3，則

cos（α+7π/12）的值為.

就題論題：本題考查的主要知識點是誘導公式，難點是找出兩個角度α+π/12與α+7π/12間的關系.解答如下：cos（α+7π/12）=cos（（α+π/12）+π/2）

=-sin（α+π/12）=-1/3.

就題論法：

①該類題型要求熟練誘導公式，對“奇變偶不變，符號看象限”有透徹的理解；

②解決該類題型時要具有整體的思想，不要輕易將條件中的角度用正弦、余弦的和、差角公式展開，而應該盡量將角度看成整體，觀察這些整體角度間的關系（通常是加、減后得出特殊角）.

③體現出一題多變.小結常見的角度組合有：（π/6-α）+（α-2π/3）=-π/2；（π/6-α）+（π/3+α）=π/2；（π/4-α）+（π/4+α）=π/2；（α+β）=（α+π/4）+（β-π/4）；（α+β/2）=（π/4+α）-（π/4-β/2）；2α=（α-β）+（α+β）；2β=（α+β）-（α-β）；（α+β）=2[（α-β/2）-（α/2-β）]；2（α+π/6）=（2α+π/12）+π/4及它們的變形式.

就題論道：角度間的關系其實就是通過對角度的加、減、2倍的運算構造等式或者配湊成特殊角.如：±π/2，±π/4，±π/3，±π/6等.然后再利用三角公式進行解題.

三、感悟體會

在廣東省普通高中，有很大一部分的學生數學基礎和數學學習能力一般，這些學生在全國一卷的試卷難度增加的情況下，要提高數學成績，在高三一輪數學復習中就需要教師進行正確的方向指導和知識、規律方法的歸納總結.

在知識點方面要做到面面俱到，不要有遺漏，認真的研究考試大綱和考試說明，對知識內容準確地把握知識間內在的聯系，找到高考試題設計的突破口；在解題技巧方面要針對不同題型采取不同的解題方法，盡量避免小題大做，大題要解題規范；在學習習慣方面要經常反思，歸納小結，實現從就題論題到就題論法再到就題論道的質的提升，要積極引導學生通過問題的解決梳理知識間的聯系、做到觸類旁通，舉一反三.在教材的處理方面要重視教材的作用，發揮其教學功能，特別是專家通過精選的例題和閱讀材料.另外，還要在學生知識點得到落實的基礎上激發學生的好奇心和求知欲，使他們積極投身于學習活動中，“興趣是最好的老師”只有學生自己行動起來，才能收到好的教學效果.

（責任編輯黃桂堅）