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例析數學解題中添加輔助線技巧

2018-05-23 11:16:12莊周燕
中學教學參考·理科版 2018年3期
關鍵詞:技巧初中數學

莊周燕

[摘要]輔助線在數學解題中起著重要的橋梁作用,通過添加適當的輔助線,可使解題過程由繁變簡,由難變易.探尋添加輔助線的方法有實際意義.

[關鍵詞]初中數學;輔助線;添加;技巧

[中圖分類號]G633.6[文獻標識碼]A[文章編號]16746058(2018)08002602

學生解決一些幾何問題時,往往做著做著就遇到了瓶頸,這時需要改變解題思路,添加適當的輔助線,理順已知和求證之間的聯系,使解題過程由繁變簡,由難變易.這一過程有助于提高學生分析問題和解決問題的能力.

一、案例在線

例題:如圖1所示,點P是等邊△ABC外一點,∠APC=60°,PA、BC交于點D,求證:PA=PB+PC.

二、分析與證明

方法一

分析:

本題考查的是三條線段PA、PB、PC之間的數量關系,三條線段共有端點P,但又不在同一條直線上,因此考慮在最長的線段PA上截取線段AM與PC相等,接下來只要證線段BP與PM相等.而證明兩條線段相等,通常證兩個三角形全等,此時輔助線呼之欲出.連接BM,證明△ABM≌△CBP.進一步探究發現,△ABD和△CPD構成了一個“八字形”的圖形,因為∠ADB=∠PDC以及三角形內角和等于180°,不難得出∠ABD+∠BAD=∠DPC+∠DCP.又因為∠ABD=∠DPC=60°,所以∠BAD=∠DCP.又因為△ABC是等邊三角形,所以有AB=BC.對于此題來說,此時已經具備了證明兩個三角形全等所需的三組對應條件,接下來證明水到渠成.

證明:

如圖2所示在AP上截取AM=PC,

∵△ABC為等邊三角形,

AB=BC,∠ABC=60°.

在△ABD中,

∠ABD+∠ADB+∠BAD=180°,

即60°+∠ADB+∠BAD=180°.

在△PCD中,

∠APC+∠PDC+∠PCD=180°,

即60°+∠PDC+∠PCD=180°.

∵∠ADB=∠PDC,

∴∠BAD=∠PCD.

又∵AM=PC,

∴△ABM≌△CBP(SAS),

∴∠ABM=∠PBC,BM=BP.

∵∠ABC=60°,

即∠ABM+∠MBC=60°.

∴∠PBC+∠MBC=60°.

即∠PBM=60°.

又BM=BP,

∴△BMP為等邊三角形.

∴PM=BP,

∵PA=PM+MA,

∴PA=PB+PC.

方法二

分析:

如果說方法一是通過將已知線段截取的方法來思考的話,我們還可以通過延長線段的方法加以解決,延長線段PC至F,使PF=PA,只要證PB=CF即可.接下來只需證△ABP≌△ACF,得BP=CF.難點得以突破,具體解答如下.

證明:如圖3所示,

延長PC至F,使PF=PA,連接AF.

∵∠APC=60°,PF=PA,

∴△APF為等邊三角形,

∴∠PAF=60°,AP=AF,

∴∠PAC+∠CAF=60°.

∵△ABC為等邊三角形,

∴∠BAC=60°,AB=AC,

∴∠BAP+∠PAC=60°,

∴∠CAF=∠BAP,

∴△ABP≌△ACF(SAS),

∴BP=CF.

∵PA=PF=PC+CF,

∴PA=PB+PC.

方法三

分析:

如果說上面的兩種解法是從線段的角度加以考慮,我們還可以從角的角度分析,構造角相等.因為∠ABC=60°,我們作∠PBM=60°,此時∠ABC=∠PBM,通過在等式兩邊同時減去∠CBM,可得∠ABM=∠CBP,要證明兩個角相等,同樣可證兩個三角形全等.BM這條輔助線,巧妙地連接未知和已知,使解題思路清晰,為證明本題創造了條件.

證明:

如圖4所示,作∠PBM=60°,交AP于點M.

∵△ABC為等邊三角形,

∴∠ABC=60°,AB=BC,

即∠ABM+∠MBC=60°.

又∵∠PBM=60°,

∴∠PBC+∠MBC=60°,

∴∠ABM=∠PBC.

在△ABD中,

∠ABD+∠ADB+∠BAD=180°,

即60°+∠ADB+∠BAD=180°.

在△PCD中,

∠APC+∠PDC+∠PCD=180°,

即60°+∠PDC+∠PCD=180°.

∵∠ADB=∠PDC,

∴∠BAD=∠PCD,

∴△ABM≌△CBP(ASA),

∴BM=BP,MA=PC.

又∠PBM=60°,

∴PM=BP,

∵PA=PM+MA,

∴PA=PB+PC.

三、教學啟示

本題考查的是兩種常見圖形(等邊三角形和全等三角形)以及它們的性質和判定的應用,綜合性較強,有一定的難度.但離不開我們證明線段相等或角相等常見的思維模式,即證兩個三角形全等.當我們發現圖中沒有全等的三角形時,需要借助輔助線來解決,降低證明難度.而輔助線方法是多樣的,需要我們總結規律,掌握輔助線添加的技巧,力求在解題中收到事半功倍的效果.

1.從基本圖形中尋找“線”影.

本題全等三角形的構造是證明線段或角相等的關鍵,它給我們提供了一條思維途徑,我們可從題目中抽象出基本圖形,變為我們所熟悉的題型.雖然教材中關于全等三角形證明的習題較多,但試題往往源于教材又高于教材,所以需要我們平時在幫助學生打好基礎知識的前提下,引導他們探尋解題規律,通過觸類旁通,尋找輔助線的身影,提升學生的數學思維能力和解題能力,這樣當學生再遇到此類問題時,就不會束手無策,而是能靈活和綜合運用所學知識.

2.從解題積累中尋覓“線”路.

通過添加不同的輔助線,可得出不同的解題方法.輔助線雖千變萬化,但并非無跡可尋.陶行知曾說:“接知如接枝.”我們要重視學生通過親身實踐,在一定感性認識的基礎上,通過不斷思考,達到知識的理解和觸類旁通.解題經驗的積累,有利于學生掌握好數學解題方法.一旦找到解題的切入點,打開思路,下面的問題就會順利解決.若將所學輔助線的方法加以整理,形成一個完整的知識方法系統,就會成為學生取之不盡的源泉,對他們核心素養的培育起到促進作用.

3.從題目解讀中發現“線”跡.

本題中∠APC=60°是一個關鍵條件.它想要傳達什么數學信息,怎樣將這個條件有效利用,找到最優的輔助線?需要我們從不同思維角度去尋覓解題的途徑.通過對圖形的觀察與分析,揣摩出編者出題的意圖,通過感悟出題的角度和方向,培養學生思維的廣闊性.

輔助線在數學解題時起到非常好的橋梁作用.我們常說“學無定法”,輔助線的添加也是如此.同一道數學題,輔助線可能有不同的添加策略,到底選擇哪種,需要學生加強訓練,積累豐富的數學經驗.讓學生體驗數學的思考方法和探尋之樂,這樣在以后遇到難題時,才能得心應手.

(責任編輯黃桂堅)

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