例析數學解題中添加輔助線技巧

莊周燕

[摘要]輔助線在數學解題中起著重要的橋梁作用，通過添加適當的輔助線，可使解題過程由繁變簡，由難變易.探尋添加輔助線的方法有實際意義.

[關鍵詞]初中數學；輔助線；添加；技巧

[中圖分類號]G633.6[文獻標識碼]A[文章編號]16746058（2018）08002602

學生解決一些幾何問題時，往往做著做著就遇到了瓶頸，這時需要改變解題思路，添加適當的輔助線，理順已知和求證之間的聯系，使解題過程由繁變簡，由難變易.這一過程有助于提高學生分析問題和解決問題的能力.

一、案例在線

例題：如圖1所示，點P是等邊△ABC外一點，∠APC=60°，PA、BC交于點D，求證：PA=PB+PC.

二、分析與證明

方法一

分析：

本題考查的是三條線段PA、PB、PC之間的數量關系，三條線段共有端點P，但又不在同一條直線上，因此考慮在最長的線段PA上截取線段AM與PC相等，接下來只要證線段BP與PM相等.而證明兩條線段相等，通常證兩個三角形全等，此時輔助線呼之欲出.連接BM，證明△ABM≌△CBP.進一步探究發現，△ABD和△CPD構成了一個“八字形”的圖形，因為∠ADB=∠PDC以及三角形內角和等于180°，不難得出∠ABD+∠BAD=∠DPC+∠DCP.又因為∠ABD=∠DPC=60°，所以∠BAD=∠DCP.又因為△ABC是等邊三角形，所以有AB=BC.對于此題來說，此時已經具備了證明兩個三角形全等所需的三組對應條件，接下來證明水到渠成.

證明：

如圖2所示在AP上截取AM=PC，

∵△ABC為等邊三角形，

AB=BC，∠ABC=60°.

在△ABD中，

∠ABD+∠ADB+∠BAD=180°，

即60°+∠ADB+∠BAD=180°.

在△PCD中，

∠APC+∠PDC+∠PCD=180°，

即60°+∠PDC+∠PCD=180°.

∵∠ADB=∠PDC，

∴∠BAD=∠PCD.

又∵AM=PC，

∴△ABM≌△CBP（SAS），

∴∠ABM=∠PBC，BM=BP.

∵∠ABC=60°，

即∠ABM+∠MBC=60°.

∴∠PBC+∠MBC=60°.

即∠PBM=60°.

又BM=BP，

∴△BMP為等邊三角形.

∴PM=BP，

∵PA=PM+MA，

∴PA=PB+PC.

方法二

分析：

如果說方法一是通過將已知線段截取的方法來思考的話，我們還可以通過延長線段的方法加以解決，延長線段PC至F，使PF=PA，只要證PB=CF即可.接下來只需證△ABP≌△ACF，得BP=CF.難點得以突破，具體解答如下.

證明：如圖3所示，

延長PC至F，使PF=PA，連接AF.

∵∠APC=60°，PF=PA，

∴△APF為等邊三角形，

∴∠PAF=60°，AP=AF，

∴∠PAC+∠CAF=60°.

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠BAC=60°，AB=AC，

∴∠BAP+∠PAC=60°，

∴∠CAF=∠BAP，

∴△ABP≌△ACF（SAS），

∴BP=CF.

∵PA=PF=PC+CF，

∴PA=PB+PC.

方法三

分析：

如果說上面的兩種解法是從線段的角度加以考慮，我們還可以從角的角度分析，構造角相等.因為∠ABC=60°，我們作∠PBM=60°，此時∠ABC=∠PBM，通過在等式兩邊同時減去∠CBM，可得∠ABM=∠CBP，要證明兩個角相等，同樣可證兩個三角形全等.BM這條輔助線，巧妙地連接未知和已知，使解題思路清晰，為證明本題創造了條件.

證明：

如圖4所示，作∠PBM=60°，交AP于點M.

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠ABC=60°，AB=BC，

即∠ABM+∠MBC=60°.

又∵∠PBM=60°，

∴∠PBC+∠MBC=60°，

∴∠ABM=∠PBC.

在△ABD中，

∠ABD+∠ADB+∠BAD=180°，

即60°+∠ADB+∠BAD=180°.

在△PCD中，

∠APC+∠PDC+∠PCD=180°，

即60°+∠PDC+∠PCD=180°.

∵∠ADB=∠PDC，

∴∠BAD=∠PCD，

∴△ABM≌△CBP（ASA），

∴BM=BP，MA=PC.

又∠PBM=60°，

∴PM=BP，

∵PA=PM+MA，

∴PA=PB+PC.

三、教學啟示

本題考查的是兩種常見圖形（等邊三角形和全等三角形）以及它們的性質和判定的應用，綜合性較強，有一定的難度.但離不開我們證明線段相等或角相等常見的思維模式，即證兩個三角形全等.當我們發現圖中沒有全等的三角形時，需要借助輔助線來解決，降低證明難度.而輔助線方法是多樣的，需要我們總結規律，掌握輔助線添加的技巧，力求在解題中收到事半功倍的效果.

1.從基本圖形中尋找“線”影.

本題全等三角形的構造是證明線段或角相等的關鍵，它給我們提供了一條思維途徑，我們可從題目中抽象出基本圖形，變為我們所熟悉的題型.雖然教材中關于全等三角形證明的習題較多，但試題往往源于教材又高于教材，所以需要我們平時在幫助學生打好基礎知識的前提下，引導他們探尋解題規律，通過觸類旁通，尋找輔助線的身影，提升學生的數學思維能力和解題能力，這樣當學生再遇到此類問題時，就不會束手無策，而是能靈活和綜合運用所學知識.

2.從解題積累中尋覓“線”路.

通過添加不同的輔助線，可得出不同的解題方法.輔助線雖千變萬化，但并非無跡可尋.陶行知曾說：“接知如接枝.”我們要重視學生通過親身實踐，在一定感性認識的基礎上，通過不斷思考，達到知識的理解和觸類旁通.解題經驗的積累，有利于學生掌握好數學解題方法.一旦找到解題的切入點，打開思路，下面的問題就會順利解決.若將所學輔助線的方法加以整理，形成一個完整的知識方法系統，就會成為學生取之不盡的源泉，對他們核心素養的培育起到促進作用.

3.從題目解讀中發現“線”跡.

本題中∠APC=60°是一個關鍵條件.它想要傳達什么數學信息，怎樣將這個條件有效利用，找到最優的輔助線？需要我們從不同思維角度去尋覓解題的途徑.通過對圖形的觀察與分析，揣摩出編者出題的意圖，通過感悟出題的角度和方向，培養學生思維的廣闊性.

輔助線在數學解題時起到非常好的橋梁作用.我們常說“學無定法”，輔助線的添加也是如此.同一道數學題，輔助線可能有不同的添加策略，到底選擇哪種，需要學生加強訓練，積累豐富的數學經驗.讓學生體驗數學的思考方法和探尋之樂，這樣在以后遇到難題時，才能得心應手.

（責任編輯黃桂堅）