高中生對函數的認識與態度

林玉慈，史寧中

(東北師范大學 數學與統計學院，吉林 長春 130024)

一、引 言

在我國，由21世紀初開始的課程與教學改革的重要標志是，課程目標由一維轉變為三維，也就是，由傳統的“知識技能”的一維目標轉變為“知識技能”“過程方法”“情感態度價值觀”的三維目標。后來，《義務教育數學課程標準(2011版)》提出的“四基”以及新近頒布的《普通高中數學課程標準(2017版)》提出的“數學核心素養”，都是三維目標的深化與發展。

課程目標的變化，是要改變傳統的教育理念和教學方法。如果說，傳統的教育理念是“以知識為本”，教學方法更多的是依賴教師的述說、學生的記憶與訓練，那么，提倡的教育理念就是“以人為本”，是為了學生的發展，教學方法更多的是依賴教師的啟發、學生的思考與理解。

但是，在現實的教學活動中，“情感態度價值觀”的目標一直形同虛設，似乎無法在教學中得到落實，特別是無法進行相應的考查。但這個目標是非常重要的，是學生如何看待和學習數學的精神方面的出發點，也是思維品質的落腳點。之所以說是落腳點，因為這是三維目標的一個目標，是數學核心素養的基本要素(高中數學課程標準把數學核心素養定義為：是數學課程目標的集中體現，是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現)[1]4。之所以說是出發點，是因為“以人為本”教育理念的起點就是要懂得學生，不僅要知道學生知識的起點是什么、懂得學生是如何理解教學內容的，還要知道學生是如何看待知識的、懂得學生以什么樣的心態學習教學內容。

無論是態度還是素養，在本質上，都是一個人看問題和做事情的習慣，是這個人在思維的過程中或者在做事的過程中，親力親為、日積月累形成和發展起來的，因此，態度和素養的養成必須通過過程的教育[2]9-13，44。正因為如此，在教學設計和教學實施的過程中，不應當抽象地看待“情感態度價值觀”的目標，把目標與具體的教學內容脫節；而應當把這個目標與教學內容有機結合，設計合適的教學活動，引導學生積極地參與教學活動中，獨立思考或與他人交流，在思考和交流的過程中讓學生掌握知識技能、感悟數學本質，形成和發展數學核心素養，達到目標的要求。本文將嘗試，以高中函數概念的內容為依托，展開對這個問題的研究。

函數是描述客觀世界中變量關系和變化規律最為基本的數學語言和工具，是貫穿高中數學課程的主線。由于函數概念的抽象性與復雜性，不僅是高中數學教學的重點、也是難點。正如克萊因提到的那樣：函數確實成了中學數學中最難教、最難學的概念之一[3]36-40。

關于函數的教學研究，大多數的文獻關注“知識內容”與“過程方法”這兩個目標，本文嘗試討論高中生對函數的認識與態度；在這個基礎上，討論如何從學習情感的角度去引導學生，使學生的學習由被動到主動，幫助學生們形成良好的學科素養。學習情感是指：對學習活動所表現的一種比較熱烈、穩重而深厚的情感狀態[4]18。學科素養可以描述為：后天形成的、與特定情境有關的、通過人的行為表現出來的知識、能力與態度[5]8-14。

有關高中生如何理解函數概念的研究已經有很多文獻，比如，濮安山在用APOS 理論分析高中生函數概念的建構過程中，發現大部分學生能夠完成操作活動、并且能夠綜合描述出函數概念，達到操作階段和過程階段的要求，但只有很少的學生能達到對象階段和圖式階段的要求[6]48-50。曾國光通過對100名學生的測試，發現中學生的函數概念認知可分為三個階段，測試結果表明達到高層次水平的學生數量極少，這也進一步說明理解函數概念的難度[7]99-102。

我們的研究希望回答的問題是：為什么高中生不能深刻理解函數概念，高中生對函數的認識和態度是什么。研究結果表明，高中學生不能深刻理解函數概念主要是因為：與初中函數比較，高中函數定義發生了本質的變化，函數的作用也發生了根本的變化。原有教科書、包括教師課堂教學都沒有關注這樣的變化，最終導致高中學生不能很好地把握函數的本質。這個現象似乎只涉及了知識和技能，但在事實上，不重視變化的課堂教學深刻地影響了高中學生對函數概念的認識和態度，最終導致大部分高中學生完全從應試的角度認識和學習函數。本文的結尾部分，將比較詳細地分析上面的結論，并且對未來高中數學的課堂教學、高中數學教材建設以及師范大學的數學教學提出了建議。

二、調查方法與調查對象

本研究采用定性分析和定量分析相結合方法，數據和信息的收集分為紙筆測試、學生訪談和教師訪談三種形式。

紙筆測試一共13個題目，都是讓學生自我陳述是如何理解函數的。前12個題目分別用解析式(5題)、圖像(5題)、表格(2題)的表達方式，請學生判斷題中給出的表達是否為函數，最后1個題目請學生說明y=f(x)中的符號f，x，y分別代表的含義是什么。紙筆測試是在班級自習時間進行的，測試時間20分鐘。

學生訪談每名學生時間為20分鐘，教師訪談每名教師時間為40分鐘。訪談地點為年組辦公室，在征求受訪者同意后進行了錄音。

選取長春市和哈爾濱市各一所高中進行調查，學生共計35人。其中長春市高一學生5名，高二學生4名，高三學生3名，共計12名學生；哈爾濱市高一學生14名，高二學生6名，高三學生3名，共計23名學生。總計，高一學生19名，高二學生10名，高三學生6名。

學生訪談12名，其中高一學生6人、高二學生3人，高三學生3人。訪談教師3名，其中高三年組1位有38年教齡的特級教師，高二年組1位有10年教齡的教師，高一年組1位教齡將滿1年的剛入職教師。

三、調查結果分析

紙筆測試。紙筆測試的目的是了解高中三個年級段的學生對函數概念的掌握情況，三個年級的題目是一樣的，其中12個題目是常規性的判斷題，1個題目是讓學生述說函數表達式y=f(x)中每一個符號的意義。12個判斷題回答正確率如下表所示。

表1 高中生紙筆測試的正確率

函數概念在初中數學中已經有所滲透，用變量關系予以表述，側重解析式的表達方式；高中數學則開學起始，就把函數作為教學內容的主線，用對應關系予以表述，實現了更高層次的抽象。表1的數據顯示，高一的學生還不能在更抽象的層次、或者說、還不能更一般性地把握函數的概念，更多地是承接了初中學習的關于函數的知識；高二和高三的學生基本能夠一般性地把握函數的概念。

進一步，12個題目全部回答正確的，高一學生19名中有3名，高二學生10名中有6名，高三學生6名中有3名，這也表明高二和高三的學生明顯優于高一的學生。這樣的進步，可能是逐漸領悟的結果，也可能是反復訓練的結果。可以通過對學生訪談的分析，了解其中更詳細的原因。

對于函數表達式y=f(x)中符號的理解，高一學生的回答分為三種：x是自變量，f是對應法則，y是x對應法則作用后的值，占54.5%；x是原象，y是象，f是映射，占27.3%；x是橫坐標，y是縱坐標，f是對應法則，占18.2%。高二和高三學生只有一種回答：x是自變量，f是對應法則，y是x對應法則作用后的值。這要表明，高二和高三的學生對函數概念的理解更加清晰。

學生訪談。一共訪談了12名同學，其中高一學生6名、高二學生3名，高三學生3名。訪談提綱有16個問題，分為三個方面：對函數的理解；對函數的態度；學習數學的態度。訪談結果表明，學生對函數的態度與學習數學的態度是一致的，因此下面分兩個方面歸納訪談結果。除此之外，還在任課教師的幫助下，組織學生進行了利用函數建模的實踐課，觀察并記錄了學生建模過程。

對函數的理解。接受訪談的12名學生都能準確地說出函數的定義，其中10名學生用變量關系述說函數的概念，其余2名用對應關系述說函數概念。這個結果與紙筆測試的結果大體一致，因為紙筆測試的結果顯示，幾乎所有的學生都能夠理解用解析式表達的函數。

但是，訪談結果表明，大多數的學生都不能很好地理解函數的本質。對于“你認為函數研究的問題是什么”和“你認為學習函數的用處是什么”這類問題，有9名學生不能說明函數研究的問題是什么，進而不能說明學習函數的意義。其中大部分學生、特別是高一的學生，認為學習函數是為了計算，例如這樣的回答：“函數是研究有一定規則的計算方式”“函數為一種計算方式”“函數是一個變量能按照一個作用表示出另一個量的表達式”等等；還有些學生認為學習函數就是為了研究圖形的性質，例如這樣的回答：“函數研究的是單調性、奇偶性等圖像所具有的性質”。

事實上，學生的回答暴露了教學中的問題、甚至暴露了教材編寫的問題，因為大部分學生不能理解高中為什么要用對應的方法重新定義函數，例如對于“初中時學習了函數的概念，高中又用對應說重新定義了函數的概念，兩種定義有什么不同嗎？為什么需要重新定義呢？”這個問題，學生普遍認為：“高中的概念比初中的概念更高級了”“在初中需要計算x為a值時的y值時，需要寫很多的字來敘述，在高中的時候只要寫f(a)就行了。”可是，當追問“高中概念的高級是否只是因為求值表述的更方便”時，學生予以否認，但又不能說清楚高中概念的高級包括哪些內容。甚至有極少部分學生認為，學習函數就是為了考試，例如這樣的回答：“如果說學習函數有意義的話，那么，這個意義大概就是考試吧。”“學習函數是為了老師能夠判斷一個學生學習的好壞。”

由此可見，大多數高中生不清楚在高中階段用對應的觀點重新定義函數的必要性，也不清楚高中階段的數學為什么要如此重視函數。在大多數高中生的眼中，學習函數與學習其他東西一樣、僅僅是一個學習的對象，因此，學習函數就是為了做題，就是為了考試。這或許就是“應試教育”在學生學習目的方面最明顯的體現。

對函數的態度。這個話題包括學生學習數學的態度。通過訪談知道，所有學生都認為學習函數很難，甚至認為函數的難度是可以任意變化的，例如這樣的回答：“教材中的例題都是挺簡單的，可是練習冊中的習題就變得有難度了。”

對于教材中關于函數發展史的介紹，只有不到50%的學生看過，所有看過函數發展史的學生都表示喜歡上數學課，數學成績都在班級的中上游；特別是，如果學生所在班級的數學教師，能夠在數學教學的過程中適當滲透數學史以及相關的數學文化，學生對于學習數學的興趣會較高。一個不能忽視的事實是，不喜歡學習數學的學生遇到不明白的問題時，會等待教師講解，如果教師沒有講解自己也就不思考了。

值得注意的是，在接受訪談采訪的學生中有3名是“實驗班”的學生，他們都表示平時喜歡上數學課，他們對函數的認識比較深刻，不但能夠從變量之間的依賴關系和實數集的對應關系來理解函數，還能夠舉出不少生活中函數的例子。例如，在回答“你認為函數是研究什么”的問題時說：“函數是用來表達變量間的關系的，這些變量就自己而言是單獨的，但他們都是有聯系的，我們學習的函數僅是兩個變量間的關系，并且這兩個變量的關系很簡單，現實中經常出現的是很復雜的變量關系。”“我們平時幾乎沒有時間看關于數學史的課外書，但教材中關于函數發展史的部分我自己都看過，我們班的數學老師在平時上數學課時，都會從數學史的角度提及相關數學知識的來龍去脈，我對數學史還挺感興趣的。”“數學的研究對象是從生活中來的，雖然不能直接獲得，但經過抽象就可以獲得了。”這3名學生，都知道函數是刻畫運動與變化的數學模型，并且能夠在解答具體問題時靈活運用函數的知識。

由此可見，學生對函數的態度(包括學習數學的態度)決定了這個學生如何學習函數，決定了這個學生是否能夠真正理解函數、應用函數。不言而喻，一個學生學習函數的態度，在很大程度上源于這個學生義務教育階段的學習狀況，比如上面提到的3名同學。但是，對于大多數學生，當他們進入高中學習以后，如果數學教師能夠關注學生學習數學、學習函數概念的態度和心理，能夠把握數學的本質、設計并且實施合適的教學過程，對幫助這些學生建立學習數學的興趣和信心是會有顯著效果的。在本文結論部分，將詳細討論這個問題。

利用函數建模。把參加訪談的學生按照年級分組，高一分2個組、高二和高三各1個組。在任課教師的幫助下，分小組開設利用函數建模的實踐課。每個小組的教學內容是一樣的，都是討論剎車距離模型，具體任務是：找出影響剎車距離的制約因素、建立剎車距離的函數模型*參見《普通高中數學課程標準(2017版)》附錄2“教學與評價案例”的案例7。。

課堂記錄表明，所有小組的情況都類似，與年級無關。學生們表示從來也沒有接觸過這樣“沒有具體條件、也沒有具體結論”的問題，完全無法入手；在老師的提示下，經過討論，都能夠確定影響剎車距離的兩個最為基本的因素：汽車剎車的制動力和地面的摩擦力，可是仍然不能利用學過的函數知識、建立符合背景的數學模型；最后，經過老師長時間引導，才完成了數學建模的過程。但是，學生始終不知道如何建立假設、根據假設設立數學模型中的參數，只有當老師提供了實際的實驗記錄數據時，學生才清楚應當如何假設和估計函數模型中的未知常數，最終完成了利用函數建模的實踐課。

值得注意和反思的是，在這樣的解決實際問題的學習過程中，盡管整個過程都不順利，但所有學生的學習態度都非常積極，都努力地回顧學過的函數知識，思考如何建立函數知識與現在的現實背景的聯系。經歷了這樣的實踐課的學習以后，幾乎所有的學生們都表示，以前在作函數應用習題的時候，都認為是為了鞏固函數知識而進行的訓練，而這一次才真正有了用函數解決現實中實際問題的體驗，甚至有的同學表示，增強了學習函數的興趣和渴望。

由此可見，大部分高中生具有學習好函數、學習好數學的潛質，并且具有良好的情感態度價值觀方面的潛質，因此在教學過程中，教師不能只關注知識技能的傳授，甚至實施知識靠記憶、技能靠訓練的教學方法，而應當利用適當的時間、選擇適當的內容、實施適當的教學過程，引發學生獨立思考和合作交流，激發學生學習函數、學習數學的興趣，幫助學生建立學好函數、學好數學的信心。積極的學習態度是學生能夠認真學習、獲取真正知識的基本動力，這也是為什么說，情感態度價值觀不僅是教學的落腳點、也是教學的出發點。

教師訪談。是圍繞如何進行函數教學進行的訪談。

關于函數概念的講授，新教師所采用的方法是，先回憶初中的“變量說”，對應教材中三種函數表達形式的實例，讓學生說出其中的自變量和因變量，再從集合的角度分析自變量和函數值的取值范圍，最后引導出高中的“對應說”。當追問：初中函數已經有了“變量說”的定義，高中函數為什么還要學習“對應說”的定義呢？這位教師的解釋是：初中函數是“單一”的變量x和y之間的對應關系，高中函數是非空數集的對應關系。當繼續追問：“變量說”和“對應說”有什么本質的不同？這位教師的回答是：在教學中不太關注這些知識，更多的是關注學生們會不會做各種題目。

中年教師和老年特級教師采用的教學方法與新教師有所不同，他們都會先講映射、即先講一般意義的對應關系，然后再說明函數是一類特殊的映射、引入函數的基于對應關系的定義。但是，這樣的教學仍然沒有讓學生感知高中階段引入函數“對應說”定義的必要性。他們回答說，從來也沒有學生提出過這個問題，在課堂中更關注的是講完概念之后，學生是否會求出函數的定義域和值域等具體的知識和技能。這兩位教師對“對應說”的理解是一致的，因為“變量說”不準確，并且舉例說明，不能判斷“y=0”是否為函數。

由此可見，大多數高中教師不能很好地理解高中函數定義與初中函數定義差異的本質，因此在教學活動中，不能深入淺出地引導學生認識函數知識的本質，激發學生學習函數的興趣，幫助學生感悟其中蘊含的數學思想，形成和發展數學核心素養。

四、總 結

從紙筆測試和訪談記錄可以看到，高中學生普遍能夠較好把握與函數概念有關的知識技能，但是，這些學生對于函數本質的理解以及應用函數解決實際問題等方面還存在很大的問題。究其原因，主要因為在教學過程中，教師主要關注學生知識的記憶和技能的熟練，導致許多學生的學習是被動的、而不是主動的。事實上，一個學生要掌握真正的知識、獲得終身受益的能力，那么這個學生的學習就必須是主動的，需要這個學生的獨立思考和合作交流，在過程中日積月累，逐漸形成和發展數學的素養。

主動學習取決于這個學生對函數、對數學的情感態度價值觀，后者是三維目標所要求的，也是未來實施《普通高中數學課程標準》所要求的。學生訪談結果非常充分地說明了這一點，那些對數學沒有興趣、對學習好數學缺乏信心的同學，在教學活動中主要是聽教師講授，而不能積極思考；而那些對數學有興趣、學習成績較好的同學，在教學活動中都能夠積極主動地思考問題。因此，教師在教學的活動中，必須關注學生學習函數、學習數學的態度，如前所述，這不僅是教學的落腳點、也是教學的出發點。

訪談結果表明，教師的積極引導對于學生形成良好的學習態度是重要的，除了適當地講述數學史和數學文化以外，創設合適的教學情境，提出合適的數學問題，是引發學生思考的有效方法。與思維能力的培養一樣，良好學習態度的形成依賴的也是學生自己的感悟，是在學生的學習過程中逐漸形成的，不能單純依賴教師的講述。比如，利用函數建立剎車模型的實踐課就取得了很好的教學效果，這個很好的教學效果不僅表現于學生對于知識技能的掌握，更重要的是提高了學習數學的興趣，增強了學習好數學的信心。

對于高中數學教師，能夠“創設合適的教學情境，提出合適的數學問題”的關鍵，是對數學知識本質的把握，知道知識產生的必要性、是如何產生的、是如何發揮作用的。可惜的是，過去高中數學教材的編寫，甚至師范大學的教學都沒有關注這些問題。國家現在高度關注中小學教師的培養和提高，因此，師范大學的學科教學不能只關心知識是什么，而必須牢記師范大學培養的學生是未來的人民教師，要關心這些學生未來將如何進行教學，要關心這些學生在未來教學中是不是能夠實施“以人為本”的教學理念，落實“立德樹人”的根本任務。新修訂的《普通高中課程標準》的頒布是一個良好的契機，師范大學可以據此修訂教學方案，甚至修訂教學計劃。

下面，還是以函數概念的教學為例，探討在教學活動中，如何把握數學的本質，如何創設合適的教學情境、提出合適的數學問題，引發高中生主動思考。

高中數學函數概念之所以難以理解，主要是與初中函數相比發生了兩個本質的變化，這兩個變化不僅是知識技能的，也是思維方法的。

一個變化是函數的定義發生了變化。初中函數的定義是用變量關系的語言進行表述的，高中函數的定義是用對應關系的語言進行表述的，因此，高中的定義比初中的定義更為抽象。之所以要進行更高層次的抽象，是因為初中函數的定義突出的是變量關系的表達式(包括圖像和表格)，這樣的定義無法研究不同表達形式的函數的本質，比如無法判斷：f(x)=sin2x+cos2x與g(x)=1是否是同一個函數，即便這兩個函數的自變量與對應的函數值都是一樣的；同時，并不是所有的函數都能夠寫出顯示表達式，比如，有名的狄利克雷函數：自變量為有理數時函數值為1，自變量為無理數時函數值為0。因此，函數的本質不是表達式，而是對應關系。并且，通過對應關系可以清晰地知道函數的定義域與值域，這對確定一個函數也是重要的。

可是，過去所有的高中教科書都沒有闡述函數定義進一步抽象的必要性*基于《普通高中數學課程標準(2017版)》的新編教材都對這樣的問題予以了充分的重視。，導致幾乎所有的高中數學教師，在教學過程中都沒有讓學生感悟為什么要用對應關系再一次定義函數。這樣的教學完全是知識的傳授，無法讓學生深刻地理解函數的本質，更無法讓學生感悟數學抽象的必要性和層次性，不利于學生形成和發展數學核心素養。事實上，高中數學每一個新概念的引入、每一個新方法的提出，都有著深刻的現實背景或數學需要，這些背景和需要都能成為教師“創設合適教學情境、提出合適數學問題”的素材。

另一個變化是函數的作用發生了變化。在初中階段，函數的教學只是建立兩個變量的關系，沒有涉及到函數的定義域，因此函數的作用主要是為了解題：通過自變量求函數值，這樣，函數似乎就是一個算式或者方程，正如學生訪談中，大部分學生所理解的那樣。在高中階段，除了解題的功能以外，函數的教學開始討論函數的性質，比如，函數的單調性、奇偶性、周期性，討論這些性質的實質是為了研究兩個變量的變化規律，正因為這樣，函數才可能成為描述現實世界中那些規律性東西的有效的數學語言。

因此，過去幾乎所有的高中數學教科書都把函數的性質作為知識傳授，導致幾乎所有的教師，在教學過程中都從計算方法的角度講授函數的性質，而不是讓學生通過實例感悟為什么要研究這些性質，這樣的教學無法讓學生真正地掌握函數的知識，就如利用函數建模的實踐課那樣，遇到具體問題就無從下手。特別是，這樣的教學無法讓學生感悟學習函數的重要性，提高學生學習函數的興趣，增強學好函數的信心。最終，無法讓學生會用數學的眼光觀察世界、會用數學的思維思考世界、會用數學的語言表達世界，而這些恰恰是情感態度價值觀的課程目標所要求的，也是數學核心素養的要求。

[參 考 文 獻]

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準(2017版)[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2] 史寧中.關于教育的哲學[J].教育研究，1998(10).

[3] 史寧中，濮安山.中學數學課程與教學中的函數及其思想——數學教育熱點問題系列訪談錄之三[J].課程·教材·教法，2007(4).

[4] 雅科布松.情感心理學[M].王玉琴，等譯.哈爾濱：黑龍江人民出版社，1997.

[5] 史寧中，林玉慈，陶劍，等.關于高中數學教育中的數學核心素養—史寧中教授訪談之七[J].課程·教材·教法，2017(4).

[6] 濮安山，史寧中.從APOS理論看高中生對函數概念的理解[J].數學教育學報，2007(5).

[7] 曾國光.中學生函數概念認知發展研究[J].數學教育學報，2002(5).