整體視域下小數教學“三維體系”的構建

□文/江蘇省蘇州市相城區陸慕實驗小學 曹志國

數的認識是學生學習數的運算、研究數量關系的重要基礎，而小數的認識是其中的核心內容之一。《義務教育數學課程標準》（2011版）在課程目標中提出了經歷從日常生活中抽象出數的過程，初步認識小數，理解小數的意義，掌握必要的運算技能等目標。廣大教師在教學時，一般只將小數的意義作為核心內容，將其讀寫、大小比較、四則計算等作為重點內容展開教學。

然而建構主義認為：“認識必定是一個整合的過程，即如何把新的對象納入已有的認知結構之中，從而使全部知識匯成一個整體。”筆者以為，要真正實現“課標”中提出的理解小數的意義等目標，還需要“跳出”小數開展小數教學，基于整體性視域，站在更為宏觀的層面，適時建構小學與整數、分數等之間的聯結，呈現更為系統的知識結構，促進學生認知結構的形成。

一、關注數系的構建

在中小學數學中，從自然數開始到復數集的建立，數系經歷了四次擴充（主要是逐步添加元素并強調運算可施行），其擴充過程是：自然數（添正分數）、非負有理數（添負有理數）、有理數（添無理數）、實數（添虛數）復數。數系的每一次擴充，都擴大了數的應用范圍。小數和分數的擴充，增強了現實世界中對數量表達的能力，使整體中的“部分”無法用自然數表示時，有了刻畫的方式；也使除法運算得以封閉。

其實，分數與有限小數或者無限循環小數之間是對應等價的。我們可以用小數定義有理數，即為有限小數或者無限循環小數；進一步，將無限不循環小數稱為無理數；進而，就可以用小數定義實數，有理數和無理數統稱為實數。

現行各版本教材在認識小數內容編排時，也都或多或少地對小數的諸多種概念進行了介紹。比如，現行蘇教版教材在五年級上冊“小數的乘法和除法”單元的最后以“你知道嗎”的方式，介紹了有限小數、無限小數、循環小數等概念，意圖向學生傳遞小數知識，拓寬對小數的全面認識。但在實踐中，對“你知道嗎”的教學常常停留于閱讀的層面，導致“水過地皮濕”，學生閱讀之后，什么印象也沒有。

為提升教學效果，應充分依托“你知道嗎”等教學資源，組織探索性、研究性活動，引發深度學習，幫助學生建構更為全面的數概念。教學中，可呈現商為整數、有限小數、無限小數等多例除法豎式，學生小組合作計算結果，并以小數的位數的多少為標準對結果進行分類。之后，教師再適時介紹有限小數、循環小數、有理數。再由祖沖之的故事引入π，呈現當代數學家已將圓周率算到小數點后幾萬億位，有的數學愛好者能一口氣背出圓周率小數部分很多位等素材；并對黃金分割及希帕索斯被害致死的故事等進行介紹，生成無限不循環小數、無理數、實數等概念。學生雖然暫時還不能完全理解上述概念，但他們能真切地感受到人類對數學知識的不懈追求，在不知不覺中走進了更為廣闊的數的世界，更為宏觀的數系概念也已悄然孕伏，激發了他們對于數學學科的濃厚興趣。

二、關注計數法體系的構建

2000年度國家最高科學技術獎獲得者吳文俊院士在其著作《吳文俊論數學機械化》中寫道：“位值制的數字表示方法極其簡單，因而也掩蓋了他的偉大業績……這一發明對人類文化貢獻之巨，縱然不能與火的發明相比，至少是可與文化史上我國的四大發明相媲美的。中華民族應以這一發明而自豪。”史寧中教授指出：“在小學階段，理解小數的重點在于對于十進制的認識。”小數教學，應著力構建小數計數單位之間的十進關系，并打通其與整數之間十進關系的聯接，構建十進制計數法體系，充分感悟這一數學史上“最妙的發明之一”。

圖1

在認識多位數時，學生已經掌握“十個一是十”“十個十是百”“十個百是千”生活中，學生對小數計數單位及其之間的關系雖有著感性認識，但缺乏理性認知，系統性更是缺乏。而小數的表征形式與自然數相似，都是十進制，小數部分相鄰的計數單位之間，以及十分位和個位的計數單位之間，進率都是十。教學中，對其表征的相似性應有敏銳的洞見，逐步呈現（圖1），打通聯結，構建體系。

自然數、小數互聯的十進制計數法體系的構建，使十進制的進率方向具有“雙向性”。向右不斷乘10，計數單位可以無限大；向左不斷除以10，計數單位可以無限小；一左一右的延伸，使學生對數的認識更為全面系統。體系的構建處于學生的最近發展區內，促進了對十進制的深度認知，揭示了十進制計數法的深刻內涵。

三、關注運算規則體系的構建

數學教學中應力求呈現數學動態統一的、有機關聯的、鮮活生動的、具有探索性的和全息性知識特征的科學與文化形象，而不是固定不變的、僵化教條的、局部的、彼此分割的知識條塊和記憶庫。小數的運算中很多內容互相依存、彼此關聯，存在著嚴密的邏輯性。教學中，要找尋小數與整數、分數四則運算之間的“共同規則”，將多個“規則單一體”整合成“規則共同體”，實現表征系統間的互相轉換，使規則交叉融合，結成網、連成片，構建運算規則結構系統。

教學中，要依據算理進行算法教學，使學生厘清，整數加、減法的豎式計算時，將個位對齊；小數加、減法的豎式計算要把小數點對齊；分數加減法中需要先通分；其原理其實都是一樣的，本質上是把相同計數單位的個數相加減。列豎式計算小數乘法中，小數點對齊法或末尾對齊法（圖2），就是將計數單位再統一，計算的是統一之后的計數單位的個數。當然，從算法優化的角度看，末尾對齊法更為方便、不易出錯。

圖2

在此基礎上，將其與整數乘法規則（圖3）再進一步統一：不論是整數乘法、還是小數乘法，都是計算乘積中所包含的新的、統一的計數單位的個數，再根據包含的新的計數單位的個數，寫出最后的結果。當然，站在算法統一的角度，還要適時溝通小數除法與小數乘法之間的聯系，它們都是轉化為整數乘、除法之后再進行運算。計算規則的統一，學生在頭腦中產生了新的綜合心理圖式，構建了更為清晰、完整和穩固規則系統，走進了數學的知識本源與精神內核。

圖3

當然，十進制計數法、運算規則、尤其是數系等“三維體系”的建立，需要循序漸進；從知識結構內化為學生的認知結構，也不可能一蹴而就。但教師要有“從點到面”更為寬廣的整體教學視域，要有“結構化”的意識與實踐自覺，促進學生的全面認知與深度認知，助推學生良好數學素養的形成。◇