基于幾何布朗運動的房地產價格模擬預測

劉 洋，張 悅，朱麗芳

（武漢大學 資源與環境科學學院，武漢 430079）

0 引言

隨著國民經濟的快速發展及各項住房體制改革的步步深化,我國房地產業迅速發展成為國民經濟的引領性和支柱性產業并逐步進入市場化和規模化的時代，房地產行業資金投入占我國全社會固定資產投資的極大比重。但隨著我國市場經濟迅猛發展，房地產價格出現了較大波動[1，2]，正確引導房地產行業健康發展對提升國民經濟增長水平和提高居民生活質量至關重要。因此，需要準確充分掌握房地產價格變化趨勢，以便對房地產市場進行全面的分析，實現科學的宏觀調控。房地產價格預測結果可以作為穩定經濟發展的重要決策依據，對制定更為可行的房地產調控政策，合理分配土地供應，調整土地價格等具有指導意義。

1 模型的構建

幾何布朗運動，也叫指數布朗運動，是連續時間情況下的隨機過程，其中隨機變量的對數遵循布朗運動[3]。幾何布朗運動在布萊克-舒爾斯定價模型中分析股票價格，是最常用描述股票價格的模型，而房地產價格同股票價格一樣具有隨機不確定性，股票價格時間變化單位為天，定義房地產價格時間單位為月，構建房地產價格行為關于幾何布朗運動的模型，利用該模型來模擬房地產價格。

隨機過程St在滿足以下隨機微分方程（SDE）的情況下被認為遵循幾何布朗運動[3]。構建房地產價格行為關于幾何布朗運動的模型：

其中dz=?，?～N（0，1），dz是標準維納過程的一個增量，該模型的離散形式可以寫成：

首先，設dSt為相同短期時間間隔內房地產價格的變化量，M為房地產價格的瞬時期望漂移率，即t時間內房地產的預期價格增長率的期望值，σ為t時間內的房地產價格的對數值的波動率，即σ為房地產價格增長的瞬時標準差，房地產的相對價格x為：

在t時間內，由于房地產市場及價格的變化由經濟、政策等多種外界因素共同作用影響，沒有規律且無法干擾，多種影響因素對房地產市場的疊加作用使得房地產的價格S(t+△t)為隨機變量，且服從正態分布：

在進行模擬之前，需要先求得μ和σ的估計值。由伊藤定理可知St的概率分布為：

進一步解得增長率及波動率：

波動率σ是用來描述房地產價格波動情況的一個特征值。σ值越大，表明房地產價格越不穩定。從理論上來講，在同一供需圈內，由于用途的相互替代性，同種用途的房地產的價格在相同市場作用力的影響下，應該有相同的波動率[4]。

教育部2013年印發了《關于實施全國中小學教師信息技術應用能力提升工程的意見》(以下簡稱《意見》)后，利用3年時間面向全國實施中小學教師信息技術應用能力提升工程(以下簡稱“提升工程”)[1]，有效提升了中小學教師信息技術應用能力。

2 蒙特卡洛模擬實驗

2.1 數據來源及說明

本文選取中國指數研究院所發布的百城價格指數來代表全國房地產價格水平進行模擬實驗，樣本數據自2010年6月至2016年7月，百城價格指數反映全國100個重點城市在售新房樣本樓盤報價的均值，包括商品住宅、別墅、保障性住房。

2.2 蒙特卡洛模擬

房地產價格行為關于幾何布朗運動模型的模擬，首先計算房地產價格的增長率μ和波動率σ，對?～N（0，1）進行隨機抽樣，利用抽樣結果對房地產價格進行蒙特卡洛隨機模擬。

根據2010年6月至2016年7月百城價格指數歷史數據，利用公式（1）至公式（6）可以計算出房地產價格的期望增長率μ=0.3887342%，價格增長波動率σ=0.6722152%，將2010年6月房地產百城價格指數作為起算點即S0=9042時，則每月價格指數波動△S=0.3887342%St+0.6722152%St?。運用蒙特卡羅法模擬房地產價格，反映房地產價格的隨機波動規律，結果見表1所示。

表1 蒙特卡洛模擬

2.3 實驗及結果分析

在MATLAB軟件中對房地產價格進行500次相互獨立的蒙特卡洛隨機模擬實驗，相應可以得到500組模擬的房地產價格。在模擬實驗當中，根據模擬房價結果與實際百城價格指數兩組數據的相關系數確定最優模擬實驗結果，圖1為500次實驗按照相關系數所得到的頻數分布直方圖。將相關系數大于0.95的5組實驗確定為最優模擬結果，觀察這5組數據模擬結果（圖2至圖6）與百城價格指數波動情況具有較高的同步性和一致性。

圖1 500次實驗相關系數頻數分布直方圖

圖2 模擬結果1

圖3 模擬結果2

圖4 模擬結果3

圖5 模擬結果4

圖6 模擬結果5

單獨依靠模擬結果與實際數據的相關系數和波動曲線對比并不能對房價的模擬結果進行科學的量化分析，因此，對500次蒙特卡洛模擬中提取的5組最優模擬結果與百城價格指數的實際數值進行描述性對比分析。數據結果統計見表2所示。

表2 描述性相關分析

根據分析結果可知，就極小值、極大值和均值而言，房地產的實際價格與5次最優模擬結果的差距均不超過500元，是房價自身的基數的5%，可以判定模擬結果是十分準確的。房地產實際價格與模擬價格相比具有更小的標準差，價格更加穩定，這是因為國家的宏觀調控政策保證了房地產市場價格的穩定性，而房價模擬值只受增長率μ和波動率σ的影響具有更大的隨機不穩定性。同時從偏度指標可以確定房地產的實際價格及模擬價格的偏度值都幾近為0，進一步認證了房地產價格服從正態分布，既價格波動符合幾何布朗運動模型的特點。在了解了房地產價格實際價格和模擬結果的分布情況之后，可以進一步預測未來房地產價格變化的趨勢走向。

3 房地產價格預測

3.1 趨勢預測分析

結合房地產價格關于幾何布朗運動的模擬結果分析，由于模擬的房價只與增長率和波動率有關，而實際房價的波動受到多方面因素影響，與模擬結果相比有著更高的波峰和波谷，這種差距可以用影響房價的經濟因素、需求因素、政策因素等進行合理解釋。由于模擬房價與實際房價走勢幾近相同，因而可通過未來房價的模擬值來對房地產市場變化的趨勢進行合理的預測。

本文就2016年8月至2017年12月未來房地產價格變化走勢進行預測。由于房地產每月的模擬價格隨機變動幅度相對較大，不易顯現其發展趨勢，因而需要對房地產價格進行修正，本文采用移動平均算法每3個月建立一個房地產價格移動平均數的時間序列，繼而從相對平滑的發展趨勢中顯現房地產價格發展變動的方向和程度。結合房價的模擬結果以及其他相關因素分析，對未來房地產市場變化趨勢進行預測（圖7至圖11）。

圖7 房地產價格趨勢預測1

根據模擬結果1走勢可預測得知，自2016年8月起我國房地產市場價格依舊處于穩步攀升階段，價格上漲至2017年4月；自2017年4月起，房地產價格開始穩定，價格增長速率幾近于零，預測周期為4個月；至2017年8月起房地產市場在經歷平穩期之后繼續反彈，價格上漲至2017年11月房價走勢基本保持穩定。

圖8 房地產價格趨勢預測2

根據模擬結果2走勢可預測得知，自2016年8月起我國房地產市場價格處于平穩震蕩階段，周期為3個月，自2016年11月迎來反彈，快速攀升至2017年2月達到短期內房地產價格最高值后保持平穩，半年內價格穩定至2017年8月房地產價格又開啟新一輪的反彈，價格穩步增長。

圖9 房地產價格趨勢預測3

根據模擬結果3走勢預測顯示，自2016年8月起我國房地產市場持續升溫，價格上漲至2016年12月后短期內較為平穩，周期為3個月，自2016年2月起，房地產市場持續穩步增長直至2017年底。

圖10 房地產價格趨勢預測4

根據模擬結果4走勢可預測得知，自2016年8月起房地產價格持續上漲且走勢迅猛，持續半年的飛速增長至2017年2月迎來了房地產價格最高值；房價的持續攀升必然伴隨著回落，自2016年2月起，房地產價格開始下滑，價格下降速率平緩持續半年左右，自2017年8月起房價走勢基本保持穩定，穩中有升波動較小。

圖11 房地產價格趨勢預測5

根據模擬結果5價格走勢可預測，自2016年8月起我國房地產市場依舊保持升溫態勢，至2016年11月開始趨于平穩，價格上漲速度較慢，至2017年3月達到峰值；自2017年3月起，房地產市場顯現下滑趨勢，至2017年8月房地產市場迎來反彈且價格上漲迅速。

根據5次最優模擬結果預測顯示，我國房地產市場自2016年8月繼續保持上漲趨勢，模擬結果1預測價格持續增長態勢在2017年4月結束，模擬結果2和模擬結果4預測價格增長轉折點為2017年2月，模擬結果5預測2017年3月起價格下降，且模擬結果1、2、4、5均預測房地產市場在經歷震蕩期后自2017年8月起重新攀升，由于模擬結果3與其他4組具有較大差異性故本文分析過程中將其剔除。因此，根據4組最優模擬結果預測未來房地產市場將保持上漲趨勢至2017年第一季度末結束，價格保持平穩且稍有回落趨勢，自2017年第三季度中期起重新攀升。

3.2 價格預測分析

隨著時間的增加，布朗運動的波動率增大，因此預測的時間周期越短，得到的預測價格越準確。排除具有明顯差異的模擬結果3，表3為根據其余4組最優模擬價格得到的平均值預測出的未來房地產價格及環比增長率，預測時間距今越近，預測價格越準確。

根據預測結果，2016年8月房地產預測價格為12389元/㎡，本文實驗結束后中國指數研究院最新發布的2016年8月百城價格指數為12270元/㎡與預測結果是十分接近的，可以說明應用幾何布朗運動模型模擬的房地產價格具有較高的準確性。根據預測的環比增長率顯示，自2016年8月至2016年12月房地產價格環比增長率持續增長，自2016年12月起，環比增長率開始明顯下降，至2017年4月環比增長率幾近為0進入價格平穩期，這與前一部分預測的價格趨勢在2017年第一季度末結束上漲保持一致，進一步說明了將此模型應用于房地產價格預測的可行性及合理性。

表3 價格及環比增長率預測

4 結論

本文構建了房地產價格變化行為關于幾何布朗運動的模型，運用蒙特卡洛模擬法實現了對房地產價格的模擬分析和預測研究。結果顯示，根據其相關性及模擬趨勢曲線表明房地產價格隨機行為符合幾何布朗運動的特點，對其進行模擬并預測未來房地產價格是科學可行的。對未來17個月的房地產價格預測表明，我國房地產價格將持續上漲至2017年第一季度末，自第三季度重新攀升，但在其他條件相同的情況下，由于波動率隨時間的延長而增加，故時間越長就越難準確預測房地產的價格，預測時間越短，預測結果越準確。

研究房地產價格隨即變動符合的模型對防范房地產金融風險，科學的進行房地產市場調控和決策有重要的意義。本文所采用的模型和方法也可以運用到對于其他城市的房地產價格研究，并對不同城市房地產價格的變化進行合理的預測。未來可以嘗試量化影響房地產價格的直接及間接因素，例如，金融、調控政策等，將其作為影響因子對應用幾何布朗運動模型來模擬房地產價格進行進一步優化。

參考文獻:

[1] 杜修立,董凱.引入房地產價格因素的貨幣政策反應函數再研究[J].統計與決策,2016,(8).

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