隨機數(shù)據(jù)缺失條件下避稅行為的逆威布爾漸近估計

余 萍

（1.中南財經(jīng)大學 財政稅務(wù)學院，武漢 430073；2.湖北經(jīng)濟學院 財政與公共管理學院，武漢 430205）

0 引言

政府為了保證國家機構(gòu)的正常運行，需要通過征收稅收的形式獲取相應(yīng)收入，通過把個人資源轉(zhuǎn)移為社會資源，推動國民經(jīng)濟的良性循環(huán)，因此稅收具有固定性、無償性和強制性等特征。理性的企業(yè)為了追求利潤最大化，往往通過合法的形式對政府的征稅行為進行避稅，企業(yè)的避稅行為根據(jù)避稅金額和避稅頻率的不同對社會造成的損害也會有所不同。很多學者對企業(yè)的這種避稅行為進行研究，Lingert（2013）使用向量自回歸模型對企業(yè)避稅金額影響國民經(jīng)濟的情況進行實證研究，Poiere（2015）基于反事實法通過蒙特卡洛模擬對企業(yè)避稅頻率的社會危害進行分析。由于主客觀等方面的原因，研究者無法獲取企業(yè)經(jīng)營的所有數(shù)據(jù)資料，為了更為準確地進行實證研究，研究者往往需要花費大量的人力、物力和財力進行數(shù)據(jù)搜集和整理，但很多情況下結(jié)果并不能讓人滿意。為了克服現(xiàn)有研究所存在的局限性，本文試圖通過借鑒逆威布爾模型的基本思想，對企業(yè)避稅行為周期進行數(shù)理推導，研究在數(shù)據(jù)缺失情況下逆威布爾模型對企業(yè)避稅金額和避稅頻率估計參數(shù)的漸進一致性，并推導參數(shù)的置信區(qū)間。利用逆威布爾模型對企業(yè)避稅行為周期進行蒙特卡洛模擬，檢驗?zāi)M結(jié)果是否和隨機數(shù)據(jù)缺失數(shù)量有關(guān)，分析模擬結(jié)果是否和企業(yè)避稅金額大小及避稅頻率高低有關(guān)。各參數(shù)的模擬結(jié)果表明，模擬結(jié)果均處于相應(yīng)置信區(qū)間內(nèi)，且模擬結(jié)果不隨隨機樣本數(shù)據(jù)缺失數(shù)目的變化而變化，也不因企業(yè)避稅金額和企業(yè)避稅頻率的變化出現(xiàn)不一致情況。本文所構(gòu)建的逆威布爾模型對企業(yè)避稅行為周期的估計是漸進無偏的一致估計量，企業(yè)避稅金額和企業(yè)避稅頻率的蒙特卡洛模擬結(jié)果具有較高的可信度。

1 數(shù)理推導

1.1 總體分位數(shù)求解

借鑒逆威布爾模型（2016）本文假設(shè)企業(yè)的生命周期為t年，用m表示企業(yè)的避稅金額，n表示企業(yè)避稅行為的頻率，并且m和n均大于零，我們可以用以下公式表示企業(yè)避稅行為的分布函數(shù)G和密度函數(shù)g：

對k個企業(yè)的避稅行為周期進行分析，且滿足以下初始條件：

由于主客觀等方面的原因，可能無法得知某些企業(yè)的具體避稅行為，即所獲得的數(shù)據(jù)可能存在缺失情況，當數(shù)據(jù)缺失時剩余L個企業(yè)的避稅行為周期為：

為了使用逆威布爾模型，對企業(yè)避稅行為周期取自然對數(shù)得：

則X的分布函數(shù)F和密度函數(shù)f變?yōu)椋?/p>

其中，Xi為企業(yè)避稅行為周期的相應(yīng)數(shù)據(jù)：

用正數(shù)p表示企業(yè)避稅行為周期的樣本分位數(shù)，滿足以下公式：

企業(yè)避稅行為周期的總體分位數(shù)為q：

1.2 周期參數(shù)估計值

接下來利用上述企業(yè)避稅行為周期的分位數(shù)構(gòu)建計量模型，通過求解證明參數(shù)的漸近無偏性，當企業(yè)數(shù)量n趨向于無窮大時，可得：

根據(jù)上述公式構(gòu)建如下計量模型：

基于最小二乘法對上述計量模型的參數(shù)進行求解可得參數(shù)的估計值：

所以上述參數(shù)估計值的形式可以表述為：

即得到的企業(yè)避稅行為周期參數(shù)估計值是漸近無偏的估計值。

1.3 參數(shù)置信區(qū)間測度

為了進一步分析參數(shù)的精確度，對參數(shù)的置信區(qū)間進行測度，當置信水平為α時，假設(shè)企業(yè)避稅行為周期分位數(shù)N屬于正態(tài)分布，則σ的置信區(qū)間形式為：

對上述公式求解可得σ的置信區(qū)間為：，根據(jù)前面假設(shè)σ=，因此可得

參數(shù)m的置信區(qū)間：

以表述為：

根據(jù)上述公式可得μ的置信區(qū)間形式為：

因為μ=lnq，可得q的置信區(qū)間為：

至此，對隨機數(shù)據(jù)缺失條件下企業(yè)避稅行為周期通過數(shù)理推導完成參數(shù)的漸近估計，并對參數(shù)的置信區(qū)間進行了測度，接下來利用上述模型使用統(tǒng)計數(shù)據(jù)對企業(yè)避稅行為周期進行蒙特卡洛模擬研究。

2 模擬檢驗

2.1 β的模擬結(jié)果

為了檢驗?zāi)M結(jié)果是否和隨機數(shù)據(jù)缺失數(shù)量有關(guān)，隨機數(shù)據(jù)缺失選擇為20和40個；為了分析模擬結(jié)果是否和企業(yè)避稅金額大小有關(guān)，企業(yè)避稅金額分別選擇1和10個標準單位；為了檢驗?zāi)M結(jié)果是否和企業(yè)避稅頻率有關(guān)，企業(yè)避稅頻率分別選擇5和50個標準單位。β的模擬結(jié)果見表1和圖1。從模擬結(jié)果來看，當企業(yè)避稅金額為1和10個標準單位時，蒙特卡洛模擬平均值分別為1.0482和10.1846，標準差分別為0.0461和1.0748，均方誤差分別為0.0027和0.0534，模擬值的平均值在置信區(qū)間范圍內(nèi)，而且標準差和均方誤差比較小，表示逆威布爾模型對企業(yè)避稅金額的蒙特卡洛模擬結(jié)果具有較高的可信度。從逆威布爾模型對企業(yè)避稅頻率的蒙特卡洛模擬結(jié)果來看，當企業(yè)避稅頻率分別為5和50時，模擬結(jié)果分別為4.9837和50.3124，標準差分別為0.5372和5.3276，均方誤差分別為0.0036和0.0849，模擬結(jié)果處于相應(yīng)置信區(qū)間內(nèi)，表示逆威布爾模型對企業(yè)避稅頻率的蒙特卡洛模擬也具有較高的可信度。即逆威布爾模型對企業(yè)避稅行為周期的蒙特卡洛模擬認為相關(guān)系數(shù)β是無偏的，且模擬結(jié)果不隨隨機樣本數(shù)據(jù)缺失數(shù)目的變化而變化。

表1 β的蒙特卡洛模擬結(jié)果

圖1 β的800次蒙特卡洛模擬結(jié)果和實際值

2.2 μ的模擬結(jié)果

接下來對參數(shù)μ進行蒙特卡洛模擬（見表2和圖2），這里和參數(shù)β的模擬方法相似，數(shù)據(jù)缺失數(shù)量分為20和40兩種情況，企業(yè)避稅金額分別為1和10個標準單位，蒙特卡洛模擬的平均值分別為1.0524和10.0947，標準差分別為0.0593和1.0748，均方誤差分別為0.0044和0.0534，且模擬平均值在置信區(qū)間之內(nèi)。從逆威布爾模型對企業(yè)避稅頻率的蒙特卡洛模擬結(jié)果來看，當企業(yè)避稅頻率分別為5和50時，模擬結(jié)果分別為4.9635和50.3521，標準差分別為0.5421和5.3411，均方誤差分別為0.0072和0.0614，模擬平均值在置信區(qū)間之內(nèi)。表示逆威布爾模型對企業(yè)避稅行為周期μ的蒙特卡洛模擬結(jié)果均處于置信區(qū)間之內(nèi)，可信度較高。

表2 μ的蒙特卡洛模擬結(jié)果

圖2 μ的800次蒙特卡洛模擬結(jié)果和實際值

2.3 σ的模擬結(jié)果

基于逆威布爾模型對企業(yè)避稅行為周期σ的蒙特卡洛模擬結(jié)果見表3和圖3。表3和圖3的模擬方法和表1與圖1、表2與圖2相同，依然分為數(shù)據(jù)隨機缺失20個和40個。從模擬結(jié)果來看，當企業(yè)避稅金額為1和10個標準單位時，蒙特卡洛模擬平均值分別為1.0938和10.1903；標準差分別為0.0331和1.0524，均方誤差分別為0.0088和0.0590；模擬值的平均值在置信區(qū)間范圍內(nèi)，而且標準差和均方誤差比較小，表示逆威布爾模型對企業(yè)避稅金額的蒙特卡洛模擬結(jié)果具有較高的可信度。從逆威布爾模型對企業(yè)避稅頻率的蒙特卡洛模擬結(jié)果來看，當企業(yè)避稅頻率分別為5和50時，模擬結(jié)果分別為4.9635和50.3940；標準差分別為0.5562和5.3614，均方誤差分別為0.0062和0.0872，模擬結(jié)果處于相應(yīng)置信區(qū)間內(nèi)，表示逆威布爾模型對企業(yè)避稅頻率的蒙特卡洛模擬也具有較高的可信度。即逆威布爾模型對企業(yè)避稅行為周期的蒙特卡洛模擬認為相關(guān)系數(shù)σ是無偏的，且模擬結(jié)果不隨隨機樣本數(shù)據(jù)缺失數(shù)目的變化而變化。

表3 σ的蒙特卡洛模擬結(jié)果

圖3 σ的800次蒙特卡洛模擬結(jié)果和實際值

3 實證結(jié)果

上文借助逆威布爾模型對我國企業(yè)避稅行為周期進行數(shù)理推導，并進行蒙特卡洛模擬，模擬結(jié)果驗證了所構(gòu)建模型的可信度。接下來使用我國上市公司2000—2016年的統(tǒng)計數(shù)據(jù)進行實證檢驗，原始數(shù)據(jù)來源于2000—2016年《中國上市公司統(tǒng)計年報》，共搜集了1000家上市公司數(shù)據(jù)，其中年營業(yè)額5000萬元以上的大企業(yè)500家。年營業(yè)額5000萬元以下的中小企業(yè)500家，由于某些企業(yè)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)不完整，應(yīng)該獲取數(shù)據(jù)17000個，實際獲取13000個，數(shù)據(jù)缺失率23.53%。由于存在數(shù)據(jù)的大量缺失，使用傳統(tǒng)回歸方法將會導致估計結(jié)果的偏頗，這里使用本文構(gòu)建的逆威布爾模型對數(shù)據(jù)情況下的企業(yè)避稅行為進行實證研究，分別對企業(yè)的避稅金額、避稅頻率和避稅行為進行檢驗，檢驗結(jié)果見表4。從檢驗結(jié)果可以看出，擬合系數(shù)在0.95左右表示實證結(jié)果的擬合性較好，相關(guān)系數(shù)β均通過了顯著性檢驗且顯著為正，表示我國企業(yè)缺失存在很明顯的企業(yè)避稅行為，其中營業(yè)額5000萬以上的大企業(yè)和5000萬以下的中小企業(yè)的避稅行為存在較大不同，大企業(yè)的避稅金額較大但避稅頻率較小，中小企業(yè)的避稅金額較小而避稅頻率較高，從總體避稅行為來看中小企業(yè)的避稅行為較為明顯，0.6424顯著大于0.4837。

表4 企業(yè)避稅行為實證檢驗結(jié)果

為了對我國企業(yè)避稅行為的年度發(fā)展趨勢進行研究，本文計算出大企業(yè)和中小企業(yè)2000—2016年避稅行為的相關(guān)系數(shù)（見下頁圖4）。從圖4可以看出2000年營業(yè)額高于5000萬的大企業(yè)避稅行為要高于營業(yè)額低于5000萬的中小企業(yè)，但無論是大企業(yè)還是中小企業(yè)在2000年之后，避稅行為都在逐年增加；大企業(yè)在2010年出現(xiàn)避稅行為下降現(xiàn)象，中小企業(yè)在2011年左右出現(xiàn)下降現(xiàn)象，表示隨著我國社會主義市場經(jīng)濟體制的逐漸健全和完善，企業(yè)越來越遵循市場經(jīng)濟規(guī)律，避稅現(xiàn)象呈逐年下降趨勢；目前來看中小企業(yè)的避稅行為要大于大企業(yè)。

圖4 2000—2016年企業(yè)避稅行為發(fā)展趨勢

4 結(jié)束語

本文借鑒逆威布爾模型的基本思想，對企業(yè)避稅行為周期進行數(shù)理推導，研究在數(shù)據(jù)缺失情況下逆威布爾模型對企業(yè)避稅金額和避稅頻率估計參數(shù)的漸進一致性，并推導出參數(shù)的置信區(qū)間。利用逆威布爾模型對企業(yè)避稅行為周期進行蒙特卡洛模擬800次，為了檢驗?zāi)M結(jié)果是否和隨機數(shù)據(jù)缺失數(shù)量有關(guān)，隨機數(shù)據(jù)缺失選擇為20和40個；為了分析模擬結(jié)果是否和企業(yè)避稅金額大小有關(guān)，企業(yè)避稅金額分別選擇1和10個標準單位；為了檢驗?zāi)M結(jié)果是否和企業(yè)避稅頻率有關(guān)，企業(yè)避稅頻率分別選擇5和50個標準單位。各參數(shù)的模擬結(jié)果表明，相應(yīng)模擬結(jié)果均處于置信區(qū)間內(nèi)，且模擬結(jié)果不隨隨機樣本數(shù)據(jù)缺失數(shù)目的變化而變化，也不因企業(yè)避稅金額和企業(yè)避稅頻率的變化出現(xiàn)不一致情況。本文所構(gòu)建的逆威布爾模型對企業(yè)避稅行為周期的估計是漸進無偏的一致估計量，企業(yè)避稅金額和企業(yè)避稅頻率的蒙特卡洛模擬結(jié)果具有較高的可信度，在現(xiàn)實生活中我們使用該模型對企業(yè)避稅行為周期進行數(shù)理推導和實證研究。實證結(jié)果顯示，樣本分析期的初期大企業(yè)的避稅行為高于中小企業(yè)，由于我國社會主義市場經(jīng)濟體制的逐步健全和完善，所有企業(yè)的避稅行為在經(jīng)歷逐年遞增階段后開始出現(xiàn)下降，目前來看中小企業(yè)的避稅行為要高于大型企業(yè)。

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